登录
【例3】计算：
(1) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12}$；
(2) $\sqrt{15} × \frac{3}{5}\sqrt{20} ÷ (-\frac{1}{3}\sqrt{6})$。
(1) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12}$；
(2) $\sqrt{15} × \frac{3}{5}\sqrt{20} ÷ (-\frac{1}{3}\sqrt{6})$。
答案
解:(1)原式$=\sqrt{48÷3×\frac{1}{2}×12}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$。
(2)原式$=\frac{3}{5}÷(-\frac{1}{3})×\sqrt{15×20÷6}=\frac{3}{5}×(-3)×\sqrt{50}=\frac{3}{5}×(-3)×5\sqrt{2}=-9\sqrt{2}$。
(2)原式$=\frac{3}{5}÷(-\frac{1}{3})×\sqrt{15×20÷6}=\frac{3}{5}×(-3)×\sqrt{50}=\frac{3}{5}×(-3)×5\sqrt{2}=-9\sqrt{2}$。
解析
【分析】
这两道题都是二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：①二次根式乘除运算可依据法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a≥0,b＞0)$，将系数和被开方数分开分别运算；②运算中注意符号处理，最终结果要化为最简二次根式。第(1)题无单独系数，可直接把所有被开方数按从左到右的乘除顺序放入同一根号下计算，再化简；第(2)题带符号系数，先提取系数单独计算乘除，再计算被开方数部分的乘除，最后合并化简即可。
【解析】
(1) 依据二次根式乘除运算法则，将被开方数合并到同一根号内计算：
原式$=\sqrt{48÷3×\frac{1}{2}×12}$
计算根号内的运算：$48÷3=16$，$16×\frac{1}{2}=8$，$8×12=96$，得$\sqrt{96}$
化简为最简二次根式：$\sqrt{96}=\sqrt{16×6}=4\sqrt{6}$
(2) 将系数和二次根式部分分开计算：
原式$=[\frac{3}{5}÷(-\frac{1}{3})] × \sqrt{15×20÷6}$
计算系数部分：$\frac{3}{5}÷(-\frac{1}{3})=\frac{3}{5}×(-3)=-\frac{9}{5}$
计算被开方数部分：$15×20=300$，$300÷6=50$，得$\sqrt{50}$
化简$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$
合并计算：$-\frac{9}{5} × 5\sqrt{2} = -9\sqrt{2}$
【答案】
(1) $4\sqrt{6}$；(2) $-9\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算；最简二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题时可灵活选择运算顺序，既可以按从左到右的顺序逐步计算，也可以先合并被开方数统一计算，需要注意带系数的二次根式运算要先处理系数的符号和运算，最终结果必须化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
这两道题都是二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：①二次根式乘除运算可依据法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a≥0,b＞0)$，将系数和被开方数分开分别运算；②运算中注意符号处理，最终结果要化为最简二次根式。第(1)题无单独系数，可直接把所有被开方数按从左到右的乘除顺序放入同一根号下计算，再化简；第(2)题带符号系数，先提取系数单独计算乘除，再计算被开方数部分的乘除，最后合并化简即可。
【解析】
(1) 依据二次根式乘除运算法则，将被开方数合并到同一根号内计算：
原式$=\sqrt{48÷3×\frac{1}{2}×12}$
计算根号内的运算：$48÷3=16$，$16×\frac{1}{2}=8$，$8×12=96$，得$\sqrt{96}$
化简为最简二次根式：$\sqrt{96}=\sqrt{16×6}=4\sqrt{6}$
(2) 将系数和二次根式部分分开计算：
原式$=[\frac{3}{5}÷(-\frac{1}{3})] × \sqrt{15×20÷6}$
计算系数部分：$\frac{3}{5}÷(-\frac{1}{3})=\frac{3}{5}×(-3)=-\frac{9}{5}$
计算被开方数部分：$15×20=300$，$300÷6=50$，得$\sqrt{50}$
化简$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$
合并计算：$-\frac{9}{5} × 5\sqrt{2} = -9\sqrt{2}$
【答案】
(1) $4\sqrt{6}$；(2) $-9\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算；最简二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题时可灵活选择运算顺序，既可以按从左到右的顺序逐步计算，也可以先合并被开方数统一计算，需要注意带系数的二次根式运算要先处理系数的符号和运算，最终结果必须化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
1. 计算$\sqrt{\dfrac{4}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{3}}$的结果为 （
A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.2
D
）A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.2
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的除法运算法则：两个非负二次根式相除，可将被开方数相除后再开平方，即$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）。本题可直接套用该法则，先计算两个被开方数的商，再对结果开平方化简，最后匹配选项即可。
【解析】
根据二次根式的除法法则计算：
$\begin{aligned}\sqrt{\dfrac{4}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{3}}&=\sqrt{\dfrac{4}{3}÷\dfrac{1}{3}}\\&=\sqrt{\dfrac{4}{3}×3}\\&=\sqrt{4}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
二次根式的除法法则、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查对二次根式除法法则的掌握，计算时注意分数除法的运算规则，避免被开方数计算错误即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次根式的除法运算法则：两个非负二次根式相除，可将被开方数相除后再开平方，即$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）。本题可直接套用该法则，先计算两个被开方数的商，再对结果开平方化简，最后匹配选项即可。
【解析】
根据二次根式的除法法则计算：
$\begin{aligned}\sqrt{\dfrac{4}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{3}}&=\sqrt{\dfrac{4}{3}÷\dfrac{1}{3}}\\&=\sqrt{\dfrac{4}{3}×3}\\&=\sqrt{4}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
二次根式的除法法则、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查对二次根式除法法则的掌握，计算时注意分数除法的运算规则，避免被开方数计算错误即可。
【难度系数】
0.9
2. 下列运算正确的是 （
A.$\sqrt{2} × \sqrt{6} = 12$
B.$8\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{16}} = 1$
C.$(\sqrt{-3})^2 = -3$
D.$\sqrt{12} ÷ \sqrt{\frac{4}{3}} = 3$
D
）A.$\sqrt{2} × \sqrt{6} = 12$
B.$8\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{16}} = 1$
C.$(\sqrt{-3})^2 = -3$
D.$\sqrt{12} ÷ \sqrt{\frac{4}{3}} = 3$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘除运算及二次根式有意义的条件，解题思路是逐一验证每个选项：首先回忆二次根式的运算法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，且二次根式的被开方数必须为非负数，按照法则分别计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比即可判断对错。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2} × \sqrt{6} = \sqrt{2×6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}≠12$，故A错误；
选项B：先化简$\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$，则$8\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{16}}=8\sqrt{2}×\frac{1}{4}=2\sqrt{2}≠1$，故B错误；
选项C：二次根式的被开方数需大于等于0，$-3＜0$，$\sqrt{-3}$无意义，故C错误；
选项D：根据二次根式除法法则，$\sqrt{12} ÷ \sqrt{\frac{4}{3}} = \sqrt{12÷\frac{4}{3}}=\sqrt{12×\frac{3}{4}}=\sqrt{9}=3$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的除法运算；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式乘除运算法则的掌握，解题时要注意两点：一是先确认二次根式的被开方数符合非负要求，二是运算时要严格按照法则计算，化简结果要准确，避免出现运算失误。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的乘除运算及二次根式有意义的条件，解题思路是逐一验证每个选项：首先回忆二次根式的运算法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，且二次根式的被开方数必须为非负数，按照法则分别计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比即可判断对错。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2} × \sqrt{6} = \sqrt{2×6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}≠12$，故A错误；
选项B：先化简$\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$，则$8\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{16}}=8\sqrt{2}×\frac{1}{4}=2\sqrt{2}≠1$，故B错误；
选项C：二次根式的被开方数需大于等于0，$-3＜0$，$\sqrt{-3}$无意义，故C错误；
选项D：根据二次根式除法法则，$\sqrt{12} ÷ \sqrt{\frac{4}{3}} = \sqrt{12÷\frac{4}{3}}=\sqrt{12×\frac{3}{4}}=\sqrt{9}=3$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的除法运算；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式乘除运算法则的掌握，解题时要注意两点：一是先确认二次根式的被开方数符合非负要求，二是运算时要严格按照法则计算，化简结果要准确，避免出现运算失误。
【难度系数】
0.7
3. 下列各数中，与$\sqrt{3}$的积仍为无理数的是（
B
）答案
3. B
解析
【分析】
解题时我们按照以下思路推导：首先明确题目要求是找出与$\sqrt{3}$相乘后结果仍为无理数的选项，回忆二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a\ge0,b\ge0)$，第一步先将每个选项的二次根式与$\sqrt{3}$相乘并化简结果，第二步根据有理数（整数和分数的统称）、无理数（无限不循环小数，无法表示为两个整数的比值）的定义判断结果类型，最终选出符合要求的选项即可。
【解析】
我们逐一计算各选项与$\sqrt{3}$的乘积并判断：
A. $\sqrt{\frac{1}{27}} × \sqrt{3} = \sqrt{\frac{1}{27} × 3} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$是有理数，不符合要求；
B. $\sqrt{18} × \sqrt{3} = \sqrt{18 × 3} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$是无理数，因此$3\sqrt{6}$是无理数，符合要求；
C. $\sqrt{\frac{4}{3}} × \sqrt{3} = \sqrt{\frac{4}{3} × 3} = \sqrt{4} = 2$，2是有理数，不符合要求；
D. $\sqrt{\frac{1}{12}} × \sqrt{3} = \sqrt{\frac{1}{12} × 3} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$是有理数，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；无理数判定；有理数定义
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次根式的乘法运算和有理数、无理数的区分，解题的关键是熟练运用二次根式乘法法则，将乘积化简到最简形式后再判断属性。
【难度系数】
0.8
解题时我们按照以下思路推导：首先明确题目要求是找出与$\sqrt{3}$相乘后结果仍为无理数的选项，回忆二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a\ge0,b\ge0)$，第一步先将每个选项的二次根式与$\sqrt{3}$相乘并化简结果，第二步根据有理数（整数和分数的统称）、无理数（无限不循环小数，无法表示为两个整数的比值）的定义判断结果类型，最终选出符合要求的选项即可。
【解析】
我们逐一计算各选项与$\sqrt{3}$的乘积并判断：
A. $\sqrt{\frac{1}{27}} × \sqrt{3} = \sqrt{\frac{1}{27} × 3} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$是有理数，不符合要求；
B. $\sqrt{18} × \sqrt{3} = \sqrt{18 × 3} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$是无理数，因此$3\sqrt{6}$是无理数，符合要求；
C. $\sqrt{\frac{4}{3}} × \sqrt{3} = \sqrt{\frac{4}{3} × 3} = \sqrt{4} = 2$，2是有理数，不符合要求；
D. $\sqrt{\frac{1}{12}} × \sqrt{3} = \sqrt{\frac{1}{12} × 3} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$是有理数，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；无理数判定；有理数定义
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次根式的乘法运算和有理数、无理数的区分，解题的关键是熟练运用二次根式乘法法则，将乘积化简到最简形式后再判断属性。
【难度系数】
0.8
4.若$2\sqrt{3}□\sqrt{3}=6$，则“$□$”内的运算符号为
×
。答案
4. ×
解析
【分析】
本题要求确定等式中缺失的运算符号，解题思路为将加、减、乘、除四则运算符号依次代入左侧式子计算，将计算结果与右侧的6对比，符合结果的符号即为答案。计算时需遵循二次根式的四则运算法则：同类二次根式加减时，系数相加减、根式部分不变；二次根式相乘时，系数相乘为积的系数，被开方数相乘为积的被开方数，再化简结果；二次根式相除时，系数和被开方数分别相除再化简。
【解析】
我们依次将四则运算符号代入验证：
1. 若填入“+”：$2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}≠6$，不符合要求；
2. 若填入“-”：$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}≠6$，不符合要求；
3. 若填入“×”：$2\sqrt{3}×\sqrt{3}=2×(\sqrt{3}×\sqrt{3})=2×3=6$，与等式右侧结果一致，符合要求；
4. 若填入“÷”：$2\sqrt{3}÷\sqrt{3}=2≠6$，不符合要求。
因此“”内的运算符号为乘号。
【答案】
×
【知识点】
1. 二次根式的乘法运算
2. 二次根式的四则运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的四则运算法则，采用代入验证的方法即可快速求解，要求熟练掌握二次根式的基本运算规则，保证计算准确率。
【难度系数】
0.9
本题要求确定等式中缺失的运算符号，解题思路为将加、减、乘、除四则运算符号依次代入左侧式子计算，将计算结果与右侧的6对比，符合结果的符号即为答案。计算时需遵循二次根式的四则运算法则：同类二次根式加减时，系数相加减、根式部分不变；二次根式相乘时，系数相乘为积的系数，被开方数相乘为积的被开方数，再化简结果；二次根式相除时，系数和被开方数分别相除再化简。
【解析】
我们依次将四则运算符号代入验证：
1. 若填入“+”：$2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}≠6$，不符合要求；
2. 若填入“-”：$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}≠6$，不符合要求；
3. 若填入“×”：$2\sqrt{3}×\sqrt{3}=2×(\sqrt{3}×\sqrt{3})=2×3=6$，与等式右侧结果一致，符合要求；
4. 若填入“÷”：$2\sqrt{3}÷\sqrt{3}=2≠6$，不符合要求。
因此“”内的运算符号为乘号。
【答案】
×
【知识点】
1. 二次根式的乘法运算
2. 二次根式的四则运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的四则运算法则，采用代入验证的方法即可快速求解，要求熟练掌握二次根式的基本运算规则，保证计算准确率。
【难度系数】
0.9
5. 等式$\sqrt{\frac{x+3}{2-x}}=\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{2-x}}$成立时，$x$的取值范围为
$-3≤x＜2$
.答案
5. $-3≤x＜2$
解析
【分析】
本题考查二次根式除法法则的应用，解题思路是先明确“商的算术平方根等于算术平方根的商”这一性质的成立条件：被开方数的分子为非负数，分母为正数（因为分母含二次根式，不能为0）。据此列出关于x的不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式的除法法则：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件是$\begin{cases}a≥0 \\ b＞0\end{cases}$，
结合本题可得不等式组：
$\begin{cases}x+3≥0 ①\\2-x＞0 ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$x≥-3$；
解不等式②：移项得$-x＞-2$，系数化为1得$x＜2$。
取两个不等式解集的公共部分，可得x的取值范围。
【答案】
$-3≤x＜2$
【知识点】
二次根式除法法则，二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题，易错点是忽略分母位置的二次根式被开方数不能为0，误将$2-x＞0$写为$2-x≥0$，导致取值范围出错，解题时要注意区分分子和分母的限制条件。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式除法法则的应用，解题思路是先明确“商的算术平方根等于算术平方根的商”这一性质的成立条件：被开方数的分子为非负数，分母为正数（因为分母含二次根式，不能为0）。据此列出关于x的不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式的除法法则：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件是$\begin{cases}a≥0 \\ b＞0\end{cases}$，
结合本题可得不等式组：
$\begin{cases}x+3≥0 ①\\2-x＞0 ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$x≥-3$；
解不等式②：移项得$-x＞-2$，系数化为1得$x＜2$。
取两个不等式解集的公共部分，可得x的取值范围。
【答案】
$-3≤x＜2$
【知识点】
二次根式除法法则，二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题，易错点是忽略分母位置的二次根式被开方数不能为0，误将$2-x＞0$写为$2-x≥0$，导致取值范围出错，解题时要注意区分分子和分母的限制条件。
【难度系数】
0.7
6.计算：
(1) $\sqrt{12} ÷ \sqrt{27} × \sqrt{18}$；
(2) $\sqrt{1\dfrac{2}{3}} ÷ \sqrt{2\dfrac{1}{3}} × \sqrt{1\dfrac{2}{5}}$；
(3) $\dfrac{1}{2}\sqrt{6} × 4\sqrt{12} ÷ ( \dfrac{2}{3}\sqrt{2} )$。
(1) $\sqrt{12} ÷ \sqrt{27} × \sqrt{18}$；
(2) $\sqrt{1\dfrac{2}{3}} ÷ \sqrt{2\dfrac{1}{3}} × \sqrt{1\dfrac{2}{5}}$；
(3) $\dfrac{1}{2}\sqrt{6} × 4\sqrt{12} ÷ ( \dfrac{2}{3}\sqrt{2} )$。
答案
解:(1)原式$=2\sqrt{3}÷3\sqrt{3}×3\sqrt{2}=2×\frac{1}{3}×3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
(2)原式$=\sqrt{\frac{5}{3}÷\frac{7}{3}×\frac{7}{5}}=\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{3}{7}×\frac{7}{5}}=\sqrt{1}=1$。
(3)原式$=\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}×\sqrt{6×12÷2}=3\sqrt{36}=3×6=18$。
(2)原式$=\sqrt{\frac{5}{3}÷\frac{7}{3}×\frac{7}{5}}=\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{3}{7}×\frac{7}{5}}=\sqrt{1}=1$。
(3)原式$=\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}×\sqrt{6×12÷2}=3\sqrt{36}=3×6=18$。
解析
【分析】
这三道题均为二次根式的乘除混合运算，解题思路可遵循以下要点：①二次根式乘除运算可利用法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，将被开方数统一放在同一根号下运算，也可先将各二次根式化为最简后再计算；②若式子中存在带分数，需先化为假分数再参与运算；③带系数的二次根式乘除，可将系数和被开方数分别运算，再将结果相乘，最后化为最简二次根式即可，运算顺序遵循从左到右的有理数混合运算顺序。
（1）题可先将三个二次根式分别化为最简二次根式，再按从左到右的顺序计算系数和被开方数的乘除；（2）题先把所有带分数化为假分数，再把被开方数统一到同一根号内运算，约分后更简便；（3）题先单独计算系数的乘除，再计算被开方数的乘除，最后合并化简得到结果。
【解析】
(1) 先将各二次根式化为最简：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
原式$=2\sqrt{3}÷3\sqrt{3}×3\sqrt{2}=2×\frac{1}{3}×3×\sqrt{3÷3×2}=2\sqrt{2}$；
(2) 先将带分数化为假分数：$1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$，$2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$，$1\frac{2}{5}=\frac{7}{5}$，
根据二次根式乘除法则，统一合并到根号内运算：
原式$=\sqrt{\frac{5}{3}÷\frac{7}{3}×\frac{7}{5}}=\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{3}{7}×\frac{7}{5}}=\sqrt{1}=1$；
(3) 分别计算系数部分和被开方数部分：
系数部分：$\frac{1}{2}×4÷\frac{2}{3}=\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}=3$，
被开方数部分：$\sqrt{6×12÷2}=\sqrt{36}=6$，
原式$=3×6=18$。
【答案】
(1) $2\sqrt{2}$；(2) $1$；(3) $18$
【知识点】
1. 二次根式乘除法则
2. 二次根式化简
3. 有理数混合运算
【点评】
本题属于二次根式乘除运算的基础题型，解题时注意优先将带分数化为假分数，带系数的运算可拆分系数、被开方数两部分分别计算简化过程，运算时注意遵循运算顺序，结果需化为最简形式，熟练掌握二次根式化简技巧可大幅提升运算准确率和速度。
【难度系数】
0.75
这三道题均为二次根式的乘除混合运算，解题思路可遵循以下要点：①二次根式乘除运算可利用法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，将被开方数统一放在同一根号下运算，也可先将各二次根式化为最简后再计算；②若式子中存在带分数，需先化为假分数再参与运算；③带系数的二次根式乘除，可将系数和被开方数分别运算，再将结果相乘，最后化为最简二次根式即可，运算顺序遵循从左到右的有理数混合运算顺序。
（1）题可先将三个二次根式分别化为最简二次根式，再按从左到右的顺序计算系数和被开方数的乘除；（2）题先把所有带分数化为假分数，再把被开方数统一到同一根号内运算，约分后更简便；（3）题先单独计算系数的乘除，再计算被开方数的乘除，最后合并化简得到结果。
【解析】
(1) 先将各二次根式化为最简：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
原式$=2\sqrt{3}÷3\sqrt{3}×3\sqrt{2}=2×\frac{1}{3}×3×\sqrt{3÷3×2}=2\sqrt{2}$；
(2) 先将带分数化为假分数：$1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$，$2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$，$1\frac{2}{5}=\frac{7}{5}$，
根据二次根式乘除法则，统一合并到根号内运算：
原式$=\sqrt{\frac{5}{3}÷\frac{7}{3}×\frac{7}{5}}=\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{3}{7}×\frac{7}{5}}=\sqrt{1}=1$；
(3) 分别计算系数部分和被开方数部分：
系数部分：$\frac{1}{2}×4÷\frac{2}{3}=\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}=3$，
被开方数部分：$\sqrt{6×12÷2}=\sqrt{36}=6$，
原式$=3×6=18$。
【答案】
(1) $2\sqrt{2}$；(2) $1$；(3) $18$
【知识点】
1. 二次根式乘除法则
2. 二次根式化简
3. 有理数混合运算
【点评】
本题属于二次根式乘除运算的基础题型，解题时注意优先将带分数化为假分数，带系数的运算可拆分系数、被开方数两部分分别计算简化过程，运算时注意遵循运算顺序，结果需化为最简形式，熟练掌握二次根式化简技巧可大幅提升运算准确率和速度。
【难度系数】
0.75
7.(南阳模拟)若计算$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{24}$的结果为a，则这个数a落在了数轴上的
④
段(填“①”“②”“③”或“④”).答案
7. ④
解析
【分析】
解题时首先要根据二次根式的乘法运算法则求出a的取值，再对得到的无理数进行大小估算，确定其所在的整数区间，最后对照数轴上的四段区间即可得到答案。第一步利用二次根式乘法公式$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0$，$n≥0$）计算乘积，第二步通过比较被开方数和相邻完全平方数的大小，估算无理数的范围，第三步对应数轴区间判断位置。
【解析】
首先计算a的值：
根据二次根式的乘法运算法则：
$a=\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{24}=\sqrt{\frac{1}{2}×24}=\sqrt{12}$
接下来估算$\sqrt{12}$的大小：
∵$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜12＜16$
∴$\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{12}＜4$
观察数轴可知：段①对应区间0~1，段②对应1~2，段③对应2~3，段④对应3~4，因此a落在④段。
【答案】
④
【知识点】
二次根式的乘法运算；无理数的估算
【点评】
本题属于基础题，考查二次根式的运算和无理数大小估算的结合，解题的核心是正确计算二次根式的乘积，再利用平方数估算无理数的范围，掌握相关运算法则和估算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要根据二次根式的乘法运算法则求出a的取值，再对得到的无理数进行大小估算，确定其所在的整数区间，最后对照数轴上的四段区间即可得到答案。第一步利用二次根式乘法公式$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0$，$n≥0$）计算乘积，第二步通过比较被开方数和相邻完全平方数的大小，估算无理数的范围，第三步对应数轴区间判断位置。
【解析】
首先计算a的值：
根据二次根式的乘法运算法则：
$a=\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{24}=\sqrt{\frac{1}{2}×24}=\sqrt{12}$
接下来估算$\sqrt{12}$的大小：
∵$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜12＜16$
∴$\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{12}＜4$
观察数轴可知：段①对应区间0~1，段②对应1~2，段③对应2~3，段④对应3~4，因此a落在④段。
【答案】
④
【知识点】
二次根式的乘法运算；无理数的估算
【点评】
本题属于基础题，考查二次根式的运算和无理数大小估算的结合，解题的核心是正确计算二次根式的乘积，再利用平方数估算无理数的范围，掌握相关运算法则和估算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8.(百色模拟)对于任意两个不相等的数$a,b(a＞b)$,定义一种新运算$a※b=\dfrac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}$,如$3※2=\dfrac{\sqrt{3+2}}{\sqrt{3-2}}=\sqrt{5}$,则$12※4=$
$\sqrt{2}$
.答案
8. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题属于新定义运算题型，解题时首先要准确理解新运算※的规则：当两个不相等的数满足a＞b时，a※b的结果为$\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}$。解题时先确定本题中对应a=12、b=4，符合a＞b的运算前提，再将数值代入运算式，最后利用二次根式的除法运算法则化简计算即可得到结果。
【解析】
根据新定义的运算规则，将a=12，b=4代入运算式（满足12＞4的运算条件）：
$\begin{aligned}12※4&=\frac{\sqrt{12+4}}{\sqrt{12-4}}\\&=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{8}}\\&=\sqrt{\frac{16}{8}}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
（第二步到第三步依据二次根式除法性质：$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{m}{n}}$，其中$m≥0,n＞0$）
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式的除法
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和二次根式的化简计算能力，解题核心是准确匹配新运算中a、b的取值，正确运用二次根式的运算性质化简，计算难度较低，只要认真审题一般都能正确解答。
【难度系数】
0.85
本题属于新定义运算题型，解题时首先要准确理解新运算※的规则：当两个不相等的数满足a＞b时，a※b的结果为$\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}$。解题时先确定本题中对应a=12、b=4，符合a＞b的运算前提，再将数值代入运算式，最后利用二次根式的除法运算法则化简计算即可得到结果。
【解析】
根据新定义的运算规则，将a=12，b=4代入运算式（满足12＞4的运算条件）：
$\begin{aligned}12※4&=\frac{\sqrt{12+4}}{\sqrt{12-4}}\\&=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{8}}\\&=\sqrt{\frac{16}{8}}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
（第二步到第三步依据二次根式除法性质：$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{m}{n}}$，其中$m≥0,n＞0$）
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式的除法
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和二次根式的化简计算能力，解题核心是准确匹配新运算中a、b的取值，正确运用二次根式的运算性质化简，计算难度较低，只要认真审题一般都能正确解答。
【难度系数】
0.85
9.已知按规律排列的一列二次根式如下：$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$，$\sqrt{12}$，$\sqrt{20}$，……
（1）根据你发现的规律猜想第$n$个式子是多少；
（2）当$n=8$时，求它与前面所有的二次根式的积。
（1）根据你发现的规律猜想第$n$个式子是多少；
（2）当$n=8$时，求它与前面所有的二次根式的积。
答案
解:(1)因为$\sqrt{2}=\sqrt{1×2}$,$\sqrt{6}=\sqrt{2×3}$,$\sqrt{12}=\sqrt{3×4}$,$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}$……
所以第$n$个式子是$\sqrt{n(n+1)}$。
(2)当$n=8$时,$\sqrt{n(n+1)}=\sqrt{8×9}$,它与前面所有的二次根式的积为：
$\sqrt{1×2}×\sqrt{2×3}×\sqrt{3×4}×\sqrt{4×5}×…×\sqrt{8×9}$
$=\sqrt{1×2×2×3×3×4×4×…×8×8×9}$
$=1×2×3×4×…×8×3=120960$。
所以第$n$个式子是$\sqrt{n(n+1)}$。
(2)当$n=8$时,$\sqrt{n(n+1)}=\sqrt{8×9}$,它与前面所有的二次根式的积为：
$\sqrt{1×2}×\sqrt{2×3}×\sqrt{3×4}×\sqrt{4×5}×…×\sqrt{8×9}$
$=\sqrt{1×2×2×3×3×4×4×…×8×8×9}$
$=1×2×3×4×…×8×3=120960$。
解析
【分析】
（1）解决第(1)问时，先把给出的前几个二次根式的被开方数分解为两个相邻正整数的乘积，观察可得：第1个式子的被开方数是1和2的乘积，第2个是2和3的乘积，第3个是3和4的乘积，以此类推，第n个式子的被开方数就是n和(n+1)的乘积，由此就能归纳出第n个二次根式的表达式。
（2）解决第(2)问时，先写出n=8对应的二次根式，所求的积就是前8个二次根式的乘积。根据二次根式的乘法法则，可将所有被开方数放到同一个根号下相乘，观察根号内的因数会发现，除了1和9，其余2到8每个数都出现2次，开平方后可转化为整数连乘，最后计算结果即可。
【解析】
(1) 观察已知的二次根式：
$\sqrt{2}=\sqrt{1×2}$，$\sqrt{6}=\sqrt{2×3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{3×4}$，$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}$，……
可知第n个式子的被开方数是n与(n+1)的乘积，因此第n个式子是$\sqrt{n(n+1)}$。
(2) 当$n=8$时，对应的二次根式是$\sqrt{8×9}$，它与前面所有二次根式的积为前8个二次根式的乘积：
$\sqrt{1×2}×\sqrt{2×3}×\sqrt{3×4}×\sqrt{4×5}×…×\sqrt{8×9}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
原式$=\sqrt{1×2×2×3×3×4×4×…×8×8×9}$
$=\sqrt{1×2^2×3^2×4^2×…×8^2×9}$
化简得：
$=1×2×3×4×…×8×3=40320×3=120960$
【答案】
(1) 第$n$个式子是$\sqrt{n(n+1)}$；
(2) 所求的积为$120960$。
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 二次根式乘法法则
3. 算术平方根化简
【点评】
本题结合规律探究和二次根式运算考查，解题的关键是先准确找到被开方数的排列规律，再灵活运用二次根式乘法法则合并运算，观察根号内因数的重复特征可大幅简化计算，降低运算量。
【难度系数】
0.7
（1）解决第(1)问时，先把给出的前几个二次根式的被开方数分解为两个相邻正整数的乘积，观察可得：第1个式子的被开方数是1和2的乘积，第2个是2和3的乘积，第3个是3和4的乘积，以此类推，第n个式子的被开方数就是n和(n+1)的乘积，由此就能归纳出第n个二次根式的表达式。
（2）解决第(2)问时，先写出n=8对应的二次根式，所求的积就是前8个二次根式的乘积。根据二次根式的乘法法则，可将所有被开方数放到同一个根号下相乘，观察根号内的因数会发现，除了1和9，其余2到8每个数都出现2次，开平方后可转化为整数连乘，最后计算结果即可。
【解析】
(1) 观察已知的二次根式：
$\sqrt{2}=\sqrt{1×2}$，$\sqrt{6}=\sqrt{2×3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{3×4}$，$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}$，……
可知第n个式子的被开方数是n与(n+1)的乘积，因此第n个式子是$\sqrt{n(n+1)}$。
(2) 当$n=8$时，对应的二次根式是$\sqrt{8×9}$，它与前面所有二次根式的积为前8个二次根式的乘积：
$\sqrt{1×2}×\sqrt{2×3}×\sqrt{3×4}×\sqrt{4×5}×…×\sqrt{8×9}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
原式$=\sqrt{1×2×2×3×3×4×4×…×8×8×9}$
$=\sqrt{1×2^2×3^2×4^2×…×8^2×9}$
化简得：
$=1×2×3×4×…×8×3=40320×3=120960$
【答案】
(1) 第$n$个式子是$\sqrt{n(n+1)}$；
(2) 所求的积为$120960$。
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 二次根式乘法法则
3. 算术平方根化简
【点评】
本题结合规律探究和二次根式运算考查，解题的关键是先准确找到被开方数的排列规律，再灵活运用二次根式乘法法则合并运算，观察根号内因数的重复特征可大幅简化计算，降低运算量。
【难度系数】
0.7
