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10. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为3，则第2026次输出的结果是
-3
。答案
-3 【点拨】第一次:3为奇数,$3-5=-2$,第二次:$-2$为偶数,$-2×\frac{1}{2}=-1$,第三次:$-1$为奇数,$-1-5=-6$,第四次:$-6$为偶数,$-6×\frac{1}{2}=-3$,第五次:$-3$为奇数,$-3-5=-8$,第六次:$-8$为偶数,$-8×\frac{1}{2}=-4$,第七次:$-4$为偶数,$-4×\frac{1}{2}=-2,…$,由此可见,每6次为一组循环,按照$-2,-1,-6,-3,-8,-4$的顺序循环,因为$2026÷6=337……4$,所以第2026次输出的结果为$-3.$
11.在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品。
下面我们用四个卡片代表四名同学(如图)：
(1)列式，并计算：
①−3经过A,B,C,D的顺序运算后，结果是多少？
②5经过B,C,A,D的顺序运算后，结果是多少？
(2)$-1^{103}$经过D,C,A,B的顺序运算后，结果是多少？
下面我们用四个卡片代表四名同学(如图)：
(1)列式，并计算：
①−3经过A,B,C,D的顺序运算后，结果是多少？
②5经过B,C,A,D的顺序运算后，结果是多少？
(2)$-1^{103}$经过D,C,A,B的顺序运算后，结果是多少？
答案
(1)①$[-3×2-(-5)]^2+6=7.$
②$[5-(-5)]^2×2+6=206.$
(2)$(-1^{103}+6)^2×2-(-5)$
$=(-1+6)^2×2-(-5)$
$=25×2+5$
$=55.$
②$[5-(-5)]^2×2+6=206.$
(2)$(-1^{103}+6)^2×2-(-5)$
$=(-1+6)^2×2-(-5)$
$=25×2+5$
$=55.$
12. [2025·潍坊模拟]某种品牌的同一种洗衣粉有A,B,C三种袋装包装,每袋分别装有400克、300克、200克的洗衣粉,售价分别为3.5元、2.8元、1.9元.A,B,C三种包装的洗衣粉,每袋的包装费用(含包装袋成本)分别为0.8元、0.6元、0.5元.厂家销售A,B,C三种包装的洗衣粉各1200千克,获得利润最大的是哪种包装的洗衣粉?
答案
A种包装的洗衣粉获利为$1\ 200\ 000÷400×(3.5-0.8)=8\ 100$(元);
B种包装的洗衣粉获利为$1\ 200\ 000÷300×(2.8-0.6)=8\ 800$(元);
C种包装的洗衣粉获利为$1\ 200\ 000÷200×(1.9-0.5)=8\ 400$(元),
因为$8\ 100＜8\ 400＜8\ 800.$
所以获得利润最大的是B种包装的洗衣粉.
B种包装的洗衣粉获利为$1\ 200\ 000÷300×(2.8-0.6)=8\ 800$(元);
C种包装的洗衣粉获利为$1\ 200\ 000÷200×(1.9-0.5)=8\ 400$(元),
因为$8\ 100＜8\ 400＜8\ 800.$
所以获得利润最大的是B种包装的洗衣粉.
13. 新考法 探究循环规律法 阅读材料，解决问题：
由 $3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243,$
$3^6 = 729, 3^7 = 2187, 3^8 = 6561, ···,$
不难发现3的正整数幂的个位数字以3,9,7,1为一个周期循环出现，由此可以得到：
因为 $3^{100} = 3^{4×25}$，所以 $3^{100}$ 的个位数字与 $3^4$ 的个位数字相同，应为1；
因为 $3^{2026} = 3^{4×506 + 2}$，所以 $3^{2026}$ 的个位数字与 $3^2$ 的个位数字相同，应为9.
(1)请你仿照材料，分别求出 $7^{99}$ 的个位数字及 $8^{99}$ 的个位数字；
(2)请探索出 $2^{21} + 7^{21} + 8^{21}$ 的个位数字；
(3)请直接写出 $8^{22} - 2^{22} - 3^{22}$ 的个位数字.
由 $3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243,$
$3^6 = 729, 3^7 = 2187, 3^8 = 6561, ···,$
不难发现3的正整数幂的个位数字以3,9,7,1为一个周期循环出现，由此可以得到：
因为 $3^{100} = 3^{4×25}$，所以 $3^{100}$ 的个位数字与 $3^4$ 的个位数字相同，应为1；
因为 $3^{2026} = 3^{4×506 + 2}$，所以 $3^{2026}$ 的个位数字与 $3^2$ 的个位数字相同，应为9.
(1)请你仿照材料，分别求出 $7^{99}$ 的个位数字及 $8^{99}$ 的个位数字；
(2)请探索出 $2^{21} + 7^{21} + 8^{21}$ 的个位数字；
(3)请直接写出 $8^{22} - 2^{22} - 3^{22}$ 的个位数字.
答案
(1) 因为$7^1=7,7^2=49,7^3=343,7^4=2\ 401,7^5=16\ 807,…,$
所以7的正整数幂的个位数字以7,9,3,1为一个周期循环出现.
因为$7^{99}=7^{4×24+3}$,所以$7^{99}$的个位数字与$7^3$的个位数字相同,应为3.
因为$8^1=8,8^2=64,8^3=512,8^4=4\ 096,8^5=32\ 768,…,$
所以8的正整数幂的个位数字以8,4,2,6为一个周期循环出现.
因为$8^{99}=8^{4×24+3}$,所以$8^{99}$的个位数字与$8^3$的个位数字相同,应为2.
(2)因为$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,…,$所以2的正整数幂的个位数字以2,4,8,6为一个周期循环出现.因为$2^{21}=2^{4×5+1}$,所以$2^{21}$的个位数字与$2^1$的个位数字相同,应为2.
因为$7^{21}=7^{4×5+1}$,所以$7^{21}$的个位数字与$7^1$的个位数字相同,应为7.
因为$8^{21}=8^{4×5+1}$,所以$8^{21}$的个位数字与$8^1$的个位数字相同,应为8.
因为$2+7+8=17$,
所以$2^{21}+7^{21}+8^{21}$的个位数字是7.
(3)$8^{22}-2^{22}-3^{22}$的个位数字是1.
点易错 仿照阅读材料,分别找出2,7,8的正整数幂的个位数字规律,即可解决问题.
所以7的正整数幂的个位数字以7,9,3,1为一个周期循环出现.
因为$7^{99}=7^{4×24+3}$,所以$7^{99}$的个位数字与$7^3$的个位数字相同,应为3.
因为$8^1=8,8^2=64,8^3=512,8^4=4\ 096,8^5=32\ 768,…,$
所以8的正整数幂的个位数字以8,4,2,6为一个周期循环出现.
因为$8^{99}=8^{4×24+3}$,所以$8^{99}$的个位数字与$8^3$的个位数字相同,应为2.
(2)因为$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,…,$所以2的正整数幂的个位数字以2,4,8,6为一个周期循环出现.因为$2^{21}=2^{4×5+1}$,所以$2^{21}$的个位数字与$2^1$的个位数字相同,应为2.
因为$7^{21}=7^{4×5+1}$,所以$7^{21}$的个位数字与$7^1$的个位数字相同,应为7.
因为$8^{21}=8^{4×5+1}$,所以$8^{21}$的个位数字与$8^1$的个位数字相同,应为8.
因为$2+7+8=17$,
所以$2^{21}+7^{21}+8^{21}$的个位数字是7.
(3)$8^{22}-2^{22}-3^{22}$的个位数字是1.
点易错 仿照阅读材料,分别找出2,7,8的正整数幂的个位数字规律,即可解决问题.
