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6. 前沿科技 我国科学家研发的固体浮力材料已成功用于万米深海探测，为深潜器提供浮力，技术水平居于世界前列，固体浮力材料的核心是“微球”（直径很小的空心玻璃球）。若用质量为60 g，密度为$2.4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$的玻璃制成“微球”后，用黏合剂黏合制成一块固体浮力材料，其内部结构的放大示意图如图所示。黏合剂的密度为$1.2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，黏合剂体积占固体浮力材料总体积的20%，制成后的固体浮力材料密度为$0.48×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，下列说法错误的是（
A.黏合剂的质量为60 g
B.总体积是250 cm³
C.空心部分的体积为200 cm³
D.所用玻璃的体积是25 cm³
C
）A.黏合剂的质量为60 g
B.总体积是250 cm³
C.空心部分的体积为200 cm³
D.所用玻璃的体积是25 cm³
答案
C 【点拨】设固体浮力材料的总体积为V，由题意可知，黏合剂体积为0.2V；固体浮力材料的总质量$m=m_{玻璃}+m_{黏合剂}$；由$\rho=\frac{m}{V}$可知，$\rho V=m_{玻璃}+\rho_{黏合剂}×0.2V$，则固体浮力材料的总体积$V=\frac{m_{玻璃}}{\rho-0.2\rho_{黏合剂}}=\frac{60\ \mathrm{g}}{0.48\ \mathrm{g/cm}^3-0.2×1.2\ \mathrm{g/cm}^3}=250\ \mathrm{cm}^3$，黏合剂体积为$0.2V=0.2×250\ \mathrm{cm}^3=50\ \mathrm{cm}^3$；固体浮力材料中黏合剂的质量$m_{黏合剂}=\rho_{黏合剂}×0.2V=1.2\ \mathrm{g/cm}^3×50\ \mathrm{cm}^3=60\ \mathrm{g}$，故AB正确。“微球”中玻璃的体积$V_{玻璃}=\frac{m_{玻璃}}{\rho_{玻璃}}=\frac{60\ \mathrm{g}}{2.4\ \mathrm{g/cm}^3}=25\ \mathrm{cm}^3$，则固体浮力材料中空心部分的体积$V_{空}=V-0.2V-V_{玻璃}=250\ \mathrm{cm}^3-50\ \mathrm{cm}^3-25\ \mathrm{cm}^3=175\ \mathrm{cm}^3$，故C错误，D正确。故选C。
解析
【分析】
本题考查密度公式的综合应用，解题思路是先设固体浮力材料的总体积为V，根据“固体浮力材料的总质量等于玻璃的质量与黏合剂的质量之和”这一关系，结合密度公式建立方程求出总体积；再依次计算黏合剂的质量、玻璃的体积、空心部分的体积，最终判断各选项的正误。
【解析】
先统一单位（1×10³kg/m³=1g/cm³），则ρ玻璃=2.4g/cm³，ρ黏合剂=1.2g/cm³，ρ固体=0.48g/cm³。设固体浮力材料的总体积为V，黏合剂体积为0.2V。根据密度公式ρ=m/V，总质量关系为：
ρ固体V = m玻璃 + ρ黏合剂×0.2V
代入数据：0.48g/cm³×V = 60g + 1.2g/cm³×0.2V
整理得：0.48V = 60 + 0.24V，解得V=250cm³，故B选项正确。
黏合剂的质量：m黏合剂=ρ黏合剂×0.2V=1.2g/cm³×0.2×250cm³=60g，故A选项正确。
玻璃的体积：V玻璃=m玻璃/ρ玻璃=60g/2.4g/cm³=25cm³，故D选项正确。
空心部分体积：V空=总体积 - 黏合剂体积 - 玻璃体积=250cm³ - 50cm³ -25cm³=175cm³，故C选项错误。
【答案】
C
【知识点】
密度公式应用、质量体积计算
【点评】
本题结合固体浮力材料的结构，考查密度公式的综合运用，关键是理清各部分体积、质量的关系，计算空心部分体积时需用总体积减去黏合剂和玻璃的体积，避免概念混淆。
【难度系数】
0.5
本题考查密度公式的综合应用，解题思路是先设固体浮力材料的总体积为V，根据“固体浮力材料的总质量等于玻璃的质量与黏合剂的质量之和”这一关系，结合密度公式建立方程求出总体积；再依次计算黏合剂的质量、玻璃的体积、空心部分的体积，最终判断各选项的正误。
【解析】
先统一单位（1×10³kg/m³=1g/cm³），则ρ玻璃=2.4g/cm³，ρ黏合剂=1.2g/cm³，ρ固体=0.48g/cm³。设固体浮力材料的总体积为V，黏合剂体积为0.2V。根据密度公式ρ=m/V，总质量关系为：
ρ固体V = m玻璃 + ρ黏合剂×0.2V
代入数据：0.48g/cm³×V = 60g + 1.2g/cm³×0.2V
整理得：0.48V = 60 + 0.24V，解得V=250cm³，故B选项正确。
黏合剂的质量：m黏合剂=ρ黏合剂×0.2V=1.2g/cm³×0.2×250cm³=60g，故A选项正确。
玻璃的体积：V玻璃=m玻璃/ρ玻璃=60g/2.4g/cm³=25cm³，故D选项正确。
空心部分体积：V空=总体积 - 黏合剂体积 - 玻璃体积=250cm³ - 50cm³ -25cm³=175cm³，故C选项错误。
【答案】
C
【知识点】
密度公式应用、质量体积计算
【点评】
本题结合固体浮力材料的结构，考查密度公式的综合运用，关键是理清各部分体积、质量的关系，计算空心部分体积时需用总体积减去黏合剂和玻璃的体积，避免概念混淆。
【难度系数】
0.5
7. 目前我国汽车上所使用的防冻液有两种：乙二醇防冻液和酒精甘油防冻液，而考虑到价格和适用性一般选择乙二醇防冻液，它是乙二醇和水的混合物，其相关配方数据如表所示。（已知$\rho_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$\rho_{乙二醇}=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，假设混合前后总体积不变）
(1)如图所示是小严购买的一桶防冻液上的标签，求该桶防冻液内乙二醇的质量。
(2)若另一种防冻液的凝固点为$-22°\mathrm{C}$，求此时防冻液的密度。
(3)如果将上述两种防冻液进行混合，获得凝固点为$-32°\mathrm{C}$的防冻液3 L，那么需要这两种防冻液各多少升。
(1)如图所示是小严购买的一桶防冻液上的标签，求该桶防冻液内乙二醇的质量。
(2)若另一种防冻液的凝固点为$-22°\mathrm{C}$，求此时防冻液的密度。
(3)如果将上述两种防冻液进行混合，获得凝固点为$-32°\mathrm{C}$的防冻液3 L，那么需要这两种防冻液各多少升。
答案
【解】(1)乙二醇的体积$V_{乙二醇}=2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3×55\%=1.1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，
由$\rho=\frac{m}{V}$可得，乙二醇的质量$m_{乙二醇}=\rho_{乙二醇}V_{乙二醇}=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×1.1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=1.21\ \mathrm{kg}$。
(2)已知防冻液的凝固点为$-22\ \mathrm{℃}$时，乙二醇的体积为$40\%V'$，水的体积为$60\%V'$，此时防冻液的密度$\rho_2=\frac{m'}{V'}=\frac{m_{乙二醇}'+m_{水}'}{V_{乙二醇}'+V_{水}'}=\frac{\rho_{乙二醇}×40\%V'+\rho_{水}×60\%V'}{40\%V'+60\%V'}=\rho_{乙二醇}×40\%+\rho_{水}×60\%=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×40\%+1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×60\%=1.04×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3)防冻液的凝固点为$-40\ \mathrm{℃}$时，该防冻液的密度$\rho_1=\frac{m}{V}=\frac{m_{乙二醇}+m_{水}}{V_{乙二醇}+V_{水}}=\frac{\rho_{乙二醇}×55\%V+\rho_{水}×45\%V}{55\%V+45\%V}=\rho_{乙二醇}×55\%+\rho_{水}×45\%=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×55\%+1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×45\%=1.055×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；如果将这两种防冻液进行混合，获得凝固点为$-32\ \mathrm{℃}$的防冻液3 L，设凝固点为$-40\ \mathrm{℃}$的防冻液的体积为$V_1$，则凝固点为$-22\ \mathrm{℃}$的防冻液的体积$V_2=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3-V_1$，$\rho=\frac{m''}{V''}=\frac{\rho_1×V_1+\rho_2×(3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3-V_1)}{3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}$，已知防冻液的凝固点为$-32\ \mathrm{℃}$时，乙二醇的体积为$50\%V''$，水的体积为$50\%V''$，由密度公式得：$\rho=\frac{m''}{V''}=\frac{m_{乙二醇}''+m_{水}''}{V_{乙二醇}''+V_{水}''}=\frac{\rho_{乙二醇}×50\%V''+\rho_{水}×50\%V''}{50\%V''+50\%V''}=\rho_{乙二醇}×50\%+\rho_{水}×50\%=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×50\%+1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×50\%=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，
解得，$V_1=2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=2\ \mathrm{L}$，
$V_2=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3-V_1=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3-2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=1\ \mathrm{L}$。
由$\rho=\frac{m}{V}$可得，乙二醇的质量$m_{乙二醇}=\rho_{乙二醇}V_{乙二醇}=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×1.1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=1.21\ \mathrm{kg}$。
(2)已知防冻液的凝固点为$-22\ \mathrm{℃}$时，乙二醇的体积为$40\%V'$，水的体积为$60\%V'$，此时防冻液的密度$\rho_2=\frac{m'}{V'}=\frac{m_{乙二醇}'+m_{水}'}{V_{乙二醇}'+V_{水}'}=\frac{\rho_{乙二醇}×40\%V'+\rho_{水}×60\%V'}{40\%V'+60\%V'}=\rho_{乙二醇}×40\%+\rho_{水}×60\%=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×40\%+1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×60\%=1.04×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3)防冻液的凝固点为$-40\ \mathrm{℃}$时，该防冻液的密度$\rho_1=\frac{m}{V}=\frac{m_{乙二醇}+m_{水}}{V_{乙二醇}+V_{水}}=\frac{\rho_{乙二醇}×55\%V+\rho_{水}×45\%V}{55\%V+45\%V}=\rho_{乙二醇}×55\%+\rho_{水}×45\%=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×55\%+1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×45\%=1.055×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；如果将这两种防冻液进行混合，获得凝固点为$-32\ \mathrm{℃}$的防冻液3 L，设凝固点为$-40\ \mathrm{℃}$的防冻液的体积为$V_1$，则凝固点为$-22\ \mathrm{℃}$的防冻液的体积$V_2=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3-V_1$，$\rho=\frac{m''}{V''}=\frac{\rho_1×V_1+\rho_2×(3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3-V_1)}{3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}$，已知防冻液的凝固点为$-32\ \mathrm{℃}$时，乙二醇的体积为$50\%V''$，水的体积为$50\%V''$，由密度公式得：$\rho=\frac{m''}{V''}=\frac{m_{乙二醇}''+m_{水}''}{V_{乙二醇}''+V_{水}''}=\frac{\rho_{乙二醇}×50\%V''+\rho_{水}×50\%V''}{50\%V''+50\%V''}=\rho_{乙二醇}×50\%+\rho_{水}×50\%=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×50\%+1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×50\%=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，
解得，$V_1=2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=2\ \mathrm{L}$，
$V_2=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3-V_1=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3-2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=1\ \mathrm{L}$。
解析
【分析】
本题围绕防冻液的密度计算展开，需结合密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，利用混合前后总体积不变的条件，以及不同凝固点对应的乙二醇体积占比解题：
(1) 先确定该桶防冻液的总体积和乙二醇体积占比，算出乙二醇体积，再用密度公式求其质量；
(2) 凝固点为$-22℃$时，乙二醇体积占防冻液总体积的40%，水占60%，总质量为两者质量和，代入密度公式化简即可得混合密度；
(3) 先算出两种已知凝固点防冻液的密度，再算出目标凝固点防冻液的密度，设两种防冻液的体积，根据混合后总质量等于两者质量之和列方程求解。
【解析】
(1) 该桶防冻液总体积$V=2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，乙二醇体积占比55%，则乙二醇体积：
$V_{乙二醇}=55\%V=55\%×2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=1.1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
由$\rho=\frac{m}{V}$得乙二醇质量：
$m_{乙二醇}=\rho_{乙二醇}V_{乙二醇}=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×1.1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=1.21\ \mathrm{kg}$
(2) 设凝固点为$-22℃$时防冻液总体积为$V'$，乙二醇体积$40\%V'$，水体积$60\%V'$，总质量：
$m'=\rho_{乙二醇}×40\%V'+\rho_{水}×60\%V'$
防冻液密度：
$\rho_2=\frac{m'}{V'}=\rho_{乙二醇}×40\%+\rho_{水}×60\%=1.1×10^3×0.4 + 1.0×10^3×0.6=1.04×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) ① 凝固点为$-40℃$的防冻液密度：
$\rho_1=\rho_{乙二醇}×55\%+\rho_{水}×45\%=1.1×10^3×0.55 + 1.0×10^3×0.45=1.055×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
② 凝固点为$-32℃$的防冻液密度：
$\rho=\rho_{乙二醇}×50\%+\rho_{水}×50\%=1.1×10^3×0.5 + 1.0×10^3×0.5=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
③ 设需$-40℃$的防冻液体积$V_1$，则$-22℃$的体积$V_2=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3-V_1$，混合后总质量：
$\rho×3×10^{-3}=\rho_1V_1+\rho_2(3×10^{-3}-V_1)$
代入数据：
$1.05×10^3×3×10^{-3}=1.055×10^3V_1 + 1.04×10^3(3×10^{-3}-V_1)$
解得$V_1=2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=2\ \mathrm{L}$，$V_2=3\ \mathrm{L}-2\ \mathrm{L}=1\ \mathrm{L}$
【答案】
(1) $1.21\ \mathrm{kg}$；(2) $1.04×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(3) 需要凝固点为$-40℃$的防冻液2 L，凝固点为$-22℃$的防冻液1 L
【知识点】
密度公式应用；混合物密度计算
【点评】
本题结合实际场景考查密度知识的综合运用，关键是明确不同凝固点对应的乙二醇体积占比，需理清混合液体的质量、体积关系，步骤较多，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题围绕防冻液的密度计算展开，需结合密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，利用混合前后总体积不变的条件，以及不同凝固点对应的乙二醇体积占比解题：
(1) 先确定该桶防冻液的总体积和乙二醇体积占比，算出乙二醇体积，再用密度公式求其质量；
(2) 凝固点为$-22℃$时，乙二醇体积占防冻液总体积的40%，水占60%，总质量为两者质量和，代入密度公式化简即可得混合密度；
(3) 先算出两种已知凝固点防冻液的密度，再算出目标凝固点防冻液的密度，设两种防冻液的体积，根据混合后总质量等于两者质量之和列方程求解。
【解析】
(1) 该桶防冻液总体积$V=2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，乙二醇体积占比55%，则乙二醇体积：
$V_{乙二醇}=55\%V=55\%×2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=1.1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
由$\rho=\frac{m}{V}$得乙二醇质量：
$m_{乙二醇}=\rho_{乙二醇}V_{乙二醇}=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×1.1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=1.21\ \mathrm{kg}$
(2) 设凝固点为$-22℃$时防冻液总体积为$V'$，乙二醇体积$40\%V'$，水体积$60\%V'$，总质量：
$m'=\rho_{乙二醇}×40\%V'+\rho_{水}×60\%V'$
防冻液密度：
$\rho_2=\frac{m'}{V'}=\rho_{乙二醇}×40\%+\rho_{水}×60\%=1.1×10^3×0.4 + 1.0×10^3×0.6=1.04×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) ① 凝固点为$-40℃$的防冻液密度：
$\rho_1=\rho_{乙二醇}×55\%+\rho_{水}×45\%=1.1×10^3×0.55 + 1.0×10^3×0.45=1.055×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
② 凝固点为$-32℃$的防冻液密度：
$\rho=\rho_{乙二醇}×50\%+\rho_{水}×50\%=1.1×10^3×0.5 + 1.0×10^3×0.5=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
③ 设需$-40℃$的防冻液体积$V_1$，则$-22℃$的体积$V_2=3×10^{-3}\ \mathrm{m}^3-V_1$，混合后总质量：
$\rho×3×10^{-3}=\rho_1V_1+\rho_2(3×10^{-3}-V_1)$
代入数据：
$1.05×10^3×3×10^{-3}=1.055×10^3V_1 + 1.04×10^3(3×10^{-3}-V_1)$
解得$V_1=2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=2\ \mathrm{L}$，$V_2=3\ \mathrm{L}-2\ \mathrm{L}=1\ \mathrm{L}$
【答案】
(1) $1.21\ \mathrm{kg}$；(2) $1.04×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(3) 需要凝固点为$-40℃$的防冻液2 L，凝固点为$-22℃$的防冻液1 L
【知识点】
密度公式应用；混合物密度计算
【点评】
本题结合实际场景考查密度知识的综合运用，关键是明确不同凝固点对应的乙二醇体积占比，需理清混合液体的质量、体积关系，步骤较多，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
