结论:$△ DCF ∽ △ ADE$，$\frac{CD}{DA}=\frac{CF}{DE}$。

证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A = ∠ADC = 90°，
∴ ∠ADE + ∠AED = 90°。
∵ CF⊥DE，
∴ ∠CGD = 90°，
∴ ∠ADE + ∠DCF = 90°，
∴ ∠AED = ∠DCF。
在△DCF和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}∠CDF = ∠A = 90° \\∠DCF = ∠AED\end{array} $
∴ △DCF ∽ △ADE（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{CD}{DA}=\frac{CF}{DE}$。

8.「2026安徽宿州期中，★★★」我们规定:四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段.如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,且EG⊥FH,则线段GE和FH称为垂美线段.
某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究.

图1 图2 图3 图4
(1)如图2,点E,F,G分别是正方形ABCD的边AD,AB,CD上的点,CE⊥FG于点H,则垂美线段CE与FG之间的数量关系是.
(2)如图3,在矩形ABCD中,AB=5,AD=4,点E,F,G分别在边AB,BC,CD上,且AF⊥GE于点P,请探究垂美线段AF与GE的数量关系,并证明你的结论.
(3)如图4,校园内有一块四边形场地ABCD,测得∠ABC=∠ADC=90°,点E,F分别在边BC,AB上,且AE⊥DF,量得BC=50 m,CD=50 m,AD=100 m,求$\frac{AE}{DF}$的值.

(1)$CE=FG$.
详解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore ∠ D=∠ B=∠ DCB=90°,CD=BC$,
如图,过点 $F$ 作 $FP⊥ CD$ 于点 $P$,则四边形 $BCPF$ 是矩形,
$\therefore ∠ FPG=90°,BC=PF=CD$,
$\because CE⊥ FG,\therefore ∠ GHC=90°$,
$\therefore ∠ GFP+∠ PGF=∠ HGC+∠ GCH=90°$,
$\therefore ∠ GCH=∠ GFP$,
在 $△ PFG$ 和 $△ DCE$ 中,$\begin{cases}∠ GPF=∠ D,\\PF=CD,\\∠ GFP=∠ ECD,\end{cases}$
$\therefore △ PFG≌ △ DCE(\mathrm{ASA}),\therefore CE=FG$.
(2)$\frac{GE}{AF}=\frac{4}{5}$.证明如下:
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形,
$\therefore ∠ D=∠ DAB=∠ B=90°$,
如图,过点 $G$ 作 $GH⊥ AB$ 于点 $H$,则四边形 $AHGD$ 是矩形,
$\therefore AD=GH,∠ GHE=90°$,
$\therefore ∠ GHE=∠ B=90°$,
$\because AF⊥ GE,\therefore ∠ APE=90°$,
$\therefore ∠ AEP+∠ FAB=∠ AFB+∠ FAB=90°,\therefore ∠ AEP=∠ AFB$,
$\therefore △ GEH∽ △ AFB,\therefore \frac{GE}{AF}=\frac{GH}{AB}=\frac{DA}{AB}=\frac{4}{5}$.
(3)如图,过点 $D$ 作 $DG// AB$,交 $BC$ 的延长线于点 $G$,过点 $A$ 作 $AH⊥ AB$ 交 $GD$ 的延长线于点 $H$,
$\therefore ∠ HAB=90°$,
$\because HG// AB,\therefore ∠ H=180°-∠ HAB=90°$,
又$\because ∠ B=90°,\therefore$ 四边形 $ABGH$ 是矩形.
$\therefore ∠ G=90°,AH=BG$.
$\because ∠ ADC=90°,\therefore ∠ ADH+∠ CDG=90°$.
$\because ∠ HAD+∠ ADH=90°,\therefore ∠ CDG=∠ DAH$.
又$\because ∠ G=∠ H,\therefore △ CGD∽ △ DHA$,
$\therefore \frac{GC}{HD}=\frac{DG}{AH}=\frac{DC}{AD}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$.
设 $CG=x\ \mathrm{m}$,则 $HD=2x\ \mathrm{m},AH=BG=BC+GC=(50+x)\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADH$ 中,由勾股定理得 $AH^2+DH^2=AD^2$,
$\therefore (50+x)^2+(2x)^2=100^2$,
解得 $x_1=30,x_2=-50$(不合题意,舍去),
$\therefore AH=50+30=80(\mathrm{m}),\therefore DG=\frac{1}{2}AH=40\ \mathrm{m}$,
$\therefore AB=HG=HD+DG=2×30+40=100(\mathrm{m})$.
由(2)可得$\frac{AE}{DF}=\frac{AB}{AH}=\frac{100}{80}=\frac{5}{4}$.