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9. 在$△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AC=2$，$D$为斜边$AB$的中点，$CE$为斜边$AB$的高.
（1）若以点$C$为圆心，$2$为半径画圆，试判断$A$，$B$，$D$，$E$四点与$\odot C$的位置关系；
（2）若以点$C$为圆心画$\odot C$，要想使$A$，$B$，$D$，$E$四点中至少有$1$个点在圆内，至少有$1$个点在圆外，则$\odot C$半径的取值范围是多少？
（1）若以点$C$为圆心，$2$为半径画圆，试判断$A$，$B$，$D$，$E$四点与$\odot C$的位置关系；
（2）若以点$C$为圆心画$\odot C$，要想使$A$，$B$，$D$，$E$四点中至少有$1$个点在圆内，至少有$1$个点在圆外，则$\odot C$半径的取值范围是多少？
答案
9. (1) 如图
,$\because ∠C=90°,∠B=30°,AC=2,\therefore BC=2\sqrt{3},AB=4,CE=\sqrt{3}. \because D$是斜边$AB$的中点，$\therefore CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB=2,\therefore A,D$两点在$\odot C$上,点$E$在$\odot C$内,点$B$在$\odot C$外 (2)$\sqrt{3}＜r＜2\sqrt{3}$解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离$d$和圆半径$r$的大小：$d=r$时点在圆上，$d＜r$时点在圆内，$d＞r$时点在圆外。
对于（1），首先利用直角三角形的相关性质，分别计算A、B、D、E四点到点C的距离，再和半径2比较即可判断位置关系；
对于（2），先找出四点到C的距离的最小值和最大值，要满足至少1个点在圆内、至少1个点在圆外，半径需要大于最小距离、小于最大距离，即可得到半径的取值范围。
【解析】
（1）在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AC=2$，
根据含30°角的直角三角形性质，得$AB=2AC=4$，
由勾股定理计算：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
因为D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线性质，得$CD=\frac{1}{2}AB=2$，
CE是斜边AB的高，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CE$，
代入数值：$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{1}{2}×4× CE$，解得$CE=\sqrt{3}$。
已知$\odot C$半径$r=2$：
$AC=2=r$，$CD=2=r$，因此点A、点D在$\odot C$上；
$CE=\sqrt{3}＜2=r$，因此点E在$\odot C$内；
$BC=2\sqrt{3}＞2=r$，因此点B在$\odot C$外。
（2）四点到点C的距离分别为$CE=\sqrt{3}$、$AC=CD=2$、$BC=2\sqrt{3}$，其中最小距离为$\sqrt{3}$，最大距离为$2\sqrt{3}$。
要使四点中至少1个点在圆内、至少1个点在圆外，半径$r$需大于最小距离、小于最大距离，即$\sqrt{3}＜r＜2\sqrt{3}$。
【答案】
(1),
∵ ∠C=90°,∠B=30°,AC=2,
∴ BC=2√3,AB=4,CE=√3.
∵ D是斜边AB的中点,
∴ CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=2,
∴ A,D两点在$\odot C$上,点E在$\odot C$内,点B在$\odot C$外
(2) $\sqrt{3}＜r＜2\sqrt{3}$
【知识点】
点与圆的位置关系判定，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查点与圆位置关系的判定方法，解题的关键是准确计算各点到圆心的距离，结合距离与半径的大小关系分析求解，第二问需要准确找到距离的最值来确定半径的取值范围，是点与圆位置关系的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离$d$和圆半径$r$的大小：$d=r$时点在圆上，$d＜r$时点在圆内，$d＞r$时点在圆外。
对于（1），首先利用直角三角形的相关性质，分别计算A、B、D、E四点到点C的距离，再和半径2比较即可判断位置关系；
对于（2），先找出四点到C的距离的最小值和最大值，要满足至少1个点在圆内、至少1个点在圆外，半径需要大于最小距离、小于最大距离，即可得到半径的取值范围。
【解析】
（1）在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AC=2$，
根据含30°角的直角三角形性质，得$AB=2AC=4$，
由勾股定理计算：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
因为D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线性质，得$CD=\frac{1}{2}AB=2$，
CE是斜边AB的高，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CE$，
代入数值：$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{1}{2}×4× CE$，解得$CE=\sqrt{3}$。
已知$\odot C$半径$r=2$：
$AC=2=r$，$CD=2=r$，因此点A、点D在$\odot C$上；
$CE=\sqrt{3}＜2=r$，因此点E在$\odot C$内；
$BC=2\sqrt{3}＞2=r$，因此点B在$\odot C$外。
（2）四点到点C的距离分别为$CE=\sqrt{3}$、$AC=CD=2$、$BC=2\sqrt{3}$，其中最小距离为$\sqrt{3}$，最大距离为$2\sqrt{3}$。
要使四点中至少1个点在圆内、至少1个点在圆外，半径$r$需大于最小距离、小于最大距离，即$\sqrt{3}＜r＜2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)
,∵ ∠C=90°,∠B=30°,AC=2,
∴ BC=2√3,AB=4,CE=√3.
∵ D是斜边AB的中点,
∴ CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=2,
∴ A,D两点在$\odot C$上,点E在$\odot C$内,点B在$\odot C$外
(2) $\sqrt{3}＜r＜2\sqrt{3}$
【知识点】
点与圆的位置关系判定，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查点与圆位置关系的判定方法，解题的关键是准确计算各点到圆心的距离，结合距离与半径的大小关系分析求解，第二问需要准确找到距离的最值来确定半径的取值范围，是点与圆位置关系的典型基础题。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在矩形ABCD中，$AB=3$，$AD=4$，$DE ⊥ AC$，垂足为E，$AF ⊥ BD$，垂足为F.
(1) AF的长是
(2) 若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求$\odot A$半径$r$的取值范围.
(1) AF的长是
$\dfrac{12}{5}$
；(2) 若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求$\odot A$半径$r$的取值范围.
答案
10. (1) $\dfrac{12}{5}$ (2) 由(1),得$AF=\dfrac{12}{5},AC=BD=5,\because DE⊥ AC,\therefore \dfrac{1}{2}AC· DE=\dfrac{1}{2}CD· AD. \therefore DE= \dfrac{3× 4}{5}=\dfrac{12}{5}. \therefore AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\dfrac{16}{5}. \therefore AF＜AB＜AE＜AD＜AC. \because$若以点A为圆心作圆,B,C,D,E,F五点中至少有1个点在圆内,且至少有2个点在圆外,即点F在圆内,点D,C在圆外,$\therefore \dfrac{12}{5}＜r＜4$
解析
【分析】
（1）第一问先利用矩形性质和勾股定理求出对角线BD的长度，再通过同一三角形面积的两种计算方法（面积法）求出AF的长度即可。
（2）第二问首先分别计算出点B、C、D、E、F五点到点A的距离，再将这些距离从小到大排序，结合“至少1个点在圆内，至少2个点在圆外”的要求，确定半径r的取值范围：r需大于最小的距离保证有至少1个点在圆内，同时小于倒数第三大的距离保证有至少2个点在圆外。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，$AB=3$，$AD=4$
∴$∠ BAD=90°$，由勾股定理得对角线$BD=AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵$AF⊥ BD$，$△ ABD$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB·AD$，也可表示为$\frac{1}{2}BD·AF$
∴$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5·AF$
解得$AF=\frac{12}{5}$
(2) 先计算各点到A的距离：
已知$AB=3$，$AD=4$，$AC=5$，$AF=\frac{12}{5}$
∵$DE⊥ AC$，$△ ADC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AD·CD$，也可表示为$\frac{1}{2}AC·DE$，$CD=AB=3$
∴$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5·DE$，解得$DE=\frac{12}{5}$
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{16-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$
将各距离从小到大排序：$AF=\frac{12}{5}＜AB=3＜AE=\frac{16}{5}＜AD=4＜AC=5$
根据题意：至少1个点在圆内，至少2个点在圆外
∴要满足至少1个点在圆内，需$r＞\frac{12}{5}$（此时点F在圆内）
要满足至少2个点在圆外，需$r＜4$（此时AD、AC两个点在圆外）
综上，r的取值范围是$\frac{12}{5}＜r＜4$
【答案】
(1) $\dfrac{12}{5}$；(2) $\dfrac{12}{5}＜r＜4$
【知识点】
矩形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形相关计算和点与圆位置关系的应用，解题的关键是灵活运用面积法求线段长度，再结合点和圆的位置关系的判断规则确定半径范围，侧重对基础运算和逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）第一问先利用矩形性质和勾股定理求出对角线BD的长度，再通过同一三角形面积的两种计算方法（面积法）求出AF的长度即可。
（2）第二问首先分别计算出点B、C、D、E、F五点到点A的距离，再将这些距离从小到大排序，结合“至少1个点在圆内，至少2个点在圆外”的要求，确定半径r的取值范围：r需大于最小的距离保证有至少1个点在圆内，同时小于倒数第三大的距离保证有至少2个点在圆外。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，$AB=3$，$AD=4$
∴$∠ BAD=90°$，由勾股定理得对角线$BD=AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵$AF⊥ BD$，$△ ABD$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB·AD$，也可表示为$\frac{1}{2}BD·AF$
∴$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5·AF$
解得$AF=\frac{12}{5}$
(2) 先计算各点到A的距离：
已知$AB=3$，$AD=4$，$AC=5$，$AF=\frac{12}{5}$
∵$DE⊥ AC$，$△ ADC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AD·CD$，也可表示为$\frac{1}{2}AC·DE$，$CD=AB=3$
∴$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5·DE$，解得$DE=\frac{12}{5}$
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{16-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$
将各距离从小到大排序：$AF=\frac{12}{5}＜AB=3＜AE=\frac{16}{5}＜AD=4＜AC=5$
根据题意：至少1个点在圆内，至少2个点在圆外
∴要满足至少1个点在圆内，需$r＞\frac{12}{5}$（此时点F在圆内）
要满足至少2个点在圆外，需$r＜4$（此时AD、AC两个点在圆外）
综上，r的取值范围是$\frac{12}{5}＜r＜4$
【答案】
(1) $\dfrac{12}{5}$；(2) $\dfrac{12}{5}＜r＜4$
【知识点】
矩形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形相关计算和点与圆位置关系的应用，解题的关键是灵活运用面积法求线段长度，再结合点和圆的位置关系的判断规则确定半径范围，侧重对基础运算和逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.7
11. 如图，将矩形纸片ABCD放在$\odot O$上，使其一边BC经过圆心O，量得$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BE=3\ \mathrm{cm}$，$AF=5\ \mathrm{cm}$，求$\odot O$的半径. 
(第11题)
(第11题)答案
11. 如图
,连接OF,过点F作$FH⊥ BC$,垂足为H. $\because$四边形ABCD是矩形,$\therefore ∠A=∠B=90°$,$\therefore$四边形ABFH是矩形. $\therefore BH=AF=5\ \mathrm{cm}$,$HF=AB=6\ \mathrm{cm}$. $\therefore EH=2\ \mathrm{cm}$,$FH=6\ \mathrm{cm}$. 设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$,则$OF=r\ \mathrm{cm}$,$OH=(r-2)\ \mathrm{cm}$. 在$\mathrm{Rt}△ FHO$中,$\because OF^2=FH^2+OH^2$,$\therefore r^2=6^2+(r-2)^2$. 解得$r=10$,即$\odot O$的半径为$10\ \mathrm{cm}$解析
【分析】
要解这道题求圆的半径，核心思路是构造包含半径的直角三角形，利用勾股定理列方程求解。首先结合矩形的性质，过点F作BC的垂线，既能得到新的矩形转化已知边长，也能得到直角三角形；再用半径表示出直角三角形的未知边长，最后代入勾股公式解方程即可得到半径长度。
【解析】
解：如图，连接OF，过点F作$FH⊥ BC$，垂足为H。
$\because$四边形ABCD是矩形，$\therefore ∠A=∠B=90°$，
$\therefore$四边形ABFH是矩形，
$\therefore BH=AF=5\ \mathrm{cm}$，$HF=AB=6\ \mathrm{cm}$。
又$\because BE=3\ \mathrm{cm}$，$\therefore EH=BH-BE=5-3=2\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OF=r\ \mathrm{cm}$，$OH=OE-EH=(r-2)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ FHO$中，由勾股定理得$OF^2=FH^2+OH^2$，
代入得：$r^2=6^2+(r-2)^2$，
展开计算：$r^2=36+r^2-4r+4$，
化简得：$4r=40$，解得$r=10$。
【答案】
，$\odot O$的半径为$10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，通过构造垂线的辅助线，将矩形性质和圆的特征结合，借助勾股定理建立方程求解，考查了学生的辅助线构造能力和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
要解这道题求圆的半径，核心思路是构造包含半径的直角三角形，利用勾股定理列方程求解。首先结合矩形的性质，过点F作BC的垂线，既能得到新的矩形转化已知边长，也能得到直角三角形；再用半径表示出直角三角形的未知边长，最后代入勾股公式解方程即可得到半径长度。
【解析】
解：如图
，连接OF，过点F作$FH⊥ BC$，垂足为H。$\because$四边形ABCD是矩形，$\therefore ∠A=∠B=90°$，
$\therefore$四边形ABFH是矩形，
$\therefore BH=AF=5\ \mathrm{cm}$，$HF=AB=6\ \mathrm{cm}$。
又$\because BE=3\ \mathrm{cm}$，$\therefore EH=BH-BE=5-3=2\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OF=r\ \mathrm{cm}$，$OH=OE-EH=(r-2)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ FHO$中，由勾股定理得$OF^2=FH^2+OH^2$，
代入得：$r^2=6^2+(r-2)^2$，
展开计算：$r^2=36+r^2-4r+4$，
化简得：$4r=40$，解得$r=10$。
【答案】
，$\odot O$的半径为$10\ \mathrm{cm}$【知识点】
矩形的性质、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，通过构造垂线的辅助线，将矩形性质和圆的特征结合，借助勾股定理建立方程求解，考查了学生的辅助线构造能力和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
