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8. 有两张长9 cm、宽5 cm的长方形硬纸板A，B，如果在A的四个角上各截去一个边长为0.5 cm的正方形，如图1-2-16①所示；在B的四个角上各截去一个边长为1 cm的正方形，如图1-2-16②所示，然后把它们分别折叠成一个无盖的长方体盒子，请问哪个硬纸板折叠成的长方体盒子容积较大？请说明理由。
答案
8. 解:硬纸板B折叠成的长方体盒子容积较大。
理由:硬纸板A折叠成的长方体盒子容积为$(9-0.5×2)×(5-0.5×2)×0.5=16(\mathrm{cm}^3)$；
硬纸板B折叠成的长方体盒子容积为$(9-1×2)×(5-1×2)×1=21(\mathrm{cm}^3)$。
因为 $16＜21$，
所以硬纸板B折叠成的长方体盒子容积较大。
理由:硬纸板A折叠成的长方体盒子容积为$(9-0.5×2)×(5-0.5×2)×0.5=16(\mathrm{cm}^3)$；
硬纸板B折叠成的长方体盒子容积为$(9-1×2)×(5-1×2)×1=21(\mathrm{cm}^3)$。
因为 $16＜21$，
所以硬纸板B折叠成的长方体盒子容积较大。
解析
【分析】
要比较两个无盖长方体盒子的容积大小，首先需要分别求出两个盒子的长、宽、高。折叠后盒子的高就是对应硬纸板上截去的正方形的边长；因为硬纸板的左右两个角各截去1个正方形，所以盒子的长等于原长方形硬纸板的长减去2倍截去正方形的边长；同理硬纸板上下两个角各截去1个正方形，盒子的宽等于原长方形硬纸板的宽减去2倍截去正方形的边长。再根据长方体容积=长×宽×高的公式，分别计算两个盒子的容积，最后比较两个容积的大小即可得出结论。
【解析】
1. 计算硬纸板A折叠成的长方体盒子容积：
截去的正方形边长为0.5cm，因此盒子的高为0.5cm
盒子的长：$9-0.5×2=8\ \mathrm{cm}$
盒子的宽：$5-0.5×2=4\ \mathrm{cm}$
容积：$8×4×0.5=16\ \mathrm{cm}^3$
2. 计算硬纸板B折叠成的长方体盒子容积：
截去的正方形边长为1cm，因此盒子的高为1cm
盒子的长：$9-1×2=7\ \mathrm{cm}$
盒子的宽：$5-1×2=3\ \mathrm{cm}$
容积：$7×3×1=21\ \mathrm{cm}^3$
3. 比较大小：$16＜21$，因此硬纸板B折叠成的盒子容积更大。
【答案】
硬纸板B折叠成的长方体盒子容积较大。理由:硬纸板A折叠成的长方体盒子容积为$(9-0.5×2)×(5-0.5×2)×0.5=16(\mathrm{cm}^3)$；硬纸板B折叠成的长方体盒子容积为$(9-1×2)×(5-1×2)×1=21(\mathrm{cm}^3)$。因为 $16＜21$，所以硬纸板B折叠成的长方体盒子容积较大。
【知识点】
长方体容积计算、图形折叠、有理数大小比较
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是准确对应折叠前后各边的数量关系，计算时注意不要遗漏减去2倍的截去正方形边长，能够有效考查学生的空间想象能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
要比较两个无盖长方体盒子的容积大小，首先需要分别求出两个盒子的长、宽、高。折叠后盒子的高就是对应硬纸板上截去的正方形的边长；因为硬纸板的左右两个角各截去1个正方形，所以盒子的长等于原长方形硬纸板的长减去2倍截去正方形的边长；同理硬纸板上下两个角各截去1个正方形，盒子的宽等于原长方形硬纸板的宽减去2倍截去正方形的边长。再根据长方体容积=长×宽×高的公式，分别计算两个盒子的容积，最后比较两个容积的大小即可得出结论。
【解析】
1. 计算硬纸板A折叠成的长方体盒子容积：
截去的正方形边长为0.5cm，因此盒子的高为0.5cm
盒子的长：$9-0.5×2=8\ \mathrm{cm}$
盒子的宽：$5-0.5×2=4\ \mathrm{cm}$
容积：$8×4×0.5=16\ \mathrm{cm}^3$
2. 计算硬纸板B折叠成的长方体盒子容积：
截去的正方形边长为1cm，因此盒子的高为1cm
盒子的长：$9-1×2=7\ \mathrm{cm}$
盒子的宽：$5-1×2=3\ \mathrm{cm}$
容积：$7×3×1=21\ \mathrm{cm}^3$
3. 比较大小：$16＜21$，因此硬纸板B折叠成的盒子容积更大。
【答案】
硬纸板B折叠成的长方体盒子容积较大。理由:硬纸板A折叠成的长方体盒子容积为$(9-0.5×2)×(5-0.5×2)×0.5=16(\mathrm{cm}^3)$；硬纸板B折叠成的长方体盒子容积为$(9-1×2)×(5-1×2)×1=21(\mathrm{cm}^3)$。因为 $16＜21$，所以硬纸板B折叠成的长方体盒子容积较大。
【知识点】
长方体容积计算、图形折叠、有理数大小比较
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题核心是准确对应折叠前后各边的数量关系，计算时注意不要遗漏减去2倍的截去正方形边长，能够有效考查学生的空间想象能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
9. 图1-2-17是一个几何体的表面展开图。
图1-2-17
(1)该几何体是
(2)标有字母A的面相对的面上标有的字母是
(3)依据图1-2-17中数据求该几何体的表面积和体积。
图1-2-17
(1)该几何体是
长方体
。(2)标有字母A的面相对的面上标有的字母是
F
。(3)依据图1-2-17中数据求该几何体的表面积和体积。
答案
9. 解:(1)长方体
(2)$F$
(3)表面积:$3×1×2+3×2×2+2×1×2=22(\mathrm{m}^2)$，
体积:$3×2×1=6(\mathrm{m}^3)$，
所以该几何体的表面积是$22\ \mathrm{m}^2$,体积是$6\ \mathrm{m}^3$。
(2)$F$
(3)表面积:$3×1×2+3×2×2+2×1×2=22(\mathrm{m}^2)$，
体积:$3×2×1=6(\mathrm{m}^3)$，
所以该几何体的表面积是$22\ \mathrm{m}^2$,体积是$6\ \mathrm{m}^3$。
解析
【分析】
(1) 首先观察展开图特征：该展开图由6个矩形面组成，符合长方体表面展开图的特点，可据此判断几何体类型。
(2) 长方体表面展开图中，相对的面完全相同且互不相邻，观察图形可知A是长3m、宽1m的面，找到和它不相邻的同尺寸的面即为A的对面。
(3) 先从图中提取长方体的长、宽、高分别为3m、2m、1m，再分别代入长方体表面积公式、体积公式计算即可。
【解析】
(1) 该展开图包含6个矩形面，符合长方体展开图的特征，因此该几何体是长方体。
(2) 根据长方体展开图相对面不相邻的规律，可判断标有字母A的面相对的面上标有的字母是F。
(3) 由图可知该长方体的长为3m，宽为2m，高为1m：
表面积：$3×1×2+3×2×2+2×1×2=6+12+4=22(\mathrm{m}^2)$
体积：$3×2×1=6(\mathrm{m}^3)$
【答案】
(1)长方体
(2)$F$
(3)表面积是$22\ \mathrm{m}^2$，体积是$6\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
长方体展开图、长方体表面积计算、长方体体积计算
【点评】
本题考查长方体展开图的识别、相对面判断以及基础公式的应用，掌握长方体展开图的特征、牢记表面积和体积计算公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 首先观察展开图特征：该展开图由6个矩形面组成，符合长方体表面展开图的特点，可据此判断几何体类型。
(2) 长方体表面展开图中，相对的面完全相同且互不相邻，观察图形可知A是长3m、宽1m的面，找到和它不相邻的同尺寸的面即为A的对面。
(3) 先从图中提取长方体的长、宽、高分别为3m、2m、1m，再分别代入长方体表面积公式、体积公式计算即可。
【解析】
(1) 该展开图包含6个矩形面，符合长方体展开图的特征，因此该几何体是长方体。
(2) 根据长方体展开图相对面不相邻的规律，可判断标有字母A的面相对的面上标有的字母是F。
(3) 由图可知该长方体的长为3m，宽为2m，高为1m：
表面积：$3×1×2+3×2×2+2×1×2=6+12+4=22(\mathrm{m}^2)$
体积：$3×2×1=6(\mathrm{m}^3)$
【答案】
(1)长方体
(2)$F$
(3)表面积是$22\ \mathrm{m}^2$，体积是$6\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
长方体展开图、长方体表面积计算、长方体体积计算
【点评】
本题考查长方体展开图的识别、相对面判断以及基础公式的应用，掌握长方体展开图的特征、牢记表面积和体积计算公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
10. 图1-2-18是一个正方体纸盒的表面展开图，当把它折成纸盒时，与数11重合的数是
10. 图1-2-18是一个正方体纸盒的表面展开图，当把它折成纸盒时，与数11重合的数是
1和7
。答案
10. 1和7
解析:由正方体表面展开图的特征得出,当把它折成纸盒时,数11所在的顶点和数7、数1所在的顶点重合,故数11与数7、数1重合。
解析:由正方体表面展开图的特征得出,当把它折成纸盒时,数11所在的顶点和数7、数1所在的顶点重合,故数11与数7、数1重合。
解析
【分析】
解决这类正方体展开图找重合数的问题，核心是理清折叠时公共顶点的对应关系。首先我们先定位11所在的顶点，再逐步想象折叠过程：先折上方的面，再折右侧的面，最后折下方的面，观察哪些数所在的顶点最终会和11的顶点重合，就能得到答案。
【解析】
我们通过模拟折叠过程分析：
1. 先找到数11的位置：它位于展开图最下方左侧的顶点处。
2. 将上方包含数字1、2、3的两个小正方形向下折叠，和中间包含2、3、4、12的正方形面贴合，此时数1所在的左下角顶点会和边12的上端点位置对应。
3. 将右侧包含数字4、5、6、7、8的两个小正方形向左折叠，和中间包含4、5、8、9的正方形面贴合，此时数7所在的左下角顶点会和边7、8的下端点位置对应。
4. 最后将下方包含数字11、10、9、12的小正方形向上折叠，此时11所在的顶点会和数1的顶点、数7的顶点完全重合。
综上，折成纸盒时与数11重合的数是1和7。
【答案】
1和7
【知识点】
正方体展开与折叠，立体图形折叠，公共顶点判断
【点评】
本题考查正方体展开图折叠的对应关系，需要一定的空间想象能力，若想象过程有困难，可通过动手折叠展开图的方式直观验证，属于空间几何的基础题型。
【难度系数】
0.6
解决这类正方体展开图找重合数的问题，核心是理清折叠时公共顶点的对应关系。首先我们先定位11所在的顶点，再逐步想象折叠过程：先折上方的面，再折右侧的面，最后折下方的面，观察哪些数所在的顶点最终会和11的顶点重合，就能得到答案。
【解析】
我们通过模拟折叠过程分析：
1. 先找到数11的位置：它位于展开图最下方左侧的顶点处。
2. 将上方包含数字1、2、3的两个小正方形向下折叠，和中间包含2、3、4、12的正方形面贴合，此时数1所在的左下角顶点会和边12的上端点位置对应。
3. 将右侧包含数字4、5、6、7、8的两个小正方形向左折叠，和中间包含4、5、8、9的正方形面贴合，此时数7所在的左下角顶点会和边7、8的下端点位置对应。
4. 最后将下方包含数字11、10、9、12的小正方形向上折叠，此时11所在的顶点会和数1的顶点、数7的顶点完全重合。
综上，折成纸盒时与数11重合的数是1和7。
【答案】
1和7
【知识点】
正方体展开与折叠，立体图形折叠，公共顶点判断
【点评】
本题考查正方体展开图折叠的对应关系，需要一定的空间想象能力，若想象过程有困难，可通过动手折叠展开图的方式直观验证，属于空间几何的基础题型。
【难度系数】
0.6
11. 在一次数学活动课上，王老师给同学们发了一张长 30 cm、宽 20 cm 的长方形纸片（如图 1-2-19），要求折成一个高为 5 cm 的无盖的长方体盒子。请在图中用虚线画出折痕，并求出该盒子的容积。
答案
11. 解:如答图1-2-4，该盒子的容积为$(30-5×2)×(20-5×2)×5=1000(\mathrm{cm}^3)$。
解析
【分析】
要制作高为5cm的无盖长方体盒子，首先思考折叠的逻辑：无盖盒子的高就是四边折起的高度，因此需要在原长方形的四个角各去掉1个边长为5cm的小正方形，才能保证折起四边时无重叠。折痕就是距离原长方形各边5cm、平行于对边的线。计算容积时，需先确定折叠后盒子的长、宽：原长30cm，左右各折起5cm，所以盒子长=30-2×5；原宽20cm，上下各折起5cm，所以盒子宽=20-2×5，高为5cm，再代入长方体容积公式（容积=长×宽×高）计算即可。
【解析】
1. 折痕画法：分别在距离长方形上下边5cm的位置画2条平行于长边的水平虚线，在距离左右边5cm的位置画2条平行于宽边的竖直虚线，剪去四个角处边长为5cm的小正方形后沿虚线折起，即可得到高为5cm的无盖长方体盒子。
2. 容积计算：
折成后盒子的长：$30 - 5×2 = 20(\mathrm{cm})$
折成后盒子的宽：$20 - 5×2 = 10(\mathrm{cm})$
盒子的高为$5\mathrm{cm}$
根据长方体容积公式计算：
$\mathrm{容积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}=20×10×5=1000(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
如答图1-2-4，该盒子的容积为$(30-5×2)×(20-5×2)×5=1000(\mathrm{cm}^3)$。
【知识点】
长方体容积计算；图形折叠；立体图形展开
【点评】
本题结合动手操作场景考查几何计算，需要学生结合空间想象能力找到折叠前后图形的边长对应关系，解题时需注意折起高度在长、宽方向各有两处，避免仅减去一次高度导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要制作高为5cm的无盖长方体盒子，首先思考折叠的逻辑：无盖盒子的高就是四边折起的高度，因此需要在原长方形的四个角各去掉1个边长为5cm的小正方形，才能保证折起四边时无重叠。折痕就是距离原长方形各边5cm、平行于对边的线。计算容积时，需先确定折叠后盒子的长、宽：原长30cm，左右各折起5cm，所以盒子长=30-2×5；原宽20cm，上下各折起5cm，所以盒子宽=20-2×5，高为5cm，再代入长方体容积公式（容积=长×宽×高）计算即可。
【解析】
1. 折痕画法：分别在距离长方形上下边5cm的位置画2条平行于长边的水平虚线，在距离左右边5cm的位置画2条平行于宽边的竖直虚线，剪去四个角处边长为5cm的小正方形后沿虚线折起，即可得到高为5cm的无盖长方体盒子。
2. 容积计算：
折成后盒子的长：$30 - 5×2 = 20(\mathrm{cm})$
折成后盒子的宽：$20 - 5×2 = 10(\mathrm{cm})$
盒子的高为$5\mathrm{cm}$
根据长方体容积公式计算：
$\mathrm{容积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}=20×10×5=1000(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
如答图1-2-4，该盒子的容积为$(30-5×2)×(20-5×2)×5=1000(\mathrm{cm}^3)$。
【知识点】
长方体容积计算；图形折叠；立体图形展开
【点评】
本题结合动手操作场景考查几何计算，需要学生结合空间想象能力找到折叠前后图形的边长对应关系，解题时需注意折起高度在长、宽方向各有两处，避免仅减去一次高度导致计算错误。
【难度系数】
0.7
