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1.若方程$\frac{x}{x^2+m}=\frac{2}{x-3m}$有一个解是$x=1$，则$m$的值是（）.
A.$\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{5}$
A.$\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{5}$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，已知x=1是原分式方程的解，因此第一步将x=1代入原方程，即可得到只含参数m的方程；接下来解这个关于m的一元一次方程，最后要验证所得m的值是否能让原分式的分母不为0（分式分母为0时分式无意义），最终确定符合要求的m值即可。
【解析】
解：
∵x=1是方程$\frac{x}{x^2+m}=\frac{2}{x-3m}$的解，
∴将x=1代入原方程，可得：
$\frac{1}{1^2 + m} = \frac{2}{1 - 3m}$
根据比例的基本性质交叉相乘得：
$1×(1 - 3m) = 2×(1 + m)$
去括号得：
$1 - 3m = 2 + 2m$
移项合并同类项得：
$-5m = 1$
系数化为1得：
$m = -\frac{1}{5}$
检验：当$m=-\frac{1}{5}$时，原方程分母$x^2+m=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}≠0$，$x-3m=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}≠0$，分式有意义。
因此m的值为$-\frac{1}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
1.分式方程的解的定义
2.解一元一次方程
3.分式有意义的条件
【点评】
本题属于根据分式方程的解求参数的基础题型，解题关键是灵活运用方程解的含义代入转化为参数方程求解，要注意养成求解后验证分式分母不为0的习惯，避免出现增根相关错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，已知x=1是原分式方程的解，因此第一步将x=1代入原方程，即可得到只含参数m的方程；接下来解这个关于m的一元一次方程，最后要验证所得m的值是否能让原分式的分母不为0（分式分母为0时分式无意义），最终确定符合要求的m值即可。
【解析】
解：
∵x=1是方程$\frac{x}{x^2+m}=\frac{2}{x-3m}$的解，
∴将x=1代入原方程，可得：
$\frac{1}{1^2 + m} = \frac{2}{1 - 3m}$
根据比例的基本性质交叉相乘得：
$1×(1 - 3m) = 2×(1 + m)$
去括号得：
$1 - 3m = 2 + 2m$
移项合并同类项得：
$-5m = 1$
系数化为1得：
$m = -\frac{1}{5}$
检验：当$m=-\frac{1}{5}$时，原方程分母$x^2+m=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}≠0$，$x-3m=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}≠0$，分式有意义。
因此m的值为$-\frac{1}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
1.分式方程的解的定义
2.解一元一次方程
3.分式有意义的条件
【点评】
本题属于根据分式方程的解求参数的基础题型，解题关键是灵活运用方程解的含义代入转化为参数方程求解，要注意养成求解后验证分式分母不为0的习惯，避免出现增根相关错误。
【难度系数】
0.8
2. 已知$x=-5$是分式方程$\frac{5}{x+m}=\frac{3}{x}$的解，则$m$的值为________.
答案
解：
把$x=-5$代入分式方程$\frac{5}{x+m}=\frac{3}{x}$，得
$\frac{5}{-5 + m} = \frac{3}{-5}$
方程两边同乘$-5(-5+m)$去分母，得：
$5×(-5) = 3×(-5 + m)$
整理得：
$-25 = -15 + 3m$
移项、合并同类项得：
$3m = -10$
系数化为1得：
$m = -\frac{10}{3}$
检验：当$m=-\frac{10}{3}$时，$-5+m ≠ 0$，符合分式方程分母不为0的要求。
故$m$的值为$\boldsymbol{-\dfrac{10}{3}}$。
把$x=-5$代入分式方程$\frac{5}{x+m}=\frac{3}{x}$，得
$\frac{5}{-5 + m} = \frac{3}{-5}$
方程两边同乘$-5(-5+m)$去分母，得：
$5×(-5) = 3×(-5 + m)$
整理得：
$-25 = -15 + 3m$
移项、合并同类项得：
$3m = -10$
系数化为1得：
$m = -\frac{10}{3}$
检验：当$m=-\frac{10}{3}$时，$-5+m ≠ 0$，符合分式方程分母不为0的要求。
故$m$的值为$\boldsymbol{-\dfrac{10}{3}}$。
解析
【分析】
根据方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此已知x=-5是该分式方程的解，可直接将x=-5代入原分式方程，此时原方程会转化为只含字母m的分式方程，再按照解分式方程的步骤去分母、移项计算，最后检验所得m的值是否满足分式分母不为0的要求，即可得到正确结果。
【解析】
把$x=-5$代入分式方程$\frac{5}{x+m}=\frac{3}{x}$，得
$\frac{5}{-5 + m} = \frac{3}{-5}$
方程两边同乘$-5(-5+m)$去分母，得：
$5×(-5) = 3×(-5 + m)$
整理得：
$-25 = -15 + 3m$
移项、合并同类项得：
$3m = -10$
系数化为1得：
$m = -\frac{10}{3}$
检验：当$m=-\frac{10}{3}$时，$-5+m ≠ 0$，符合分式方程分母不为0的要求。
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{10}{3}}$
【知识点】
分式方程的解、解分式方程、分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，考查分式方程解的应用，解题核心是将已知解代入原方程，转化为关于未知参数的方程求解，求解后注意检验分母不为零，避免增根导致结果错误。
【难度系数】
0.8
根据方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此已知x=-5是该分式方程的解，可直接将x=-5代入原分式方程，此时原方程会转化为只含字母m的分式方程，再按照解分式方程的步骤去分母、移项计算，最后检验所得m的值是否满足分式分母不为0的要求，即可得到正确结果。
【解析】
把$x=-5$代入分式方程$\frac{5}{x+m}=\frac{3}{x}$，得
$\frac{5}{-5 + m} = \frac{3}{-5}$
方程两边同乘$-5(-5+m)$去分母，得：
$5×(-5) = 3×(-5 + m)$
整理得：
$-25 = -15 + 3m$
移项、合并同类项得：
$3m = -10$
系数化为1得：
$m = -\frac{10}{3}$
检验：当$m=-\frac{10}{3}$时，$-5+m ≠ 0$，符合分式方程分母不为0的要求。
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{10}{3}}$
【知识点】
分式方程的解、解分式方程、分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，考查分式方程解的应用，解题核心是将已知解代入原方程，转化为关于未知参数的方程求解，求解后注意检验分母不为零，避免增根导致结果错误。
【难度系数】
0.8
3. 若关于$x$的分式方程$\frac{x+m}{x-2}-\frac{5}{x}=1$的解与分式方程$\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-2x}=1$的解相同，求$m$的值.
答案
解：
先解方程$\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-2x}=1$，
方程两边同乘$x(x-2)$，得：
$x^2 - 8 = x(x-2)$
去括号，得$x^2 -8 = x^2 -2x$
移项、合并同类项，得$2x=8$
解得$x=4$
检验：当$x=4$时，$x(x-2)=4×2=8≠0$，所以$x=4$是该分式方程的解。
由题意可知$x=4$是方程$\frac{x+m}{x-2}-\frac{5}{x}=1$的解，
将$x=4$代入该方程，得：
$\frac{4+m}{4-2}-\frac{5}{4}=1$
即$\frac{4+m}{2}-\frac{5}{4}=1$
两边同乘4，得$2(4+m)-5=4$
去括号整理得$2m=1$
解得$m=\frac{1}{2}$。
先解方程$\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-2x}=1$，
方程两边同乘$x(x-2)$，得：
$x^2 - 8 = x(x-2)$
去括号，得$x^2 -8 = x^2 -2x$
移项、合并同类项，得$2x=8$
解得$x=4$
检验：当$x=4$时，$x(x-2)=4×2=8≠0$，所以$x=4$是该分式方程的解。
由题意可知$x=4$是方程$\frac{x+m}{x-2}-\frac{5}{x}=1$的解，
将$x=4$代入该方程，得：
$\frac{4+m}{4-2}-\frac{5}{4}=1$
即$\frac{4+m}{2}-\frac{5}{4}=1$
两边同乘4，得$2(4+m)-5=4$
去括号整理得$2m=1$
解得$m=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题是利用同解分式方程求参数的问题，解题思路清晰可分为两步：第一步先求解不含参数的分式方程$\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-2x}=1$，解分式方程时需先去分母转化为整式方程求解，求出解后必须检验是否为增根，只有有效解才能代入另一个方程；第二步将求出的有效解代入含参数$m$的分式方程，得到关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
先解方程$\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-2x}=1$：
方程两边同乘最简公分母$x(x-2)$去分母，得：
$x^2 - 8 = x(x-2)$
去括号，得$x^2 -8 = x^2 -2x$
移项、合并同类项，得$2x=8$
解得$x=4$
检验：当$x=4$时，$x(x-2)=4×2=8≠0$，所以$x=4$是该分式方程的解。
由题意可知$x=4$是方程$\frac{x+m}{x-2}-\frac{5}{x}=1$的解，将$x=4$代入该方程，得：
$\frac{4+m}{4-2}-\frac{5}{4}=1$
即$\frac{4+m}{2}-\frac{5}{4}=1$
两边同乘4去分母，得$2(4+m)-5=4$
去括号整理得$2m=1$
解得$m=\frac{1}{2}$
【答案】
$m=\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 同解方程的性质
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础应用题型，解题核心是利用同解方程的性质，先求解不含参数的分式方程，再代入求参数，需要注意解分式方程必须检验，排除增根后再代入计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
本题是利用同解分式方程求参数的问题，解题思路清晰可分为两步：第一步先求解不含参数的分式方程$\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-2x}=1$，解分式方程时需先去分母转化为整式方程求解，求出解后必须检验是否为增根，只有有效解才能代入另一个方程；第二步将求出的有效解代入含参数$m$的分式方程，得到关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
先解方程$\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-2x}=1$：
方程两边同乘最简公分母$x(x-2)$去分母，得：
$x^2 - 8 = x(x-2)$
去括号，得$x^2 -8 = x^2 -2x$
移项、合并同类项，得$2x=8$
解得$x=4$
检验：当$x=4$时，$x(x-2)=4×2=8≠0$，所以$x=4$是该分式方程的解。
由题意可知$x=4$是方程$\frac{x+m}{x-2}-\frac{5}{x}=1$的解，将$x=4$代入该方程，得：
$\frac{4+m}{4-2}-\frac{5}{4}=1$
即$\frac{4+m}{2}-\frac{5}{4}=1$
两边同乘4去分母，得$2(4+m)-5=4$
去括号整理得$2m=1$
解得$m=\frac{1}{2}$
【答案】
$m=\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 同解方程的性质
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础应用题型，解题核心是利用同解方程的性质，先求解不含参数的分式方程，再代入求参数，需要注意解分式方程必须检验，排除增根后再代入计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
4. 已知关于x的分式方程$\frac{x}{x-3} - \frac{3a}{3-x}=4$的解为非负数，则a的取值范围是（）.
A.$a≥ -4$
B.$a＞ -4$
C.$a≥ -4$且$a≠ -1$
D.$a＞ -4$且$a≠ -1$
A.$a≥ -4$
B.$a＞ -4$
C.$a≥ -4$且$a≠ -1$
D.$a＞ -4$且$a≠ -1$
答案
C
解析
【分析】
解决本题首先要将分式方程转化为整式方程，求出用含a的代数式表示的方程的解；再根据“解为非负数”得到x≥0的不等式，同时要注意分式方程的分母不能为0，即解不能使原方程分母为0（避免出现增根），联立两个条件即可求出a的取值范围。
【解析】
首先对原分式方程变形，将分母统一：
原方程$\frac{x}{x-3} - \frac{3a}{3-x}=4$可化为$\frac{x}{x-3} + \frac{3a}{x-3}=4$
方程两边同时乘以最简公分母$x-3$（此时需满足$x≠3$，否则分式无意义），去分母得：
$x + 3a = 4(x - 3)$
展开并整理得：
$x + 3a = 4x - 12$
移项合并同类项：
$-3x = -12 - 3a$
系数化为1得：
$x = a + 4$
根据题意，方程的解为非负数，因此$x≥0$，即：
$a + 4 ≥ 0$，解得$a ≥ -4$
又因为分式方程分母不能为0，即$x≠3$，因此：
$a + 4 ≠ 3$，解得$a ≠ -1$
综上，a的取值范围是$a≥ -4$且$a≠ -1$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法，增根的判定，一元一次不等式求解
【点评】
本题是根据分式方程解的情况求参数范围的典型题，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为零的条件，仅根据解为非负数求解而误选A，解决这类问题时要牢记分式方程必须满足分母不为零，排除增根的情况。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要将分式方程转化为整式方程，求出用含a的代数式表示的方程的解；再根据“解为非负数”得到x≥0的不等式，同时要注意分式方程的分母不能为0，即解不能使原方程分母为0（避免出现增根），联立两个条件即可求出a的取值范围。
【解析】
首先对原分式方程变形，将分母统一：
原方程$\frac{x}{x-3} - \frac{3a}{3-x}=4$可化为$\frac{x}{x-3} + \frac{3a}{x-3}=4$
方程两边同时乘以最简公分母$x-3$（此时需满足$x≠3$，否则分式无意义），去分母得：
$x + 3a = 4(x - 3)$
展开并整理得：
$x + 3a = 4x - 12$
移项合并同类项：
$-3x = -12 - 3a$
系数化为1得：
$x = a + 4$
根据题意，方程的解为非负数，因此$x≥0$，即：
$a + 4 ≥ 0$，解得$a ≥ -4$
又因为分式方程分母不能为0，即$x≠3$，因此：
$a + 4 ≠ 3$，解得$a ≠ -1$
综上，a的取值范围是$a≥ -4$且$a≠ -1$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法，增根的判定，一元一次不等式求解
【点评】
本题是根据分式方程解的情况求参数范围的典型题，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为零的条件，仅根据解为非负数求解而误选A，解决这类问题时要牢记分式方程必须满足分母不为零，排除增根的情况。
【难度系数】
0.6
5. 关于$x$的方程$\frac{1}{x-2}+\frac{a-2}{2-x}=1$的解是负数，则$a$的取值范围是（）.
A.$a＞5$
B.$a＜5$
C.$a＞5$且$a≠6$
D.$a＜5$且$a≠3$
A.$a＞5$
B.$a＜5$
C.$a＞5$且$a≠6$
D.$a＜5$且$a≠3$
答案
A
解析
【分析】
本题是根据分式方程解的符号求参数取值范围的题目，解题思路如下：①先将分式方程去分母转化为整式方程，用含a的代数式表示出方程的解x；②根据“解是负数”列不等式，求出a的初步范围；③结合分式方程分母不为0的隐含条件，判断初步范围内的a是否会产生增根，最终确定a的取值范围。
【解析】
首先对原方程变形，由$2-x=-(x-2)$，原方程可化为：
$\frac{1}{x-2} - \frac{a-2}{x-2} = 1$
方程两边同时乘以最简公分母$x-2$（$x ≠ 2$，否则分式无意义），得：
$1 - (a - 2) = x - 2$
去括号、化简得：
$3 - a = x - 2$
移项得$x = 5 - a$
∵ 方程的解是负数
∴ $x ＜ 0$，即$5 - a ＜ 0$，解得$a ＞ 5$
接下来判断增根情况：分式方程的增根为$x=2$，若$x=2$，则$5 - a = 2$，解得$a=3$。
由于$a ＞ 5$时，$a$不可能等于3，因此该范围内的$a$都不会使方程产生增根。
综上，$a$的取值范围是$a ＞ 5$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法；分式方程增根的判定；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程应用的典型题型，解题时既要关注题目给出的解的条件，也不能忽略分式分母不为0的隐含要求，避免多写不必要的限制条件或者漏掉增根的判断。
【难度系数】
0.6
本题是根据分式方程解的符号求参数取值范围的题目，解题思路如下：①先将分式方程去分母转化为整式方程，用含a的代数式表示出方程的解x；②根据“解是负数”列不等式，求出a的初步范围；③结合分式方程分母不为0的隐含条件，判断初步范围内的a是否会产生增根，最终确定a的取值范围。
【解析】
首先对原方程变形，由$2-x=-(x-2)$，原方程可化为：
$\frac{1}{x-2} - \frac{a-2}{x-2} = 1$
方程两边同时乘以最简公分母$x-2$（$x ≠ 2$，否则分式无意义），得：
$1 - (a - 2) = x - 2$
去括号、化简得：
$3 - a = x - 2$
移项得$x = 5 - a$
∵ 方程的解是负数
∴ $x ＜ 0$，即$5 - a ＜ 0$，解得$a ＞ 5$
接下来判断增根情况：分式方程的增根为$x=2$，若$x=2$，则$5 - a = 2$，解得$a=3$。
由于$a ＞ 5$时，$a$不可能等于3，因此该范围内的$a$都不会使方程产生增根。
综上，$a$的取值范围是$a ＞ 5$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法；分式方程增根的判定；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程应用的典型题型，解题时既要关注题目给出的解的条件，也不能忽略分式分母不为0的隐含要求，避免多写不必要的限制条件或者漏掉增根的判断。
【难度系数】
0.6
6. 若关于$x$的分式方程$\frac{6}{x-1}=\frac{x+3}{x(x-1)}-\frac{k}{x}$无解，则$k$的取值是（）.
A.$-3$
B.$-3$或$-5$
C.$1$
D.$1$或$-5$
A.$-3$
B.$-3$或$-5$
C.$1$
D.$1$或$-5$
答案
B
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，需先明确分式方程无解的两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原方程分母为0的x的值）。解题时先将分式方程化为整式方程，再找出原方程的增根，分情况讨论求解即可。
【解析】
首先确定原分式方程的分母不为0的条件：$x ≠ 0$且$x ≠ 1$，即方程的增根可能为$x=0$或$x=1$。
给方程两边同时乘最简公分母$x(x-1)$去分母，得：
$6x = x + 3 - k(x - 1)$
整理整式方程：
$6x = x + 3 - kx + k$
移项合并同类项得：$(5 + k)x = 3 + k$
分两种情况讨论：
1. 若整式方程本身无解，则x的系数为0，常数项不为0：
令$5 + k = 0$，解得$k = -5$，此时常数项$3 + k = 3 - 5 = -2 ≠ 0$，整式方程无解，原分式方程也无解，符合要求。
2. 若整式方程的解是原分式方程的增根：
① 将增根$x=0$代入$(5 + k)x = 3 + k$，得$0 = 3 + k$，解得$k = -3$，此时整式方程的解为$x=0$，是原方程的增根，原方程无解，符合要求。
② 将增根$x=1$代入$(5 + k)x = 3 + k$，得$5 + k = 3 + k$，化简得$5=3$，等式不成立，故$x=1$不可能是整式方程的解。
综上，$k$的取值为$-3$或$-5$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根，分式方程无解的判定，解分式方程
【点评】
本题是分式方程求参数的典型题型，解题的关键是明确分式方程无解的两种情况，分类讨论时注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，代入增根后要验证是否符合整式方程。
【难度系数】
0.6
要解决分式方程无解求参数的问题，需先明确分式方程无解的两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原方程分母为0的x的值）。解题时先将分式方程化为整式方程，再找出原方程的增根，分情况讨论求解即可。
【解析】
首先确定原分式方程的分母不为0的条件：$x ≠ 0$且$x ≠ 1$，即方程的增根可能为$x=0$或$x=1$。
给方程两边同时乘最简公分母$x(x-1)$去分母，得：
$6x = x + 3 - k(x - 1)$
整理整式方程：
$6x = x + 3 - kx + k$
移项合并同类项得：$(5 + k)x = 3 + k$
分两种情况讨论：
1. 若整式方程本身无解，则x的系数为0，常数项不为0：
令$5 + k = 0$，解得$k = -5$，此时常数项$3 + k = 3 - 5 = -2 ≠ 0$，整式方程无解，原分式方程也无解，符合要求。
2. 若整式方程的解是原分式方程的增根：
① 将增根$x=0$代入$(5 + k)x = 3 + k$，得$0 = 3 + k$，解得$k = -3$，此时整式方程的解为$x=0$，是原方程的增根，原方程无解，符合要求。
② 将增根$x=1$代入$(5 + k)x = 3 + k$，得$5 + k = 3 + k$，化简得$5=3$，等式不成立，故$x=1$不可能是整式方程的解。
综上，$k$的取值为$-3$或$-5$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根，分式方程无解的判定，解分式方程
【点评】
本题是分式方程求参数的典型题型，解题的关键是明确分式方程无解的两种情况，分类讨论时注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，代入增根后要验证是否符合整式方程。
【难度系数】
0.6
7. 关于x的分式方程$\frac{3}{x}+\frac{6}{x-1}-\frac{x+k}{x(x-1)}=0$有解，则k的取值范围是。
答案
解：
方程两边同乘$x(x-1)$，得：
$3(x-1) + 6x - (x + k) = 0$
展开并整理：
$3x - 3 + 6x - x - k = 0$
$8x = k + 3$
解得：
$x = \frac{k+3}{8}$
因为原分式方程有解，所以分母不能为0，即$x ≠ 0$且$x ≠ 1$：
1. 当$x ≠ 0$时，$\frac{k+3}{8} ≠ 0$，解得$k ≠ -3$；
2. 当$x ≠ 1$时，$\frac{k+3}{8} ≠ 1$，解得$k ≠ 5$。
综上，$k$的取值范围是$\boldsymbol{k ≠ -3}$且$\boldsymbol{k ≠ 5}$。
方程两边同乘$x(x-1)$，得：
$3(x-1) + 6x - (x + k) = 0$
展开并整理：
$3x - 3 + 6x - x - k = 0$
$8x = k + 3$
解得：
$x = \frac{k+3}{8}$
因为原分式方程有解，所以分母不能为0，即$x ≠ 0$且$x ≠ 1$：
1. 当$x ≠ 0$时，$\frac{k+3}{8} ≠ 0$，解得$k ≠ -3$；
2. 当$x ≠ 1$时，$\frac{k+3}{8} ≠ 1$，解得$k ≠ 5$。
综上，$k$的取值范围是$\boldsymbol{k ≠ -3}$且$\boldsymbol{k ≠ 5}$。
解析
【分析】
要解决分式方程有解求字母取值范围的问题，核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，再结合分式方程有解的限制条件（原方程分母不能为0，即不存在增根）排除不符合要求的字母取值。具体思考步骤：第一步先找到最简公分母去分母，把分式方程转化为我们熟悉的一元一次方程；第二步解一元一次方程，用含k的代数式表示出x；第三步根据原分式的分母不能为0，得到x不能取0和1，将这两个值代入x的表达式，就能求出k不能取的值，进而得到k的取值范围。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$x(x-1)$，去分母得：
$3(x-1) + 6x - (x + k) = 0$
展开并整理等式：
$3x - 3 + 6x - x - k = 0$
$8x = k + 3$
解得：
$x = \frac{k+3}{8}$
因为原分式方程有解，所以原方程的分母不能为0，即$x ≠ 0$且$x ≠ 1$：
1. 当$x ≠ 0$时，$\frac{k+3}{8} ≠ 0$，解得$k ≠ -3$；
2. 当$x ≠ 1$时，$\frac{k+3}{8} ≠ 1$，解得$k ≠ 5$。
综上，$k$的取值范围是$k ≠ -3$且$k ≠ 5$。
【答案】
$k≠-3$且$k≠5$
【知识点】
分式方程有解的条件，解一元一次方程，分式有意义的条件
【点评】
本题是根据分式方程解的情况求参数取值范围的典型题型，解题的核心是不能忽略增根的限制，需要排除所有让原分母为0的参数取值，易错点是容易遗漏其中一种增根对应的参数值，解题时要逐一核对所有分母不为0的条件。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程有解求字母取值范围的问题，核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，再结合分式方程有解的限制条件（原方程分母不能为0，即不存在增根）排除不符合要求的字母取值。具体思考步骤：第一步先找到最简公分母去分母，把分式方程转化为我们熟悉的一元一次方程；第二步解一元一次方程，用含k的代数式表示出x；第三步根据原分式的分母不能为0，得到x不能取0和1，将这两个值代入x的表达式，就能求出k不能取的值，进而得到k的取值范围。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$x(x-1)$，去分母得：
$3(x-1) + 6x - (x + k) = 0$
展开并整理等式：
$3x - 3 + 6x - x - k = 0$
$8x = k + 3$
解得：
$x = \frac{k+3}{8}$
因为原分式方程有解，所以原方程的分母不能为0，即$x ≠ 0$且$x ≠ 1$：
1. 当$x ≠ 0$时，$\frac{k+3}{8} ≠ 0$，解得$k ≠ -3$；
2. 当$x ≠ 1$时，$\frac{k+3}{8} ≠ 1$，解得$k ≠ 5$。
综上，$k$的取值范围是$k ≠ -3$且$k ≠ 5$。
【答案】
$k≠-3$且$k≠5$
【知识点】
分式方程有解的条件，解一元一次方程，分式有意义的条件
【点评】
本题是根据分式方程解的情况求参数取值范围的典型题型，解题的核心是不能忽略增根的限制，需要排除所有让原分母为0的参数取值，易错点是容易遗漏其中一种增根对应的参数值，解题时要逐一核对所有分母不为0的条件。
【难度系数】
0.7
8. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{3x+5}{4} ≤ \dfrac{x+3}{2}, \\ x+\dfrac{1}{2} ＞ \dfrac{x+a}{2}\end{cases}$无解，且关于$y$的分式方程$\dfrac{5-ay}{2-y} -1 = \dfrac{3}{y-2}$有整数解，则满足条件的整数$a$的值为（ ）。
A.2或3
B.2或7
C.3或7
D.2或3或7
A.2或3
B.2或7
C.3或7
D.2或3或7
答案
D
解析
【分析】
解题分两步进行：①先分别解不等式组中的两个不等式，根据“不等式组无解即两个不等式的解集没有公共部分”，求出a的取值范围；②再解分式方程，结合“分式方程有整数解且分母不为0（排除增根）”的条件，结合a是整数的要求，筛选出同时满足所有条件的a的值即可。
【解析】
第一步：解不等式组
解第一个不等式$\dfrac{3x+5}{4} ≤ \dfrac{x+3}{2}$：
两边同乘4得：$3x+5 ≤ 2(x+3)$
展开化简：$3x+5 ≤ 2x+6$，移项得$x ≤ 1$
解第二个不等式$x+\dfrac{1}{2} ＞ \dfrac{x+a}{2}$：
两边同乘2得：$2x+1 ＞ x+a$
移项得$x ＞ a-1$
∵不等式组无解，
∴两个解集无公共部分，即$a-1 ≥ 1$，解得$a ≥ 2$。
第二步：解分式方程$\dfrac{5-ay}{2-y} -1 = \dfrac{3}{y-2}$
先变形方程，将右侧分母化为$2-y$：$\dfrac{5-ay}{2-y} -1 = -\dfrac{3}{2-y}$
两边同乘$(2-y)$（注意$y≠2$，否则为增根）得：
$5 - ay - (2 - y) = -3$
展开化简：$3 + y(1 - a) = -3$
整理得：$y(1 - a) = -6$，即$y = \dfrac{6}{a-1}$
∵分式方程有整数解，
∴$\dfrac{6}{a-1}$为整数，且$y≠2$（增根排除）
① 由$y≠2$得：$\dfrac{6}{a-1} ≠ 2$，解得$a≠4$
② 结合$a≥2$且a为整数，$\dfrac{6}{a-1}$为整数，可知$a-1$是6的正约数：
当$a-1=1$时，$a=2$，此时$y=6$，符合要求；
当$a-1=2$时，$a=3$，此时$y=3$，符合要求；
当$a-1=3$时，$a=4$，不符合$a≠4$的要求，排除；
当$a-1=6$时，$a=7$，此时$y=1$，符合要求。
综上，满足条件的整数a为2、3、7。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解集
2. 分式方程的求解
3. 增根的判定
【点评】
本题是不等式组与分式方程的综合题，核心易错点有两个：一是判断不等式组无解时容易漏掉等号，二是解分式方程时忘记排除增根的情况，解题时需注意两个条件的结合验证。
【难度系数】
0.6
解题分两步进行：①先分别解不等式组中的两个不等式，根据“不等式组无解即两个不等式的解集没有公共部分”，求出a的取值范围；②再解分式方程，结合“分式方程有整数解且分母不为0（排除增根）”的条件，结合a是整数的要求，筛选出同时满足所有条件的a的值即可。
【解析】
第一步：解不等式组
解第一个不等式$\dfrac{3x+5}{4} ≤ \dfrac{x+3}{2}$：
两边同乘4得：$3x+5 ≤ 2(x+3)$
展开化简：$3x+5 ≤ 2x+6$，移项得$x ≤ 1$
解第二个不等式$x+\dfrac{1}{2} ＞ \dfrac{x+a}{2}$：
两边同乘2得：$2x+1 ＞ x+a$
移项得$x ＞ a-1$
∵不等式组无解，
∴两个解集无公共部分，即$a-1 ≥ 1$，解得$a ≥ 2$。
第二步：解分式方程$\dfrac{5-ay}{2-y} -1 = \dfrac{3}{y-2}$
先变形方程，将右侧分母化为$2-y$：$\dfrac{5-ay}{2-y} -1 = -\dfrac{3}{2-y}$
两边同乘$(2-y)$（注意$y≠2$，否则为增根）得：
$5 - ay - (2 - y) = -3$
展开化简：$3 + y(1 - a) = -3$
整理得：$y(1 - a) = -6$，即$y = \dfrac{6}{a-1}$
∵分式方程有整数解，
∴$\dfrac{6}{a-1}$为整数，且$y≠2$（增根排除）
① 由$y≠2$得：$\dfrac{6}{a-1} ≠ 2$，解得$a≠4$
② 结合$a≥2$且a为整数，$\dfrac{6}{a-1}$为整数，可知$a-1$是6的正约数：
当$a-1=1$时，$a=2$，此时$y=6$，符合要求；
当$a-1=2$时，$a=3$，此时$y=3$，符合要求；
当$a-1=3$时，$a=4$，不符合$a≠4$的要求，排除；
当$a-1=6$时，$a=7$，此时$y=1$，符合要求。
综上，满足条件的整数a为2、3、7。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解集
2. 分式方程的求解
3. 增根的判定
【点评】
本题是不等式组与分式方程的综合题，核心易错点有两个：一是判断不等式组无解时容易漏掉等号，二是解分式方程时忘记排除增根的情况，解题时需注意两个条件的结合验证。
【难度系数】
0.6
