5. 下列说法中,正确的有().
①每个命题都有逆命题;②互逆命题的真假性一致;③每个定理都有逆定理.

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

B

【分析】
解题时首先要回忆命题、逆命题、互逆命题、定理、逆定理的相关概念，再逐一对三个说法进行正误判断，最后统计正确说法的个数即可选出对应选项。判断时可结合常见的例子辅助验证说法是否正确。
【解析】
我们逐个分析三个说法：
1. 分析说法①：把一个命题的题设和结论互换，就能得到它的逆命题，因此每个命题都有逆命题，该说法正确。
2. 分析说法②：互逆命题的真假性没有必然联系，例如原命题“对顶角相等”是真命题，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此该说法错误。
3. 分析说法③：只有当一个定理的逆命题经过证明是真命题时，这个逆命题才是原定理的逆定理，并不是所有定理的逆命题都是真命题，因此不是每个定理都有逆定理，该说法错误。
综上，只有1个说法正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
逆命题的定义；互逆命题的真假关系；逆定理的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是理清命题与逆命题、定理与逆定理的区别和联系，尤其要注意互逆命题的真假不存在必然关联，只有定理的逆命题被证明为真时，才存在对应的逆定理，学习时要准确掌握概念，避免混淆。
【难度系数】
0.7

6. 下列命题的逆命题是真命题的是().

A.两直线平行,同位角相等
B.如果$a=b$,那么$|a|=|b|$
C.钝角三角形中有两个锐角
D.全等三角形的周长相等

A

【分析】
解题时首先要明确逆命题的定义：将原命题的题设（条件）和结论互换位置，就能得到该命题的逆命题。我们需要先把每个选项的原命题拆分为题设和结论，改写得到对应的逆命题，再结合所学的代数、几何知识判断逆命题的真假，最终选出符合要求的选项。判断假命题时可以通过举反例的方法快速验证。
【解析】
我们依次分析每个选项：
1. 选项A：
原命题题设：两直线平行，结论：同位角相等。
逆命题为：同位角相等，两直线平行。这是平行线的判定定理，属于真命题。
2. 选项B：
原命题题设：$a=b$，结论：$|a|=|b|$。
逆命题为：如果$|a|=|b|$，那么$a=b$。举反例：$a=2$，$b=-2$时，$|2|=|-2|$，但$2≠-2$，因此该逆命题是假命题。
3. 选项C：
原命题题设：一个三角形是钝角三角形，结论：这个三角形有两个锐角。
逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形。举反例：直角三角形也有两个锐角，不属于钝角三角形，因此该逆命题是假命题。
4. 选项D：
原命题题设：两个三角形是全等三角形，结论：两个三角形周长相等。
逆命题为：周长相等的三角形是全等三角形。举反例：边长分别为3、4、5的三角形和边长为4、4、4的三角形周长都是12，但它们不全等，因此该逆命题是假命题。
综上只有A选项的逆命题是真命题。
【答案】
A
【知识点】
逆命题的定义；真假命题判断；平行线的判定与性质
【点评】
本题核心考查逆命题的改写方法和真假命题的判别能力，解题的关键是准确拆分原命题的条件和结论，改写逆命题后结合对应知识点验证，举反例是判断假命题的常用简便方法。
【难度系数】
0.8

7. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题：.

解：面积相等的两个三角形全等。

【分析】
要写出一个命题的逆命题，首先需要明确原命题的题设（条件）和结论，再将题设和结论的位置互换，最后整理成通顺的语句即可。首先拆分原命题“两个全等三角形的面积相等”：它的题设是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”，将二者互换就能得到逆命题。
【解析】
第一步：将原命题改写为“如果……那么……”的形式，便于区分题设和结论：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的面积相等。
第二步：提取原命题的题设为“两个三角形全等”，结论为“这两个三角形的面积相等”。
第三步：交换题设和结论的位置，整理为通顺的命题：面积相等的两个三角形全等。
【答案】
面积相等的两个三角形全等
【知识点】
1. 逆命题的概念 2. 命题的构成
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查逆命题的改写方法，解题的关键点是准确拆分原命题的题设和结论，改写时要注意语句表述通顺、符合逻辑。
【难度系数】
0.8

8. 如图,在$△ ABC$中,AD是BC的垂直平分线,若$BC=8$,$AD=6$,则图中阴影部分的面积是().

A.48
B.24
C.12
D.6

C

【分析】
解题时先结合线段垂直平分线的性质分析图形特征：AD是BC的垂直平分线，可知AD垂直BC，且△ABC关于直线AD成轴对称，对称轴两侧的对应图形面积完全相等。由此可将左侧阴影部分和右侧对应的空白部分做面积替换，可知阴影部分的总面积恰好是△ABC总面积的一半，只需先求出△ABC的面积，再除以2即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵AD是BC的垂直平分线，
∴AD⊥BC，$BD=DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，且△ABC关于直线AD轴对称，对称轴两侧对应图形面积相等。
先计算△ABC的面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×8×6=24$
根据轴对称的面积相等性质，阴影部分总面积为△ABC面积的一半：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×24=12$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查阴影面积的巧算，核心是利用轴对称的性质做面积转化，不需要分别计算每块阴影的面积，通过等量替换可以大幅简化计算过程，是几何面积求解的常用思路。
【难度系数】
0.7

9.(易错题)在$△ ABC$中,$BC=12\ \mathrm{cm}$,$AB$的垂直平分线与$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$D$,$E$,且$DE=4\ \mathrm{cm}$,求$AD+AE$的长.

解：
∵ AB的垂直平分线交BC于点D，
∴ AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ AC的垂直平分线交BC于点E，
∴ AE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
分两种情况讨论：
① 当点D、E在BC上按B、D、E、C的顺序排列时：
$AD + AE = BD + CE = BC - DE = 12 - 4 = 8(\mathrm{cm})$。
② 当点D、E在BC上按B、E、D、C的顺序排列时：
$AD + AE = BD + CE = BC + DE = 12 + 4 = 16(\mathrm{cm})$。
综上，$AD+AE$的长为$8\ \mathrm{cm}$或$16\ \mathrm{cm}$。

【分析】
解题时首先看到题干出现线段垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此可将AD转化为BD、AE转化为CE，把求AD+AE的长度转化为求BD+CE的长度。由于题干未明确D、E两点在BC上的排列顺序，需要分两种情况讨论：一是D、E按B、D、E、C的顺序排列，二是D、E按B、E、D、C的顺序排列，分别计算两种情况的结果即可，注意不要漏解。
【解析】
∵ AB的垂直平分线交BC于点D，
∴ AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ AC的垂直平分线交BC于点E，
∴ AE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
分两种情况讨论：
① 当点D、E在BC上按B、D、E、C的顺序排列时：
$AD + AE = BD + CE = BC - DE = 12 - 4 = 8(\mathrm{cm})$。
② 当点D、E在BC上按B、E、D、C的顺序排列时：
$AD + AE = BD + CE = BC + DE = 12 + 4 = 16(\mathrm{cm})$。
综上，$AD+AE$的长为$8\ \mathrm{cm}$或$16\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\quantity{8}{cm}$或$\quantity{16}{cm}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题时常因忽略D、E位置的不确定性，只计算一种情况导致漏解。熟练掌握线段垂直平分线的性质做线段转化，同时对不确定的位置关系分类讨论是解题的核心。
【难度系数】
0.6

10.(模型观念)如图,在△ABC中,边BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E,EF⊥AB交AB的延长线于点F,EG⊥AC交AC于点G.求证:
(1)$BF=CG$;
(2)$AF=\dfrac{1}{2}(AB+AC)$.

证明：
(1) 连接BE、CE。
∵ DE是BC的垂直平分线，
∴ BE = CE。
∵ AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴ EF = EG，∠EFB = ∠EGC = 90°。
在Rt△BEF和Rt△CEG中，
$\{\begin{array}{l} BE=CE \\ EF=EG \end{array} $
∴ Rt△BEF ≌ Rt△CEG（HL），
∴ BF = CG。
(2) 在Rt△AEF和Rt△AEG中，
$\{\begin{array}{l} AE=AE \\ EF=EG \end{array} $
∴ Rt△AEF ≌ Rt△AEG（HL），
∴ AF = AG。
∵ AF = AB + BF，AG = AC - CG，且BF = CG，
∴ AB + AC = (AF - BF) + (AG + CG) = AF + AG = 2AF，
∴ $AF=\dfrac{1}{2}(AB+AC)$。

【分析】
要证明BF=CG，首先观察两条线段分别在两个直角三角形中，可通过证明三角形全等得到结论：①看到BC的垂直平分线DE，先连接BE、CE，根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE；②看到AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB、EG⊥AC，根据角平分线的性质可得EF=EG，即可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到BF=CG。
要证明$AF=\dfrac{1}{2}(AB+AC)$，先证明Rt△AEF和Rt△AEG全等得到AF=AG，再将AB、AC转化为含AF、BF、AG、CG的式子，结合第一问BF=CG的结论做等量代换，即可推导出AF和AB+AC的数量关系。
【解析】
证明：
(1) 连接BE、CE。
∵ DE是BC的垂直平分线，
∴ BE = CE。
∵ AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴ EF = EG，∠EFB = ∠EGC = 90°。
在Rt△BEF和Rt△CEG中，
$\{\begin{array}{l} BE=CE \\ EF=EG \end{array} $
∴ Rt△BEF ≌ Rt△CEG（HL），
∴ BF = CG。
(2) 在Rt△AEF和Rt△AEG中，
$\{\begin{array}{l} AE=AE \\ EF=EG \end{array} $
∴ Rt△AEF ≌ Rt△AEG（HL），
∴ AF = AG。
∵ AF = AB + BF，AG = AC - CG，且BF = CG，
∴ AB + AC = (AF - BF) + (AG + CG) = AF + AG = 2AF，
∴ $AF=\dfrac{1}{2}(AB+AC)$。
【答案】
(1) $BF=CG$；
(2) $AF=\dfrac{1}{2}(AB+AC)$。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形全等的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，融合了线段垂直平分线、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题核心是合理添加辅助线构造全等三角形，通过全等完成线段的等量代换，能够有效考查对基础几何性质的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7