1. 如图，小明在点C处测得树的顶端A的仰角为α，同时测得BC=15 m，则树的高度AB为（）

A.$15\tan α$ m
B.$\frac{15}{\tan α}$ m
C.$15\sin α$ m
D.$\frac{15}{\sin α}$ m

在Rt△ABC中,BC=15 m,∠ACB=α,tan α=$\frac{AB}{BC}$,AB=BC·tan α=15tan α(m).故选A.

【分析】
首先观察图形可判断△ABC是直角三角形，∠B=90°，题目已知水平边BC的长度为15m，仰角∠C=α，要求竖直的树高AB。我们需要找到联系已知量和未知量的三角函数关系：直角三角形中锐角的正切值等于对边与邻边的比值，α的对边是AB，邻边是BC，因此利用正切的定义建立等式，变形后就能求出AB的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=15 m，∠ACB=α，
根据正切函数的定义可得$\tan α = \frac{AB}{BC}$，
将BC=15代入等式变形得：$AB = BC · \tan α = 15\tan α$（m），因此选A。
【答案】
A
【知识点】
正切的定义，解直角三角形应用
【点评】
本题结合实际测树高的场景，考查锐角三角函数中正切定义的基础运用，明确直角三角形中锐角、对边、邻边的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. (2024·通辽中考)在“综合与实践”活动课上,活动小组测量一棵杨树的高度.如图,从C点测得杨树底端B点的仰角是$30°$,BC长6米,在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为$45°$,求杨树AB的高度(精确到0.1米,AB,BC,CD在同一平面内,点C,D在同一水平线上.参考数据:$\sqrt{3}≈1.73$).

过点 B 作 BE ⊥ DC 于点 E,在Rt△BCE 中,∠BCE=30°, BC=6 米,
∴ BE=$\frac{1}{2}$BC=3 米, CE=$\sqrt{BC^2-BE^2}$=$\sqrt{6^2-3^2}$=$3\sqrt{3}$(米).
∵ DC=4 米,
∴ DE=DC+CE=(4+$3\sqrt{3}$)米.
在 Rt△AED 中,∠ADE=45°,
∴ AE=DE=(4+$3\sqrt{3}$)米,
∴ AB=AE-BE=4+$3\sqrt{3}$-3=(1+$3\sqrt{3}$)米.
∵ $\sqrt{3}≈1.73$,
∴ AB=1+3×1.73=6.19≈6.2(米).
答:杨树 AB 的高度约为 6.2 米.

【分析】
本题是利用仰角测量物体高度的实际应用问题，解题核心是构造直角三角形，将已知条件转化为直角三角形的边角关系求解。首先过点B作BE垂直DC的延长线于点E，得到两个直角三角形：Rt△BCE和Rt△ADE。第一步先在Rt△BCE中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出BE的长度，再用勾股定理求出CE的长度；第二步结合DC的长度求出DE的长度；第三步在Rt△ADE中，利用45°角对应的等腰直角三角形两直角边相等的性质，得到AE=DE；最后AB的高度为AE减去BE的长度，代入√3的近似值计算出最终结果即可。
【解析】
过点 B 作 BE ⊥ DC 于点 E，
在Rt△BCE 中，∠BCE=30°，BC=6 米，
∴ BE=$\frac{1}{2}$BC=3 米，CE=$\sqrt{BC^2-BE^2}$=$\sqrt{6^2-3^2}$=$3\sqrt{3}$(米)。
∵ DC=4 米，
∴ DE=DC+CE=(4+$3\sqrt{3}$)米。
在 Rt△AED 中，∠ADE=45°，
∴ AE=DE=(4+$3\sqrt{3}$)米，
∴ AB=AE-BE=4+$3\sqrt{3}$-3=(1+$3\sqrt{3}$)米。
∵ $\sqrt{3}≈1.73$，
∴ AB=1+3×1.73=6.19≈6.2(米)。
【答案】
过点 B 作 BE ⊥ DC 于点 E,
杨树 AB 的高度约为 6.2 米。
【知识点】
解直角三角形应用、含30°直角三角形性质、等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的相关知识，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，侧重考查基础几何性质的应用和运算能力。
【难度系数】
0.7

3. 一架飞机在离地面6 000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为$30°$,此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（）

A.6 000米
B.12 000米
C.$6000\sqrt{3}$米
D.$12000\sqrt{3}$米

由题意得,这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是6 000÷sin 30°=12 000(米),故选B.

【分析】
首先明确俯角的定义：俯角是竖直面内视线与水平线向下的夹角。我们可以通过作辅助线构造直角三角形：过飞机位置向地面作垂线，垂足、飞机位置、建筑物底部三点构成直角三角形。其中飞机离地面的高度6000米是该直角三角形中30°角所对的直角边，要求的飞机与建筑物底部的距离是直角三角形的斜边。接下来可利用三角函数定义或直角三角形中30°角的性质求解斜边长度。
【解析】
根据题意构造直角三角形，竖直直角边为飞机的飞行高度6000米，俯角30°对应直角三角形的一个锐角，其对边为6000米，所求距离为直角三角形的斜边。
根据正弦函数的定义：$\sin30°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}$，代入已知数据得：
$\mathrm{斜边}=\frac{6000}{\sin30°}=\frac{6000}{\frac{1}{2}}=12000$（米）
也可利用直角三角形性质：30°角所对直角边等于斜边的一半，直接得到斜边为$2×6000=12000$米。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
俯角的概念；解直角三角形的应用；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形在实际问题中的基础应用，解题关键是准确理解俯角的含义，将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，结合相关性质或三角函数即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

4. ★★★ (黄冈中考)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15米,则尚美楼高度DF为米.(结果保留根号)

过点 E 作 EM ⊥ AB 于点 M,过点 F 作 FN ⊥ AB 于点 N,由题意可得,四边形 ECAM 是矩形,
∴ AM=CE=15 米.
∵ AB=30 米,
∴ BM=AB-AM=15 米.
∵ 从 B 处测得博雅楼顶部 E 的俯角为 45°,
∴ ∠EBM=45°,
∴ ∠BEM=45°,
∴ AC=EM=BM=15 米.
∵ 点 A 是 CD 的中点,
∴ AD=AC=15 米.由题意可得四边形 ADFN 是矩形,
∴ NF=AD=15 米.
∵ 从 B 处测得尚美楼顶部 F 的俯角为 30°,
∴ ∠NBF=60°,
∴ ∠BFN=30°,
∴ BF=2BN,
∴ 在 Rt△BNF 中,$BN^2+NF^2=BF^2$,
∴ $BN^2+15^2=(2BN)^2$,解得 BN=$5\sqrt{3}$,
∴ FD=AN=AB-BN=$(30-5\sqrt{3})$米.故尚美楼高度 DF 为$(30-5\sqrt{3})$米.

【分析】
这是一道俯角相关的解直角三角形实际应用题，解题时首先通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将已知的楼高、俯角、无人机高度等条件转化为几何图形中的边长和角度：①先利用左侧45°俯角得到等腰直角三角形，求出AC的长度，再结合A是CD中点得到AD的长度；②再利用右侧30°俯角在直角三角形中结合勾股定理求出BN的长度；③最后利用矩形对边相等的性质求出尚美楼的高度DF。
【解析】
过点 E 作 EM ⊥ AB 于点 M，过点 F 作 FN ⊥ AB 于点 N，
由题意可得，四边形 ECAM 是矩形，
∴ AM=CE=15 米。
∵ AB=30 米，
∴ BM=AB-AM=30-15=15 米。
∵ 从 B 处测得博雅楼顶部 E 的俯角为 45°，
∴ ∠EBM=45°，
∴ Rt△BEM为等腰直角三角形，EM=BM=15米，
∴ AC=EM=15 米。
∵ 点 A 是 CD 的中点，
∴ AD=AC=15 米。
由题意可得四边形 ADFN 是矩形，
∴ NF=AD=15 米，DF=AN。
∵ 从 B 处测得尚美楼顶部 F 的俯角为 30°，
∴ ∠BFN=30°，
∴ BF=2BN，
在 Rt△BNF 中，由勾股定理得：$BN^2+NF^2=BF^2$，
代入NF=15，BF=2BN得：$BN^2+15^2=(2BN)^2$，
解得 BN=$5\sqrt{3}$，
∴ FD=AN=AB-BN=$30-5\sqrt{3}$（米）。
【答案】
$\boldsymbol{30-5\sqrt{3}}$
【知识点】
解直角三角形的俯角应用，矩形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际测高场景考查解直角三角形的应用，解题的关键是合理添加辅助线，将实际问题转化为直角三角形和矩形的几何问题，结合特殊角的性质与勾股定理求解，注重考查转化思想和数形结合能力。
【难度系数】
0.6

5. ★★★ (阜新中考)如图,小颖家所在居民楼高AB为46 m,从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角α是$45°$,而大厦底部D的俯角β是$37°$.
(1)求两楼之间的距离BD;
(2)求大厦的高度CD.
(结果精确到 0.1 m.参考数据:$\sin 37° \approx 0.6,\cos 37° \approx 0.8,\tan 37° \approx 0.75$)

(1)过点 A 作 AE ⊥ CD 于点 E,根据题意可得 BD ⊥ CD,
∴ AE//BD,
∴ ∠ADB=β=37°.
∵ AB=46 m,tan 37°≈0.75,
∴ tan ∠ADB=tan 37°=$\frac{AB}{BD}$≈0.75,即$\frac{46}{BD}≈0.75$,解得 BD≈61.3.故两楼之间的距离 BD 约为 61.3 m.
(2)根据题意可得 AB ⊥ BD,CD ⊥ BD,AE ⊥ CD,
∴ 四边形 ABDE 为矩形,
∴ AE=BD=61.3 m,AB=DE=46 m.
∵ α=45°,AE ⊥ CD,
∴ ∠ACE=45°,
∴ AE=CE=61.3 m,
∴ CD=CE+DE=61.3+46=107.3(m).故大厦的高度 CD 约为107.3 m.

【分析】
这是一道仰角俯角相关的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：首先通过作辅助线AE⊥CD，将图形分割为矩形ABDE和两个直角三角形Rt△AED、Rt△AEC。(1)求BD时，根据俯角的定义可得∠ADB=β=37°，在Rt△ABD中，已知AB的长度和∠ADB的正切值，利用正切的定义即可求出BD的长度；(2)求CD时，先由矩形的性质得到DE=AB、AE=BD，再根据仰角α=45°可知Rt△AEC是等腰直角三角形，得到CE=AE，最后将CE和DE相加即可得到CD的高度。
【解析】
(1)过点A作AE⊥CD于点E，由题意得BD⊥CD，
∴AE//BD，
∴∠ADB=β=37°。
∵AB=46 m，$\tan37°\approx0.75$，
在Rt△ABD中，$\tan∠ ADB=\frac{AB}{BD}$，
即$\tan37°=\frac{46}{BD}\approx0.75$，解得$BD=\frac{46}{0.75}\approx61.3\ \mathrm{m}$。
(2)由题意得AB⊥BD，CD⊥BD，AE⊥CD，
∴四边形ABDE是矩形，
∴AE=BD≈61.3 m，DE=AB=46 m。
∵α=45°，AE⊥CD，
∴Rt△AEC为等腰直角三角形，
∴CE=AE≈61.3 m，
∴$CD=CE+DE\approx61.3+46=107.3(\mathrm{m})$。
【答案】
(1)两楼之间的距离BD约为61.3 m；
(2)大厦的高度CD约为107.3 m。
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角俯角），矩形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际生活中的典型应用，通过作高构造直角三角形和矩形，将实际测量问题转化为几何计算问题，解题时要准确理解仰角、俯角的含义，结合三角函数和特殊角的性质进行计算，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7