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基础知识·预习
问题1 直线与圆的位置关系一共有几种？分别是什么？
问题2 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离与半径有怎样的大小关系？
问题3 已知圆的半径$ r $和圆心到直线的距离$ d $，你能判断直线与圆的位置关系吗？
问题1 直线与圆的位置关系一共有几种？分别是什么？
问题2 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离与半径有怎样的大小关系？
问题3 已知圆的半径$ r $和圆心到直线的距离$ d $，你能判断直线与圆的位置关系吗？
答案
解：
问题1：直线与圆的位置关系一共有3种，分别是直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交。
问题2：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r。
问题3：可以判断，对应关系如下：
若$d ＞ r$，则直线与圆相离；
若$d = r$，则直线与圆相切；
若$d ＜ r$，则直线与圆相交。
问题1：直线与圆的位置关系一共有3种，分别是直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交。
问题2：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r。
问题3：可以判断，对应关系如下：
若$d ＞ r$，则直线与圆相离；
若$d = r$，则直线与圆相切；
若$d ＜ r$，则直线与圆相交。
解析
【分析】
本题是直线与圆位置关系的基础概念题，解题思路围绕分类依据展开：首先回忆直线与圆位置关系可通过公共点个数、圆心到直线的距离与半径的大小关系两个维度分类。问题1直接考查分类结果，问题2聚焦相切这种特殊位置的距离与半径的对应关系，问题3则系统梳理三种位置关系的判定规则，按d与r的大小对比逐一对应即可。
【解析】
问题1：根据直线与圆的公共点数量可划分位置关系：无公共点为相离，1个公共点为相切，2个公共点为相交，因此共有3种位置关系，分别为直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交。
问题2：直线与圆相切时，二者只有唯一公共点，此时圆心到直线的垂线段长度恰好等于半径长度，即圆心到直线的距离d等于圆的半径r。
问题3：可以通过d与r的大小关系判断位置关系：
若$d＞r$，直线与圆无公共点，二者相离；
若$d=r$，直线与圆仅有1个公共点，二者相切；
若$d＜r$，直线与圆有2个公共点，二者相交。
【答案】
问题1：直线与圆的位置关系一共有3种，分别是直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交。
问题2：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r。
问题3：可以判断，对应关系如下：
若$d ＞ r$，则直线与圆相离；
若$d = r$，则直线与圆相切；
若$d ＜ r$，则直线与圆相交。
【知识点】
直线与圆的位置关系；直线与圆相切的性质；直线与圆位置关系的判定
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础识记题，相关概念和判定规则是后续解决圆的切线证明、位置关系判断等综合题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题是直线与圆位置关系的基础概念题，解题思路围绕分类依据展开：首先回忆直线与圆位置关系可通过公共点个数、圆心到直线的距离与半径的大小关系两个维度分类。问题1直接考查分类结果，问题2聚焦相切这种特殊位置的距离与半径的对应关系，问题3则系统梳理三种位置关系的判定规则，按d与r的大小对比逐一对应即可。
【解析】
问题1：根据直线与圆的公共点数量可划分位置关系：无公共点为相离，1个公共点为相切，2个公共点为相交，因此共有3种位置关系，分别为直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交。
问题2：直线与圆相切时，二者只有唯一公共点，此时圆心到直线的垂线段长度恰好等于半径长度，即圆心到直线的距离d等于圆的半径r。
问题3：可以通过d与r的大小关系判断位置关系：
若$d＞r$，直线与圆无公共点，二者相离；
若$d=r$，直线与圆仅有1个公共点，二者相切；
若$d＜r$，直线与圆有2个公共点，二者相交。
【答案】
问题1：直线与圆的位置关系一共有3种，分别是直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交。
问题2：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r。
问题3：可以判断，对应关系如下：
若$d ＞ r$，则直线与圆相离；
若$d = r$，则直线与圆相切；
若$d ＜ r$，则直线与圆相交。
【知识点】
直线与圆的位置关系；直线与圆相切的性质；直线与圆位置关系的判定
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础识记题，相关概念和判定规则是后续解决圆的切线证明、位置关系判断等综合题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
【典型例题 1】在$△ ABC$中，$∠ A=45°$，$AC=4$，以点$C$为圆心，$r$为半径作圆.分别判断当$r=2,r=2\sqrt{2},r=3$时，直线$AB$与$\odot C$的位置关系和公共点个数.
思路导引 根据题意画出图形，过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$.根据$∠ A=45°$，结合勾股定理，可求出$CD$的长，即圆心$C$到直线$AB$的距离$d$，再根据$d$与$r$的大小关系，判断直线与圆的位置关系.
【解】过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$（图略），则$∠ ADC=90°$.
$\because ∠ A=45°$，
$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形.
$\therefore AD=CD$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD^2+CD^2=AC^2$，即$2CD^2=16$.
$\therefore CD=2\sqrt{2}$.
设圆心$C$到直线$AB$的距离为$d$，则$d=CD=2\sqrt{2}$.
当$r=2$时，$d＞r$.
故直线$AB$与$\odot C$相离，没有公共点.
当$r=2\sqrt{2}$时，$d=r$.
故直线$AB$与$\odot C$相切，有一个公共点.
当$r=3$时，$d＜r$.
故直线$AB$与$\odot C$相交，有两个公共点.
规律方法 判断直线与圆的位置关系的两种方法：
(1)根据直线与圆的公共点的个数来判断.
(2)根据圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的大小关系来判断.
思路导引 根据题意画出图形，过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$.根据$∠ A=45°$，结合勾股定理，可求出$CD$的长，即圆心$C$到直线$AB$的距离$d$，再根据$d$与$r$的大小关系，判断直线与圆的位置关系.
【解】过点$C$作$CD⊥ AB$，垂足为$D$（图略），则$∠ ADC=90°$.
$\because ∠ A=45°$，
$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形.
$\therefore AD=CD$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD^2+CD^2=AC^2$，即$2CD^2=16$.
$\therefore CD=2\sqrt{2}$.
设圆心$C$到直线$AB$的距离为$d$，则$d=CD=2\sqrt{2}$.
当$r=2$时，$d＞r$.
故直线$AB$与$\odot C$相离，没有公共点.
当$r=2\sqrt{2}$时，$d=r$.
故直线$AB$与$\odot C$相切，有一个公共点.
当$r=3$时，$d＜r$.
故直线$AB$与$\odot C$相交，有两个公共点.
规律方法 判断直线与圆的位置关系的两种方法：
(1)根据直线与圆的公共点的个数来判断.
(2)根据圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的大小关系来判断.
答案
解：
过点$C$作$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，则$∠ ADC=90°$。
$\because ∠ A=45°$，
$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形，
$\therefore AD=CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
代入$AC=4$，得$2CD^2 = 16$，
解得$CD=2\sqrt{2}$。
设圆心$C$到直线$AB$的距离为$d$，则$d=CD=2\sqrt{2}$。
当$r=2$时，$d＞r$，
$\therefore$ 直线$AB$与$\odot C$相离，公共点个数为0。
当$r=2\sqrt{2}$时，$d=r$，
$\therefore$ 直线$AB$与$\odot C$相切，公共点个数为1。
当$r=3$时，$d＜r$，
$\therefore$ 直线$AB$与$\odot C$相交，公共点个数为2。
过点$C$作$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，则$∠ ADC=90°$。
$\because ∠ A=45°$，
$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形，
$\therefore AD=CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
代入$AC=4$，得$2CD^2 = 16$，
解得$CD=2\sqrt{2}$。
设圆心$C$到直线$AB$的距离为$d$，则$d=CD=2\sqrt{2}$。
当$r=2$时，$d＞r$，
$\therefore$ 直线$AB$与$\odot C$相离，公共点个数为0。
当$r=2\sqrt{2}$时，$d=r$，
$\therefore$ 直线$AB$与$\odot C$相切，公共点个数为1。
当$r=3$时，$d＜r$，
$\therefore$ 直线$AB$与$\odot C$相交，公共点个数为2。
解析
【分析】
要判断直线AB与$\odot C$的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离$d$与半径$r$的大小关系。首先需求出距离$d$：过点C作AB的垂线段CD，结合已知$∠ A=45°$、$AC=4$，可知$△ ACD$是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出CD的长度即$d$；再分别将$r=2$、$r=2\sqrt{2}$、$r=3$与$d$比较，根据$d＞r$时相离、$d=r$时相切、$d＜r$时相交的判定规则，就能得到对应的位置关系和公共点个数。
【解析】
过点$C$作$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，则$∠ ADC=90°$。
$\because ∠ A=45°$，
$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形，
$\therefore AD=CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
代入$AC=4$，得$2CD^2 = 16$，
解得$CD=2\sqrt{2}$。
设圆心$C$到直线$AB$的距离为$d$，则$d=CD=2\sqrt{2}$。
当$r=2$时，$d＞r$，
$\therefore$ 直线$AB$与$\odot C$相离，公共点个数为0。
当$r=2\sqrt{2}$时，$d=r$，
$\therefore$ 直线$AB$与$\odot C$相切，公共点个数为1。
当$r=3$时，$d＜r$，
$\therefore$ 直线$AB$与$\odot C$相交，公共点个数为2。
【答案】
当$r=2$时，直线$AB$与$\odot C$相离，有0个公共点；
当$r=2\sqrt{2}$时，直线$AB$与$\odot C$相切，有1个公共点；
当$r=3$时，直线$AB$与$\odot C$相交，有2个公共点。
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用类题目，解题关键是掌握“通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判定位置关系”的方法，结合特殊三角形的性质求出距离即可解题，是直线与圆模块的基础考点。
【难度系数】
0.8
要判断直线AB与$\odot C$的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离$d$与半径$r$的大小关系。首先需求出距离$d$：过点C作AB的垂线段CD，结合已知$∠ A=45°$、$AC=4$，可知$△ ACD$是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出CD的长度即$d$；再分别将$r=2$、$r=2\sqrt{2}$、$r=3$与$d$比较，根据$d＞r$时相离、$d=r$时相切、$d＜r$时相交的判定规则，就能得到对应的位置关系和公共点个数。
【解析】
过点$C$作$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，则$∠ ADC=90°$。
$\because ∠ A=45°$，
$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形，
$\therefore AD=CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
代入$AC=4$，得$2CD^2 = 16$，
解得$CD=2\sqrt{2}$。
设圆心$C$到直线$AB$的距离为$d$，则$d=CD=2\sqrt{2}$。
当$r=2$时，$d＞r$，
$\therefore$ 直线$AB$与$\odot C$相离，公共点个数为0。
当$r=2\sqrt{2}$时，$d=r$，
$\therefore$ 直线$AB$与$\odot C$相切，公共点个数为1。
当$r=3$时，$d＜r$，
$\therefore$ 直线$AB$与$\odot C$相交，公共点个数为2。
【答案】
当$r=2$时，直线$AB$与$\odot C$相离，有0个公共点；
当$r=2\sqrt{2}$时，直线$AB$与$\odot C$相切，有1个公共点；
当$r=3$时，直线$AB$与$\odot C$相交，有2个公共点。
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用类题目，解题关键是掌握“通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判定位置关系”的方法，结合特殊三角形的性质求出距离即可解题，是直线与圆模块的基础考点。
【难度系数】
0.8
