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9. 如图,已知数轴的原点为O,A点表示3,B点表示$-\dfrac{3}{2}$。
(1)该图中数轴是什么图形? ,用字母表示为。(提示:图形指的是直线、射线和线段)
(2)该图中数轴在原点O右边的部分(包括原点)是什么图形? ,用字母表示为。
(3)该图中数轴上表示不小于$-\dfrac{3}{2}$且不大于3的部分是什么图形? ,用字母表示为。
(4)到点A距离等于2的点所表示的数是多少?
(1)该图中数轴是什么图形? ,用字母表示为。(提示:图形指的是直线、射线和线段)
(2)该图中数轴在原点O右边的部分(包括原点)是什么图形? ,用字母表示为。
(3)该图中数轴上表示不小于$-\dfrac{3}{2}$且不大于3的部分是什么图形? ,用字母表示为。
(4)到点A距离等于2的点所表示的数是多少?
答案
解：
(1) 直线；直线AB
(2) 射线；射线OA
(3) 线段；线段AB
(4) 当所求点在点A左侧时，对应的数为$3-2=1$；
当所求点在点A右侧时，对应的数为$3+2=5$。
答：到点A距离等于2的点所表示的数是1和5。
(1) 直线；直线AB
(2) 射线；射线OA
(3) 线段；线段AB
(4) 当所求点在点A左侧时，对应的数为$3-2=1$；
当所求点在点A右侧时，对应的数为$3+2=5$。
答：到点A距离等于2的点所表示的数是1和5。
解析
【分析】
解题时先回忆直线、射线、线段的核心特征：直线无端点，可向两端无限延伸；射线有1个端点，可向一端无限延伸；线段有2个端点，长度固定。再结合数轴的性质逐一分析问题：
1. 解决前3问时，先判断对应部分的端点数量、延伸特征，对应匹配三类线的定义，再用对应字母表示即可。
2. 解决第(4)问时，数轴上到一个定点距离为定值的点有2个，分别在定点的左侧和右侧，分两种情况计算即可，避免漏解。
【解析】
(1) 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，无端点，可向两端无限延伸，符合直线的特征，因此是直线，可用直线上的两个点表示为直线AB。
(2) 原点O右边的部分(包括原点)有1个端点O，向A的方向无限延伸，符合射线的特征，因此是射线，端点为O，沿OA方向延伸，表示为射线OA。
(3) 数轴上不小于$-\dfrac{3}{2}$且不大于3的部分，有两个端点B和A，长度固定，符合线段的特征，因此是线段，表示为线段AB。
(4) 分两种情况讨论：
① 当所求点在点A的左侧时，该点表示的数为$3-2=1$；
② 当所求点在点A的右侧时，该点表示的数为$3+2=5$。
综上，到点A距离等于2的点所表示的数是1和5。
【答案】
(1) 直线；直线AB
(2) 射线；射线OA
(3) 线段；线段AB
(4) 1和5
【知识点】
直线、射线、线段的定义；数轴的认识；数轴上两点的距离
【点评】
本题属于基础题，重点考查三类线的特征区分，以及数轴上点的距离计算，注意计算距离时要分点在定点左侧、右侧两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆直线、射线、线段的核心特征：直线无端点，可向两端无限延伸；射线有1个端点，可向一端无限延伸；线段有2个端点，长度固定。再结合数轴的性质逐一分析问题：
1. 解决前3问时，先判断对应部分的端点数量、延伸特征，对应匹配三类线的定义，再用对应字母表示即可。
2. 解决第(4)问时，数轴上到一个定点距离为定值的点有2个，分别在定点的左侧和右侧，分两种情况计算即可，避免漏解。
【解析】
(1) 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，无端点，可向两端无限延伸，符合直线的特征，因此是直线，可用直线上的两个点表示为直线AB。
(2) 原点O右边的部分(包括原点)有1个端点O，向A的方向无限延伸，符合射线的特征，因此是射线，端点为O，沿OA方向延伸，表示为射线OA。
(3) 数轴上不小于$-\dfrac{3}{2}$且不大于3的部分，有两个端点B和A，长度固定，符合线段的特征，因此是线段，表示为线段AB。
(4) 分两种情况讨论：
① 当所求点在点A的左侧时，该点表示的数为$3-2=1$；
② 当所求点在点A的右侧时，该点表示的数为$3+2=5$。
综上，到点A距离等于2的点所表示的数是1和5。
【答案】
(1) 直线；直线AB
(2) 射线；射线OA
(3) 线段；线段AB
(4) 1和5
【知识点】
直线、射线、线段的定义；数轴的认识；数轴上两点的距离
【点评】
本题属于基础题，重点考查三类线的特征区分，以及数轴上点的距离计算，注意计算距离时要分点在定点左侧、右侧两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.8
10. 主题式学习:数形规律探究学习。
(1)发现规律,猜想说理。
$1+2=3=\dfrac{2×(1+2)}{2}$,
$1+2+3=6=\dfrac{3×(1+3)}{2}$,
$1+2+3+4=10=\dfrac{4×(1+4)}{2}$,
$1+2+3+4+5=15=\dfrac{5×(1+5)}{2}$,
……
依此类推,我们发现$1+2+3+4+\dots+n$的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关。
如果我们设$S=1+2+3+4+\dots+n$,
则$2S=1+2+3+4+\dots+n+1+\dots+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n$。
我们可以看出此等式的右边是若干个$1+n$的和,
所以$2S=$。
则$1+2+3+4+\dots+n=$。
(2)运用规律,计算表达。
①计算$3+4+5+6+7+8+9+\dots+100=$。
②某校为庆祝2026年元旦,活跃学生文化生活,举行了歌咏比赛。七年级(9)班获得第一名,该班学生列队以“单击掌”形式(每两个学生击掌一次)祝贺获奖;活动结束后,该班同学又互赠元旦祝福语。如果该班有$x$名同学,则共击掌次,共赠送祝福语条。
(3)迁移规律,解决问题。
①高铁出行,方便快捷。为保证雄安、保定、石家庄、邢台、邯郸每两个城市之间都有高铁可乘,需要印制种不同的火车票。
②如图,在$4×5$的方格中,横线和竖线上的线段共有条。
(1)发现规律,猜想说理。
$1+2=3=\dfrac{2×(1+2)}{2}$,
$1+2+3=6=\dfrac{3×(1+3)}{2}$,
$1+2+3+4=10=\dfrac{4×(1+4)}{2}$,
$1+2+3+4+5=15=\dfrac{5×(1+5)}{2}$,
……
依此类推,我们发现$1+2+3+4+\dots+n$的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关。
如果我们设$S=1+2+3+4+\dots+n$,
则$2S=1+2+3+4+\dots+n+1+\dots+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n$。
我们可以看出此等式的右边是若干个$1+n$的和,
所以$2S=$。
则$1+2+3+4+\dots+n=$。
(2)运用规律,计算表达。
①计算$3+4+5+6+7+8+9+\dots+100=$。
②某校为庆祝2026年元旦,活跃学生文化生活,举行了歌咏比赛。七年级(9)班获得第一名,该班学生列队以“单击掌”形式(每两个学生击掌一次)祝贺获奖;活动结束后,该班同学又互赠元旦祝福语。如果该班有$x$名同学,则共击掌次,共赠送祝福语条。
(3)迁移规律,解决问题。
①高铁出行,方便快捷。为保证雄安、保定、石家庄、邢台、邯郸每两个城市之间都有高铁可乘,需要印制种不同的火车票。
②如图,在$4×5$的方格中,横线和竖线上的线段共有条。
答案
解：
(1) 由等式右边共有n个$(1+n)$相加，可得
$2S= n(n+1)$
则$1+2+3+4+\dots+n= \dfrac{n(n+1)}{2}$
(2) ① $3+4+5+6+7+8+9+\dots+100$
$=(1+2+3+\dots+100)-1-2$
$=\dfrac{100×(100+1)}{2}-3$
$=5050-3=5047$
② 每两名同学仅击掌一次，总击掌次数为$\dfrac{x(x-1)}{2}$；
每名同学向其余$x-1$名同学各赠1条祝福语，总祝福语条数为$x(x-1)$。
(3) ① 共5个城市，任意两城间往返车票不同，总火车票种类为$5×(5-1)=20$。
② 水平方向共有$4+1=5$条横线，每条横线上有$5+1=6$个端点，单条横线上线段总数为$\dfrac{6×(6-1)}{2}=15$，水平线段总条数为$5×15=75$；
竖直方向共有$5+1=6$条竖线，每条竖线上有$4+1=5$个端点，单条竖线上线段总数为$\dfrac{5×(5-1)}{2}=10$，竖直线段总条数为$6×10=60$；
因此横线和竖线上的线段总条数为$75+60=135$。
最终答案依次为：
(1) $\boldsymbol{n(n+1)}$；$\boldsymbol{\dfrac{n(n+1)}{2}}$
(2) ① $\boldsymbol{5047}$；② $\boldsymbol{\dfrac{x(x-1)}{2}}$；$\boldsymbol{x(x-1)}$
(3) ① $\boldsymbol{20}$；② $\boldsymbol{135}$
(1) 由等式右边共有n个$(1+n)$相加，可得
$2S= n(n+1)$
则$1+2+3+4+\dots+n= \dfrac{n(n+1)}{2}$
(2) ① $3+4+5+6+7+8+9+\dots+100$
$=(1+2+3+\dots+100)-1-2$
$=\dfrac{100×(100+1)}{2}-3$
$=5050-3=5047$
② 每两名同学仅击掌一次，总击掌次数为$\dfrac{x(x-1)}{2}$；
每名同学向其余$x-1$名同学各赠1条祝福语，总祝福语条数为$x(x-1)$。
(3) ① 共5个城市，任意两城间往返车票不同，总火车票种类为$5×(5-1)=20$。
② 水平方向共有$4+1=5$条横线，每条横线上有$5+1=6$个端点，单条横线上线段总数为$\dfrac{6×(6-1)}{2}=15$，水平线段总条数为$5×15=75$；
竖直方向共有$5+1=6$条竖线，每条竖线上有$4+1=5$个端点，单条竖线上线段总数为$\dfrac{5×(5-1)}{2}=10$，竖直线段总条数为$6×10=60$；
因此横线和竖线上的线段总条数为$75+60=135$。
最终答案依次为：
(1) $\boldsymbol{n(n+1)}$；$\boldsymbol{\dfrac{n(n+1)}{2}}$
(2) ① $\boldsymbol{5047}$；② $\boldsymbol{\dfrac{x(x-1)}{2}}$；$\boldsymbol{x(x-1)}$
(3) ① $\boldsymbol{20}$；② $\boldsymbol{135}$
解析
【分析】
本题是数形规律探究类题目，解题思路可分为三步：1.推导求和公式：通过倒序相加法，将两个相同的正整数求和式子对应项相加，发现每对和均为$n+1$，共$n$对，从而推导出$1+2+\dots+n$的求和公式；2.运用公式解决计算和实际场景问题：计算非从1开始的连续整数和时，可转化为从1开始的和减去缺少的部分；击掌类无顺序的计数问题直接用组合规律，互赠物品类有顺序的问题要注意结果翻倍；3.迁移规律解决线段计数问题：分别统计水平、竖直方向的线条数，再计算每条线上的线段总数（利用线段计数公式：若一条线上有$m$个端点，则线段总数为$\frac{m(m-1)}{2}$），最后求和得到总线段数。
【解析】
(1) 观察倒序相加后的式子，右边共有$n$个$(1+n)$相加，因此$2S=n(n+1)$，两边同时除以2可得$1+2+3+4+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$。
(2) ① 计算$3+4+\dots+100$时，可转化为从1加到100的和减去1和2：
原式$=(1+2+3+\dots+100)-1-2=\dfrac{100×(100+1)}{2}-3=5050-3=5047$。
② 击掌是每两名同学只进行1次，属于不考虑顺序的计数：$x$名同学中每人要和其余$x-1$人击掌，总次数要去掉重复计算的部分，即$\dfrac{x(x-1)}{2}$；
互赠祝福语是双向的，每人要给其余$x-1$人各送1条，总条数为$x(x-1)$。
(3) ① 共5个城市，火车票区分往返方向，每个城市到其余4个城市都需要不同的车票，因此总种类为$5×(5-1)=20$种。
② 先算水平方向线段：共有5条横线，每条横线上有6个端点，单条横线上线段数为$\dfrac{6×(6-1)}{2}=15$，水平线段共$5×15=75$条；
再算竖直方向线段：共有6条竖线，每条竖线上有5个端点，单条竖线上线段数为$\dfrac{5×(5-1)}{2}=10$，竖直线段共$6×10=60$条；
总线段数为$75+60=135$条。
【答案】
(1) $n(n+1)$；$\dfrac{n(n+1)}{2}$
(2) ① $5047$；② $\dfrac{x(x-1)}{2}$；$x(x-1)$
(3) ① $20$；② $135$
【知识点】
等差数列求和、计数规律应用、线段计数方法
【点评】
本题从基础规律推导出发，逐步延伸到生活实际应用和几何计数问题，层层递进，既考查学生对规律的归纳理解能力，也考查学生的知识迁移和实际问题转化能力，对逻辑思维的锻炼有较高价值。
【难度系数】
0.7
本题是数形规律探究类题目，解题思路可分为三步：1.推导求和公式：通过倒序相加法，将两个相同的正整数求和式子对应项相加，发现每对和均为$n+1$，共$n$对，从而推导出$1+2+\dots+n$的求和公式；2.运用公式解决计算和实际场景问题：计算非从1开始的连续整数和时，可转化为从1开始的和减去缺少的部分；击掌类无顺序的计数问题直接用组合规律，互赠物品类有顺序的问题要注意结果翻倍；3.迁移规律解决线段计数问题：分别统计水平、竖直方向的线条数，再计算每条线上的线段总数（利用线段计数公式：若一条线上有$m$个端点，则线段总数为$\frac{m(m-1)}{2}$），最后求和得到总线段数。
【解析】
(1) 观察倒序相加后的式子，右边共有$n$个$(1+n)$相加，因此$2S=n(n+1)$，两边同时除以2可得$1+2+3+4+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$。
(2) ① 计算$3+4+\dots+100$时，可转化为从1加到100的和减去1和2：
原式$=(1+2+3+\dots+100)-1-2=\dfrac{100×(100+1)}{2}-3=5050-3=5047$。
② 击掌是每两名同学只进行1次，属于不考虑顺序的计数：$x$名同学中每人要和其余$x-1$人击掌，总次数要去掉重复计算的部分，即$\dfrac{x(x-1)}{2}$；
互赠祝福语是双向的，每人要给其余$x-1$人各送1条，总条数为$x(x-1)$。
(3) ① 共5个城市，火车票区分往返方向，每个城市到其余4个城市都需要不同的车票，因此总种类为$5×(5-1)=20$种。
② 先算水平方向线段：共有5条横线，每条横线上有6个端点，单条横线上线段数为$\dfrac{6×(6-1)}{2}=15$，水平线段共$5×15=75$条；
再算竖直方向线段：共有6条竖线，每条竖线上有5个端点，单条竖线上线段数为$\dfrac{5×(5-1)}{2}=10$，竖直线段共$6×10=60$条；
总线段数为$75+60=135$条。
【答案】
(1) $n(n+1)$；$\dfrac{n(n+1)}{2}$
(2) ① $5047$；② $\dfrac{x(x-1)}{2}$；$x(x-1)$
(3) ① $20$；② $135$
【知识点】
等差数列求和、计数规律应用、线段计数方法
【点评】
本题从基础规律推导出发，逐步延伸到生活实际应用和几何计数问题，层层递进，既考查学生对规律的归纳理解能力，也考查学生的知识迁移和实际问题转化能力，对逻辑思维的锻炼有较高价值。
【难度系数】
0.7
