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小红同学计算$\sqrt{2\dfrac{2}{3}} - \sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} + (\sqrt{3} + 2)^2 + |2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2|$的过程如下.
解: $\sqrt{2\dfrac{2}{3}} - \sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} + (\sqrt{3} + 2)^2 + |2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2|$
$= \sqrt{\dfrac{8}{3}} - \sqrt{27 × \dfrac{1}{3}} + (3 + 4) + (2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2) \ ···$ 第一步
$= \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \sqrt{9} + 7 + \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \ ··· ··· ··· ···$ 第二步
$= \dfrac{2\sqrt{6}}{3} - 3 + 7 + \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \ ··· ··· ··· ···$ 第三步
$= \dfrac{4\sqrt{6}}{3} + 2. \ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···$ 第四步
【基础设问】
(1) 上述题目中的式子$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}, \sqrt{27}, \sqrt{\dfrac{1}{3}}, \sqrt{3}, 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$中,属于最简二次根式的是
(2) 上述运算过程,第一步出现了两个错误,分别是①
(3) 请你写出正确的解答过程.
【能力设问】
(4) 上述(3)中的结果,最接近的整数是什么?
(5) 若上述(3)中结果的整数部分为$a$,小数部分为$b$,求$(a + 4\sqrt{3})(b - 6)$的值.
【拓展设问】
根据题目中的计算过程可知, $\sqrt{2\dfrac{2}{3}} = 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$,这里根号下带分数的整数部分2竟“跑”到了根号外,不妨把这种现象称为“穿墙”.具有该性质的数还有许多,如: $\sqrt{3\dfrac{3}{8}} = 3\sqrt{\dfrac{3}{8}}, \sqrt{4\dfrac{4}{15}} = 4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$.
(6) 按此性质,若$\sqrt{a + \dfrac{8}{b}} = a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$($a,b$为正整数),求$a + b$的值.
解: $\sqrt{2\dfrac{2}{3}} - \sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} + (\sqrt{3} + 2)^2 + |2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2|$
$= \sqrt{\dfrac{8}{3}} - \sqrt{27 × \dfrac{1}{3}} + (3 + 4) + (2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2) \ ···$ 第一步
$= \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \sqrt{9} + 7 + \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \ ··· ··· ··· ···$ 第二步
$= \dfrac{2\sqrt{6}}{3} - 3 + 7 + \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \ ··· ··· ··· ···$ 第三步
$= \dfrac{4\sqrt{6}}{3} + 2. \ ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···$ 第四步
【基础设问】
(1) 上述题目中的式子$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}, \sqrt{27}, \sqrt{\dfrac{1}{3}}, \sqrt{3}, 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$中,属于最简二次根式的是
$\sqrt{3}$
.(2) 上述运算过程,第一步出现了两个错误,分别是①
$(\sqrt{3} + 2)^2 = 3 + 4$
,②$|2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2| = 2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2$
.(3) 请你写出正确的解答过程.
【能力设问】
(4) 上述(3)中的结果,最接近的整数是什么?
(5) 若上述(3)中结果的整数部分为$a$,小数部分为$b$,求$(a + 4\sqrt{3})(b - 6)$的值.
【拓展设问】
根据题目中的计算过程可知, $\sqrt{2\dfrac{2}{3}} = 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$,这里根号下带分数的整数部分2竟“跑”到了根号外,不妨把这种现象称为“穿墙”.具有该性质的数还有许多,如: $\sqrt{3\dfrac{3}{8}} = 3\sqrt{\dfrac{3}{8}}, \sqrt{4\dfrac{4}{15}} = 4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$.
(6) 按此性质,若$\sqrt{a + \dfrac{8}{b}} = a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$($a,b$为正整数),求$a + b$的值.
答案
(1) $\sqrt{3}$
(2) ①$(\sqrt{3} + 2)^2$展开错误，正确结果应为$3 + 4\sqrt{3} + 4$，不是$3+4$；②去绝对值错误，$2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2＜0$，故$|2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2|=2 - 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，不是$2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2$
(3) 正确解答过程：
$\begin{aligned}&\sqrt{2\dfrac{2}{3}} - \sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} + (\sqrt{3} + 2)^2 + |2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2|\\=&\sqrt{\dfrac{8}{3}} - \sqrt{27 × \dfrac{1}{3}} + (3 + 4\sqrt{3} + 4) + (2 - 2\sqrt{\dfrac{2}{3}})\\=&\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \sqrt{9} + 7 + 4\sqrt{3} + 2 - \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\=&-3 + 9 + 4\sqrt{3}\\=&4\sqrt{3} + 6.\end{aligned}$
(4) 由(3)可得，该结果是$4\sqrt{3} + 6$。
$\because 6.5^2 = 42.25,(4\sqrt{3})^2 = 48,7^2 = 49$，
$\therefore 4\sqrt{3}$最接近的整数是7，$\therefore 4\sqrt{3} + 6$最接近的整数是13。
(5) $\because 6^2 = 36,(4\sqrt{3})^2 = 48,7^2 = 49$，
$\therefore a = 12,b = 4\sqrt{3} + 6 - 12 = 4\sqrt{3} - 6$，
$\therefore (a + 4\sqrt{3})(b - 6) = (12 + 4\sqrt{3})(4\sqrt{3} - 12) = (4\sqrt{3})^2 - 12^2 = 48 - 144 = -96$。
(6) $\because \sqrt{a + \dfrac{8}{b}} = a\sqrt{\dfrac{8}{b}},\therefore \sqrt{\dfrac{ab + 8}{b}} = \sqrt{\dfrac{8a^2}{b}}$，
$\therefore ab + 8 = 8a^2,\therefore b = \dfrac{8a^2 - 8}{a} = 8a - \dfrac{8}{a}$。
$\because a,b$为正整数，$\therefore \begin{cases}a=2,\\b=12\end{cases}$或$\begin{cases}a=4,\\b=30\end{cases}$或$\begin{cases}a=8,\\b=63\end{cases}$，
$\therefore a + b = 14$或$a + b = 34$或$a + b = 71$。
(2) ①$(\sqrt{3} + 2)^2$展开错误，正确结果应为$3 + 4\sqrt{3} + 4$，不是$3+4$；②去绝对值错误，$2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2＜0$，故$|2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2|=2 - 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，不是$2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2$
(3) 正确解答过程：
$\begin{aligned}&\sqrt{2\dfrac{2}{3}} - \sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} + (\sqrt{3} + 2)^2 + |2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2|\\=&\sqrt{\dfrac{8}{3}} - \sqrt{27 × \dfrac{1}{3}} + (3 + 4\sqrt{3} + 4) + (2 - 2\sqrt{\dfrac{2}{3}})\\=&\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \sqrt{9} + 7 + 4\sqrt{3} + 2 - \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\=&-3 + 9 + 4\sqrt{3}\\=&4\sqrt{3} + 6.\end{aligned}$
(4) 由(3)可得，该结果是$4\sqrt{3} + 6$。
$\because 6.5^2 = 42.25,(4\sqrt{3})^2 = 48,7^2 = 49$，
$\therefore 4\sqrt{3}$最接近的整数是7，$\therefore 4\sqrt{3} + 6$最接近的整数是13。
(5) $\because 6^2 = 36,(4\sqrt{3})^2 = 48,7^2 = 49$，
$\therefore a = 12,b = 4\sqrt{3} + 6 - 12 = 4\sqrt{3} - 6$，
$\therefore (a + 4\sqrt{3})(b - 6) = (12 + 4\sqrt{3})(4\sqrt{3} - 12) = (4\sqrt{3})^2 - 12^2 = 48 - 144 = -96$。
(6) $\because \sqrt{a + \dfrac{8}{b}} = a\sqrt{\dfrac{8}{b}},\therefore \sqrt{\dfrac{ab + 8}{b}} = \sqrt{\dfrac{8a^2}{b}}$，
$\therefore ab + 8 = 8a^2,\therefore b = \dfrac{8a^2 - 8}{a} = 8a - \dfrac{8}{a}$。
$\because a,b$为正整数，$\therefore \begin{cases}a=2,\\b=12\end{cases}$或$\begin{cases}a=4,\\b=30\end{cases}$或$\begin{cases}a=8,\\b=63\end{cases}$，
$\therefore a + b = 14$或$a + b = 34$或$a + b = 71$。
解析
【分析】
1. 第(1)问紧扣最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断给出的根式即可。
2. 第(2)问排查第一步运算：一是完全平方公式展开漏了交叉项，二是绝对值化简时未先判断内部表达式的正负，符号处理错误。
3. 第(3)问修正第一步的两个错误后，按二次根式化简、合并同类项的规则逐步计算即可。
4. 第(4)问先估算$4\sqrt{3}$的大小，通过平方对比可知其更接近整数7，即可得出整个结果最接近的整数。
5. 第(5)问先确定结果的整数部分$a$和小数部分$b$，代入代数式后利用平方差公式可简化计算。
6. 第(6)问将等式两边平方消去根号，整理得到$b$关于$a$的表达式，结合$a,b$为正整数的条件筛选符合要求的取值，再计算$a+b$即可。
【解析】
(1) 逐个判断：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}$被开方数含分母，$\sqrt{27}$含开得尽的因数9，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$被开方数含分母，$2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$根号内有分母，均不符合最简二次根式要求，仅$\sqrt{3}$符合定义。
(2) 第一步错误：①完全平方公式展开错误，$(\sqrt{3}+2)^2=3+4\sqrt{3}+4$，原计算漏了$4\sqrt{3}$项，错误算为$3+4$；②去绝对值错误，$2\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}＜2$，故$|2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-2|=2-2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，原步骤符号错误。
(3) 正确计算过程：
$\begin{aligned}&\sqrt{2\dfrac{2}{3}} - \sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} + (\sqrt{3} + 2)^2 + |2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2|\\=&\sqrt{\dfrac{8}{3}} - \sqrt{27 × \dfrac{1}{3}} + (3 + 4\sqrt{3} + 4) + (2 - 2\sqrt{\dfrac{2}{3}})\\=&\dfrac{2\sqrt{6}}{3} - 3 + 7 + 4\sqrt{3} + 2 - \dfrac{2\sqrt{6}}{3}\\=&-3 + 9 + 4\sqrt{3}\\=&4\sqrt{3} + 6.\end{aligned}$
(4) 由$(4\sqrt{3})^2=48$，$6.5^2=42.25$，$7^2=49$，可知$4\sqrt{3}$最接近整数7，因此$4\sqrt{3}+6$最接近的整数是$7+6=13$。
(5) 由$6＜4\sqrt{3}＜7$，得$12＜4\sqrt{3}+6＜13$，故整数部分$a=12$，小数部分$b=4\sqrt{3}+6-12=4\sqrt{3}-6$。代入得：
$\begin{aligned}(a + 4\sqrt{3})(b - 6)&=(12 + 4\sqrt{3})(4\sqrt{3} - 12)\\&=(4\sqrt{3})^2 - 12^2\\&=48 - 144\\&=-96.\end{aligned}$
(6) 等式两边平方得$a+\dfrac{8}{b}=\dfrac{8a^2}{b}$，两边同乘$b$整理得$ab+8=8a^2$，即$b=\dfrac{8a^2-8}{a}=8a-\dfrac{8}{a}$。因$a,b$为正整数，故$a$是8的正因数，符合条件的取值为$\begin{cases}a=2\\b=12\end{cases}$、$\begin{cases}a=4\\b=30\end{cases}$、$\begin{cases}a=8\\b=63\end{cases}$，对应$a+b$的值为14、34、71。
【答案】
(1) $\sqrt{3}$
(2) ①$(\sqrt{3} + 2)^2$展开错误，漏了$4\sqrt{3}$项，结果应为$3 + 4\sqrt{3} + 4$；②去绝对值错误，$|2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2|=2 - 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
(3) 最终化简结果为$4\sqrt{3}+6$
(4) 最接近的整数是13
(5) 代数式的值为$-96$
(6) $a + b$的值为14或34或71
【知识点】
最简二次根式的定义，二次根式的混合运算，代数式化简求值
【点评】
本题围绕二次根式相关知识设置分层设问，梯度合理，既考查基础运算能力，也锻炼逻辑推理和规律总结能力，能全面检验对二次根式知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问紧扣最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断给出的根式即可。
2. 第(2)问排查第一步运算：一是完全平方公式展开漏了交叉项，二是绝对值化简时未先判断内部表达式的正负，符号处理错误。
3. 第(3)问修正第一步的两个错误后，按二次根式化简、合并同类项的规则逐步计算即可。
4. 第(4)问先估算$4\sqrt{3}$的大小，通过平方对比可知其更接近整数7，即可得出整个结果最接近的整数。
5. 第(5)问先确定结果的整数部分$a$和小数部分$b$，代入代数式后利用平方差公式可简化计算。
6. 第(6)问将等式两边平方消去根号，整理得到$b$关于$a$的表达式，结合$a,b$为正整数的条件筛选符合要求的取值，再计算$a+b$即可。
【解析】
(1) 逐个判断：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}$被开方数含分母，$\sqrt{27}$含开得尽的因数9，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$被开方数含分母，$2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$根号内有分母，均不符合最简二次根式要求，仅$\sqrt{3}$符合定义。
(2) 第一步错误：①完全平方公式展开错误，$(\sqrt{3}+2)^2=3+4\sqrt{3}+4$，原计算漏了$4\sqrt{3}$项，错误算为$3+4$；②去绝对值错误，$2\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}＜2$，故$|2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-2|=2-2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，原步骤符号错误。
(3) 正确计算过程：
$\begin{aligned}&\sqrt{2\dfrac{2}{3}} - \sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} + (\sqrt{3} + 2)^2 + |2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2|\\=&\sqrt{\dfrac{8}{3}} - \sqrt{27 × \dfrac{1}{3}} + (3 + 4\sqrt{3} + 4) + (2 - 2\sqrt{\dfrac{2}{3}})\\=&\dfrac{2\sqrt{6}}{3} - 3 + 7 + 4\sqrt{3} + 2 - \dfrac{2\sqrt{6}}{3}\\=&-3 + 9 + 4\sqrt{3}\\=&4\sqrt{3} + 6.\end{aligned}$
(4) 由$(4\sqrt{3})^2=48$，$6.5^2=42.25$，$7^2=49$，可知$4\sqrt{3}$最接近整数7，因此$4\sqrt{3}+6$最接近的整数是$7+6=13$。
(5) 由$6＜4\sqrt{3}＜7$，得$12＜4\sqrt{3}+6＜13$，故整数部分$a=12$，小数部分$b=4\sqrt{3}+6-12=4\sqrt{3}-6$。代入得：
$\begin{aligned}(a + 4\sqrt{3})(b - 6)&=(12 + 4\sqrt{3})(4\sqrt{3} - 12)\\&=(4\sqrt{3})^2 - 12^2\\&=48 - 144\\&=-96.\end{aligned}$
(6) 等式两边平方得$a+\dfrac{8}{b}=\dfrac{8a^2}{b}$，两边同乘$b$整理得$ab+8=8a^2$，即$b=\dfrac{8a^2-8}{a}=8a-\dfrac{8}{a}$。因$a,b$为正整数，故$a$是8的正因数，符合条件的取值为$\begin{cases}a=2\\b=12\end{cases}$、$\begin{cases}a=4\\b=30\end{cases}$、$\begin{cases}a=8\\b=63\end{cases}$，对应$a+b$的值为14、34、71。
【答案】
(1) $\sqrt{3}$
(2) ①$(\sqrt{3} + 2)^2$展开错误，漏了$4\sqrt{3}$项，结果应为$3 + 4\sqrt{3} + 4$；②去绝对值错误，$|2\sqrt{\dfrac{2}{3}} - 2|=2 - 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
(3) 最终化简结果为$4\sqrt{3}+6$
(4) 最接近的整数是13
(5) 代数式的值为$-96$
(6) $a + b$的值为14或34或71
【知识点】
最简二次根式的定义，二次根式的混合运算，代数式化简求值
【点评】
本题围绕二次根式相关知识设置分层设问，梯度合理，既考查基础运算能力，也锻炼逻辑推理和规律总结能力，能全面检验对二次根式知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6
