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1.(兰州中考)计算：$a^2(a-2b)=$（
A.$a^3 - a^2b$
B.$a^3 - 2a^2b$
C.$a^3 - 2ab^2$
D.$a^3 - a^2b^2$
B
）A.$a^3 - a^2b$
B.$a^3 - 2a^2b$
C.$a^3 - 2ab^2$
D.$a^3 - a^2b^2$
答案
1.B
解析
【分析】
这是一道单项式乘多项式的整式运算题，解题时首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所有的积相加。计算过程中要注意两点：一是不要漏乘多项式的项，二是同底数幂相乘时遵循底数不变、指数相加的规则，最后将计算结果与选项对比即可得到答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}a^2(a-2b)&=a^2· a + a^2· (-2b)\\&=a^{2+1} - 2a^2b\\&=a^3 - 2a^2b\end{aligned}$
对比选项可知B选项符合计算结果。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，侧重考查基础运算法则的应用，只要熟练掌握单项式乘多项式的运算步骤，注意运算过程中的符号和幂的运算规则，即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
这是一道单项式乘多项式的整式运算题，解题时首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所有的积相加。计算过程中要注意两点：一是不要漏乘多项式的项，二是同底数幂相乘时遵循底数不变、指数相加的规则，最后将计算结果与选项对比即可得到答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}a^2(a-2b)&=a^2· a + a^2· (-2b)\\&=a^{2+1} - 2a^2b\\&=a^3 - 2a^2b\end{aligned}$
对比选项可知B选项符合计算结果。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，侧重考查基础运算法则的应用，只要熟练掌握单项式乘多项式的运算步骤，注意运算过程中的符号和幂的运算规则，即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2.数学课上，老师讲了单项式乘多项式.放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课堂上讲的内容，他突然发现一道题：
$-3xy·(4y - 2x - 1) = -12xy^2 + 6x^2y +$
$-3xy·(4y - 2x - 1) = -12xy^2 + 6x^2y +$
3xy
.空格的地方被钢笔水弄脏了，你认为横线上应填写3xy
.答案
2.3xy
解析
【分析】
本题可根据单项式乘多项式的运算法则求解，解题思路如下：首先明确单项式乘多项式的运算规则，即用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所有乘积相加。我们只需将原式左侧完整展开，再和右侧已给出的项对比，即可得到空格处缺失的项，运算过程中要特别注意符号的判断。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，对左侧式子展开计算：
$-3xy·(4y - 2x - 1)$
$=-3xy·4y + (-3xy)·(-2x) + (-3xy)·(-1)$
$=-12xy^2 + 6x^2y + 3xy$
将展开结果与题干右侧给出的式子对比，可知空格处应填$3xy$。
【答案】
$3xy$
【知识点】
单项式乘多项式法则；同底数幂的乘法
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查单项式乘多项式的运算能力，解题的易错点是容易忽略负号，导致计算结果符号错误，熟练掌握运算法则、注意运算时的符号判断即可正确解题。
【难度系数】
0.9
本题可根据单项式乘多项式的运算法则求解，解题思路如下：首先明确单项式乘多项式的运算规则，即用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所有乘积相加。我们只需将原式左侧完整展开，再和右侧已给出的项对比，即可得到空格处缺失的项，运算过程中要特别注意符号的判断。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，对左侧式子展开计算：
$-3xy·(4y - 2x - 1)$
$=-3xy·4y + (-3xy)·(-2x) + (-3xy)·(-1)$
$=-12xy^2 + 6x^2y + 3xy$
将展开结果与题干右侧给出的式子对比，可知空格处应填$3xy$。
【答案】
$3xy$
【知识点】
单项式乘多项式法则；同底数幂的乘法
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查单项式乘多项式的运算能力，解题的易错点是容易忽略负号，导致计算结果符号错误，熟练掌握运算法则、注意运算时的符号判断即可正确解题。
【难度系数】
0.9
3. 计算:
(1)$(4a^3 - 2a + 1)(-2a)^2$；
(2)$(-2ab)^2 · (3a + 2b - 1)$；
(3)$( \frac{3}{4}xy - \frac{1}{2}y - y^2 ) · (-4x)$。
(1)$(4a^3 - 2a + 1)(-2a)^2$；
(2)$(-2ab)^2 · (3a + 2b - 1)$；
(3)$( \frac{3}{4}xy - \frac{1}{2}y - y^2 ) · (-4x)$。
答案
3.解:(1)$\begin{aligned} 原式&=(4a^3 - 2a + 1) · 4a^2 \\ &=4a^3 · 4a^2 + (-2a) · (4a^2) + 4a^2 \\ &=16a^5 - 8a^3 + 4a^2. \end{aligned}$
(2)$原式=4a^2b^2 · (3a + 2b - 1) = 12a^3b^2 + 8a^2b^3 - 4a^2b^2.$
(3)$\begin{aligned} 原式&=( \frac{3}{4}xy ) · (-4x) - \frac{1}{2}y · (-4x) - y^2 · (-4x) \\ &=-3x^2y + 2xy + 4xy^2. \end{aligned}$
(2)$原式=4a^2b^2 · (3a + 2b - 1) = 12a^3b^2 + 8a^2b^3 - 4a^2b^2.$
(3)$\begin{aligned} 原式&=( \frac{3}{4}xy ) · (-4x) - \frac{1}{2}y · (-4x) - y^2 · (-4x) \\ &=-3x^2y + 2xy + 4xy^2. \end{aligned}$
解析
【分析】
这三道题均为整式乘法运算，解题遵循先乘方、再乘法的运算顺序：①先处理式子中的乘方运算，利用积的乘方法则算出单项式部分；②再依据单项式乘多项式的法则，用得到的单项式去乘多项式的每一项，运算时注意符号判断（同号得正、异号得负），结合同底数幂的乘法法则计算每一项的结果；③最后将所有乘积相加即可，注意不要漏乘多项式的项。
【解析】
(1) 先计算乘方$(-2a)^2=4a^2$，再进行单项式乘多项式运算：
$\begin{aligned} 原式&=(4a^3 - 2a + 1) · 4a^2 \\ &=4a^3 · 4a^2 + (-2a) · 4a^2 + 1 · 4a^2 \\ &=16a^5 - 8a^3 + 4a^2. \end{aligned}$
(2) 先计算乘方$(-2ab)^2=4a^2b^2$，再进行单项式乘多项式运算：
$原式=4a^2b^2 · (3a + 2b - 1) = 4a^2b^2·3a + 4a^2b^2·2b + 4a^2b^2·(-1) = 12a^3b^2 + 8a^2b^3 - 4a^2b^2.$
(3) 直接用单项式$-4x$乘多项式的每一项：
$\begin{aligned} 原式&=\frac{3}{4}xy · (-4x) + (-\frac{1}{2}y) · (-4x) + (-y^2) · (-4x) \\ &=-3x^2y + 2xy + 4xy^2. \end{aligned}$
【答案】
(1)$16a^5 - 8a^3 + 4a^2$；(2)$12a^3b^2 + 8a^2b^3 - 4a^2b^2$；(3)$-3x^2y + 2xy + 4xy^2$
【知识点】
积的乘方，单项式乘多项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，核心考查运算顺序与单项式乘多项式法则的应用，计算时需注意不要漏乘多项式的项，同时要准确判断各项符号、正确计算幂的运算，是后续学习更复杂整式运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
这三道题均为整式乘法运算，解题遵循先乘方、再乘法的运算顺序：①先处理式子中的乘方运算，利用积的乘方法则算出单项式部分；②再依据单项式乘多项式的法则，用得到的单项式去乘多项式的每一项，运算时注意符号判断（同号得正、异号得负），结合同底数幂的乘法法则计算每一项的结果；③最后将所有乘积相加即可，注意不要漏乘多项式的项。
【解析】
(1) 先计算乘方$(-2a)^2=4a^2$，再进行单项式乘多项式运算：
$\begin{aligned} 原式&=(4a^3 - 2a + 1) · 4a^2 \\ &=4a^3 · 4a^2 + (-2a) · 4a^2 + 1 · 4a^2 \\ &=16a^5 - 8a^3 + 4a^2. \end{aligned}$
(2) 先计算乘方$(-2ab)^2=4a^2b^2$，再进行单项式乘多项式运算：
$原式=4a^2b^2 · (3a + 2b - 1) = 4a^2b^2·3a + 4a^2b^2·2b + 4a^2b^2·(-1) = 12a^3b^2 + 8a^2b^3 - 4a^2b^2.$
(3) 直接用单项式$-4x$乘多项式的每一项：
$\begin{aligned} 原式&=\frac{3}{4}xy · (-4x) + (-\frac{1}{2}y) · (-4x) + (-y^2) · (-4x) \\ &=-3x^2y + 2xy + 4xy^2. \end{aligned}$
【答案】
(1)$16a^5 - 8a^3 + 4a^2$；(2)$12a^3b^2 + 8a^2b^3 - 4a^2b^2$；(3)$-3x^2y + 2xy + 4xy^2$
【知识点】
积的乘方，单项式乘多项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，核心考查运算顺序与单项式乘多项式法则的应用，计算时需注意不要漏乘多项式的项，同时要准确判断各项符号、正确计算幂的运算，是后续学习更复杂整式运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
4. 如果一个三角形的底边长为$2x^2y + xy - y^2$，该底边上的高为$6xy$，那么这个三角形的面积为（
A.$6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 3xy^3$
B.$6x^2y^2 + 3xy - 3xy^2$
C.$6x^2y^2 + 3x^2y^2 - y^2$
D.$6x^3y + 3x^2y^2$
A
）A.$6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 3xy^3$
B.$6x^2y^2 + 3xy - 3xy^2$
C.$6x^2y^2 + 3x^2y^2 - y^2$
D.$6x^3y + 3x^2y^2$
答案
4.A
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步回忆三角形面积计算公式，明确三角形面积=1/2×底×底边上的高，将题目给出的底和高代入公式；第二步按照整式运算规则计算，先简化系数，再根据单项式乘多项式的法则运算：用单项式依次乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算时注意同底数幂的乘法规则和符号问题，最后匹配选项即可。
【解析】
根据三角形面积公式列式：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×底×高\\&=\frac{1}{2}×(2x^2y + xy - y^2)×6xy\\&=3xy×(2x^2y + xy - y^2)\\&=3xy·2x^2y + 3xy· xy + 3xy·(-y^2)\\&=6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 3xy^3\end{aligned}$
计算结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算、单项式与多项式相乘
【点评】
本题是整式乘法在几何计算中的基础应用，核心是掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时注意不要漏乘多项式的项，同时要注意符号和幂的指数运算，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步回忆三角形面积计算公式，明确三角形面积=1/2×底×底边上的高，将题目给出的底和高代入公式；第二步按照整式运算规则计算，先简化系数，再根据单项式乘多项式的法则运算：用单项式依次乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算时注意同底数幂的乘法规则和符号问题，最后匹配选项即可。
【解析】
根据三角形面积公式列式：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×底×高\\&=\frac{1}{2}×(2x^2y + xy - y^2)×6xy\\&=3xy×(2x^2y + xy - y^2)\\&=3xy·2x^2y + 3xy· xy + 3xy·(-y^2)\\&=6x^3y^2 + 3x^2y^2 - 3xy^3\end{aligned}$
计算结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算、单项式与多项式相乘
【点评】
本题是整式乘法在几何计算中的基础应用，核心是掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时注意不要漏乘多项式的项，同时要注意符号和幂的指数运算，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8
5. 通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图，可表示的代数恒等式是
$2a(a+b)=2a^2+2ab$
.答案
5.$2a(a+b)=2a^2+2ab$
解析
【分析】
解决这类用几何图形表示代数恒等式的问题，核心思路是用两种不同方法计算同一图形的面积，两个面积的表达式相等即可得到对应的恒等式。第一步先计算整个大图形的总面积，第二步计算分割后所有小图形的面积之和，最后联立两个表达式即可。
【解析】
1. 计算大长方形的面积：
观察图形可知，大长方形的长为$a+a=2a$，宽为$a+b$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得总面积为：$S=2a(a+b)$。
2. 计算各小部分的面积之和：
图形被分割为4个小区域，面积分别为$a^2$、$ab$、$ab$、$a^2$，相加得总面积为：$S=a^2+ab+ab+a^2=2a^2+2ab$。
3. 联立恒等式：
因为大图形的面积等于各部分面积之和，所以可得$2a(a+b)=2a^2+2ab$。
【答案】
$2a(a+b)=2a^2+2ab$
【知识点】
单项式乘多项式；面积法验证恒等式；整式乘法
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，通过几何图形面积的两种计算方式推导整式乘法的恒等式，将抽象的代数运算与直观的几何图形结合，解题的关键是准确计算两种方式下的图形面积。
【难度系数】
0.8
解决这类用几何图形表示代数恒等式的问题，核心思路是用两种不同方法计算同一图形的面积，两个面积的表达式相等即可得到对应的恒等式。第一步先计算整个大图形的总面积，第二步计算分割后所有小图形的面积之和，最后联立两个表达式即可。
【解析】
1. 计算大长方形的面积：
观察图形可知，大长方形的长为$a+a=2a$，宽为$a+b$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得总面积为：$S=2a(a+b)$。
2. 计算各小部分的面积之和：
图形被分割为4个小区域，面积分别为$a^2$、$ab$、$ab$、$a^2$，相加得总面积为：$S=a^2+ab+ab+a^2=2a^2+2ab$。
3. 联立恒等式：
因为大图形的面积等于各部分面积之和，所以可得$2a(a+b)=2a^2+2ab$。
【答案】
$2a(a+b)=2a^2+2ab$
【知识点】
单项式乘多项式；面积法验证恒等式；整式乘法
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，通过几何图形面积的两种计算方式推导整式乘法的恒等式，将抽象的代数运算与直观的几何图形结合，解题的关键是准确计算两种方式下的图形面积。
【难度系数】
0.8
6.要使$-x^3(x^2+ax+1)+2x^4$中不含有x的四次项，则$a=$（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要利用单项式乘多项式的法则将原式展开，再合并同类项找到所有含x的四次项。题目要求式子中不含x的四次项，意思就是x的四次项的系数等于0，据此列方程即可求出a的值。
【解析】
先展开并化简原式：
$\begin{aligned}&-x^3(x^2+ax+1)+2x^4\\=&-x^3· x^2 -x^3· ax -x^3·1 +2x^4\\=&-x^5 -ax^4 -x^3 +2x^4\\=&-x^5 + (-a+2)x^4 -x^3\end{aligned}$
因为式子中不含有x的四次项，所以x的四次项的系数为0，即：
$-a + 2 = 0$
解得：$a=2$
【答案】
B
【知识点】
1.单项式乘多项式法则 2.合并同类项 3.多项式项的系数
【点评】
本题属于整式乘法的基础应用题型，解题核心是理解“多项式中不含某一项”等价于该项的系数为0，掌握单项式乘多项式的运算和合并同类项的方法即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要利用单项式乘多项式的法则将原式展开，再合并同类项找到所有含x的四次项。题目要求式子中不含x的四次项，意思就是x的四次项的系数等于0，据此列方程即可求出a的值。
【解析】
先展开并化简原式：
$\begin{aligned}&-x^3(x^2+ax+1)+2x^4\\=&-x^3· x^2 -x^3· ax -x^3·1 +2x^4\\=&-x^5 -ax^4 -x^3 +2x^4\\=&-x^5 + (-a+2)x^4 -x^3\end{aligned}$
因为式子中不含有x的四次项，所以x的四次项的系数为0，即：
$-a + 2 = 0$
解得：$a=2$
【答案】
B
【知识点】
1.单项式乘多项式法则 2.合并同类项 3.多项式项的系数
【点评】
本题属于整式乘法的基础应用题型，解题核心是理解“多项式中不含某一项”等价于该项的系数为0，掌握单项式乘多项式的运算和合并同类项的方法即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
7.已知$3x· (x^n +5)=3x^{n+1} -8$，那么$x=$
$-\frac{8}{15}$
.答案
7.$-\frac{8}{15}$
解析
【分析】
解题时首先回忆单项式与多项式相乘的运算法则，第一步先将等式左边的单项式乘多项式展开，得到展开式后对比等式左右两边，会发现两边都含有相同的项$3x^{n+1}$，将该项消去后即可得到关于x的一元一次方程，解这个方程就能求出x的值。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则，先展开等式左边的式子：
$3x·(x^n +5)=3x·x^n + 3x·5 = 3x^{n+1} + 15x$
将展开结果代入原等式，可得：
$3x^{n+1} + 15x = 3x^{n+1} - 8$
等式两边同时减去$3x^{n+1}$，得：
$15x = -8$
系数化为1，解得：
$x=-\frac{8}{15}$
【答案】
$-\frac{8}{15}$
【知识点】
单项式乘多项式、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题的关键是准确展开单项式与多项式相乘的式子，消去两边同类项后转化为一元一次方程求解，计算时要注意不要漏乘多项式的每一项。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆单项式与多项式相乘的运算法则，第一步先将等式左边的单项式乘多项式展开，得到展开式后对比等式左右两边，会发现两边都含有相同的项$3x^{n+1}$，将该项消去后即可得到关于x的一元一次方程，解这个方程就能求出x的值。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则，先展开等式左边的式子：
$3x·(x^n +5)=3x·x^n + 3x·5 = 3x^{n+1} + 15x$
将展开结果代入原等式，可得：
$3x^{n+1} + 15x = 3x^{n+1} - 8$
等式两边同时减去$3x^{n+1}$，得：
$15x = -8$
系数化为1，解得：
$x=-\frac{8}{15}$
【答案】
$-\frac{8}{15}$
【知识点】
单项式乘多项式、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题的关键是准确展开单项式与多项式相乘的式子，消去两边同类项后转化为一元一次方程求解，计算时要注意不要漏乘多项式的每一项。
【难度系数】
0.8
8.若$a^2 - 3a -1=0$,则$a(a-3)+2=$
3
.答案
8.3
解析
【分析】
解题时首先对所求代数式进行化简，利用单项式乘多项式的法则展开，观察展开后式子的结构，发现其与已知等式中的含a的部分结构相同，因此可以采用整体代入的方法求值，无需计算a的具体数值，简化计算过程。第一步：展开目标代数式；第二步：从已知等式中求出整体部分的值；第三步：代入计算得到结果。
【解析】
首先对所求式子进行化简：
根据单项式与多项式相乘的法则，$a(a-3)=a^2 - 3a$，
因此原式$a(a-3)+2=a^2 - 3a + 2$。
已知$a^2 - 3a -1=0$，移项可得$a^2 - 3a = 1$。
将$a^2 - 3a =1$整体代入化简后的式子，得：
$1 + 2 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
单项式乘多项式运算；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查对单项式乘多项式运算法则的掌握，以及整体代入思想的运用，无需解出未知数的具体值，通过式子变形即可快速得到结果，能很好地检验学生对整式运算和代数求值方法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
解题时首先对所求代数式进行化简，利用单项式乘多项式的法则展开，观察展开后式子的结构，发现其与已知等式中的含a的部分结构相同，因此可以采用整体代入的方法求值，无需计算a的具体数值，简化计算过程。第一步：展开目标代数式；第二步：从已知等式中求出整体部分的值；第三步：代入计算得到结果。
【解析】
首先对所求式子进行化简：
根据单项式与多项式相乘的法则，$a(a-3)=a^2 - 3a$，
因此原式$a(a-3)+2=a^2 - 3a + 2$。
已知$a^2 - 3a -1=0$，移项可得$a^2 - 3a = 1$。
将$a^2 - 3a =1$整体代入化简后的式子，得：
$1 + 2 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
单项式乘多项式运算；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查对单项式乘多项式运算法则的掌握，以及整体代入思想的运用，无需解出未知数的具体值，通过式子变形即可快速得到结果，能很好地检验学生对整式运算和代数求值方法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
9.某同学在计算一个多项式乘$-3x^2$时，算成了加$-3x^2$，得到的答案是$x^2 - \frac{1}{2}x +1$，正确的计算结果是多少？
答案
9.解:$x^2 - \frac{1}{2}x + 1 - (-3x^2) = 4x^2 - \frac{1}{2}x + 1$，
故正确的计算结果为
$-3x^2 · ( 4x^2 - \frac{1}{2}x + 1 ) = -12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2.$
故正确的计算结果为
$-3x^2 · ( 4x^2 - \frac{1}{2}x + 1 ) = -12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2.$
解析
【分析】
要得到正确计算结果，首先需要还原出原本的多项式：题目中误将“乘$-3x^2$”算成“加$-3x^2$”，即原多项式 + $-3x^2$ = $x^2 - \frac{1}{2}x + 1$，因此用错误结果减去加上的$-3x^2$即可求出原多项式；再用原多项式乘$-3x^2$，按照单项式乘多项式的运算法则计算，就能得到正确结果。
【解析】
设原多项式为$A$，根据题意可得：
$A + (-3x^2) = x^2 - \frac{1}{2}x + 1$
第一步，求原多项式$A$：
$A = x^2 - \frac{1}{2}x + 1 - (-3x^2) = x^2 - \frac{1}{2}x + 1 + 3x^2 = 4x^2 - \frac{1}{2}x + 1$
第二步，计算正确的乘法运算：
根据单项式乘多项式法则，用$-3x^2$分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加：
$(-3x^2) · (4x^2 - \frac{1}{2}x + 1) = 4x^2 · (-3x^2) + (-\frac{1}{2}x) · (-3x^2) + 1 · (-3x^2)$
$= -12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$
【答案】
$-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$
【知识点】
1.整式的加减运算
2.单项式乘多项式法则
【点评】
本题是整式运算的常规题型，考查逆向推导原式的逻辑能力和单项式乘多项式的运算能力，计算过程中要注意各项的正负号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.7
要得到正确计算结果，首先需要还原出原本的多项式：题目中误将“乘$-3x^2$”算成“加$-3x^2$”，即原多项式 + $-3x^2$ = $x^2 - \frac{1}{2}x + 1$，因此用错误结果减去加上的$-3x^2$即可求出原多项式；再用原多项式乘$-3x^2$，按照单项式乘多项式的运算法则计算，就能得到正确结果。
【解析】
设原多项式为$A$，根据题意可得：
$A + (-3x^2) = x^2 - \frac{1}{2}x + 1$
第一步，求原多项式$A$：
$A = x^2 - \frac{1}{2}x + 1 - (-3x^2) = x^2 - \frac{1}{2}x + 1 + 3x^2 = 4x^2 - \frac{1}{2}x + 1$
第二步，计算正确的乘法运算：
根据单项式乘多项式法则，用$-3x^2$分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加：
$(-3x^2) · (4x^2 - \frac{1}{2}x + 1) = 4x^2 · (-3x^2) + (-\frac{1}{2}x) · (-3x^2) + 1 · (-3x^2)$
$= -12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$
【答案】
$-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$
【知识点】
1.整式的加减运算
2.单项式乘多项式法则
【点评】
本题是整式运算的常规题型，考查逆向推导原式的逻辑能力和单项式乘多项式的运算能力，计算过程中要注意各项的正负号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.7
10. 已知 $a(x^2 + x - c) + b(2x^2 - x - 2) = 7x^2 + 4x + 3$，求 $a,b,c$ 的值。
答案
10.解:$\because a(x^2 + x - c) + b(2x^2 - x - 2) = 7x^2 + 4x + 3,$
$\therefore (a + 2b)x^2 + (a - b)x - (ac + 2b) = 7x^2 + 4x + 3.$
$\therefore \begin{cases} a + 2b = 7, \\ a - b = 4, \\ -(ac + 2b) = 3. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a = 5, \\ b = 1, \\ c = -1. \end{cases}$
$\therefore (a + 2b)x^2 + (a - b)x - (ac + 2b) = 7x^2 + 4x + 3.$
$\therefore \begin{cases} a + 2b = 7, \\ a - b = 4, \\ -(ac + 2b) = 3. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a = 5, \\ b = 1, \\ c = -1. \end{cases}$
解析
【分析】
要解这道题可以按以下思路思考：首先，若两个关于x的多项式相等，它们对应同类项的系数一定相等。第一步先将等式左边的式子通过单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，整理成按x的降幂排列的形式；第二步对比等式左右两边同类项的系数，列出关于a、b、c的方程组；第三步先解只含a、b的二元一次方程组，求出a、b的值后，再代入第三个方程求出c的值即可。
【解析】
先对等式左边去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}a(x^2 + x - c) + b(2x^2 - x - 2)&=ax^2+ax-ac+2bx^2-bx-2b\\&=(a + 2b)x^2 + (a - b)x - (ac + 2b)\end{aligned}$
因为等式左边等于右边的$7x^2 + 4x + 3$，根据两个多项式相等时对应同类项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}a + 2b = 7 \\a - b = 4 \\-(ac + 2b) = 3\end{cases}$
先解前两个方程：用第一个方程减去第二个方程，得$3b=3$，解得$b=1$，将$b=1$代入$a - b = 4$，得$a=5$。
再把$a=5$，$b=1$代入第三个方程：$-(5c + 2×1)=3$，化简得$-5c -2=3$，解得$c=-1$。
【答案】
$\begin{cases} a = 5 \\ b = 1 \\ c = -1 \end{cases}$
【知识点】
单项式乘多项式；多项式恒等条件；解方程组
【点评】
本题是整式乘法与方程相结合的典型基础题，解题的核心是理解多项式相等的本质是对应同类项的系数相等，解题过程中要注意去括号时的符号问题，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
要解这道题可以按以下思路思考：首先，若两个关于x的多项式相等，它们对应同类项的系数一定相等。第一步先将等式左边的式子通过单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，整理成按x的降幂排列的形式；第二步对比等式左右两边同类项的系数，列出关于a、b、c的方程组；第三步先解只含a、b的二元一次方程组，求出a、b的值后，再代入第三个方程求出c的值即可。
【解析】
先对等式左边去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}a(x^2 + x - c) + b(2x^2 - x - 2)&=ax^2+ax-ac+2bx^2-bx-2b\\&=(a + 2b)x^2 + (a - b)x - (ac + 2b)\end{aligned}$
因为等式左边等于右边的$7x^2 + 4x + 3$，根据两个多项式相等时对应同类项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}a + 2b = 7 \\a - b = 4 \\-(ac + 2b) = 3\end{cases}$
先解前两个方程：用第一个方程减去第二个方程，得$3b=3$，解得$b=1$，将$b=1$代入$a - b = 4$，得$a=5$。
再把$a=5$，$b=1$代入第三个方程：$-(5c + 2×1)=3$，化简得$-5c -2=3$，解得$c=-1$。
【答案】
$\begin{cases} a = 5 \\ b = 1 \\ c = -1 \end{cases}$
【知识点】
单项式乘多项式；多项式恒等条件；解方程组
【点评】
本题是整式乘法与方程相结合的典型基础题，解题的核心是理解多项式相等的本质是对应同类项的系数相等，解题过程中要注意去括号时的符号问题，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
