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9. 一个质点在第一象限及 $x$ 轴、$y$ 轴上运动,在第一秒,它从原点运动到 $(0,1)$,然后接着按图中箭头所示方向运动 [即 $(0,0)\to(0,1)\to(1,1)\to(1,0)…\to$ ],且每秒移动一个单位,那么第 $80$ 秒时质点所在位置的坐标是______
(0,8)
.答案
(0,8)
解析
通过分析质点运动路径，发现规律：到达点$(n,n)$时，时间$t=n(n+1)$。当$n=8$时，$t=8×9=72$秒，质点在$(8,8)$。$n=8$为偶数，从$(8,8)$向左移动8步，每步1秒，8秒后到达$(0,8)$，此时时间为$72+8=80$秒。
10. 如图 $1$,点 $M$,$N$ 把线段 $AB$ 分割成 $AM$,$MN$ 和 $BN$,若以 $AM$,$MN$,$BN$ 为边的三角形是一个直角三角形,则称点 $M$,$N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点.
(1)已知点 $M$,$N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点,$MN ＞ AM$,$MN ＞ BN$,若 $AM = 12$,$MN = 13$,则 $BN = $
(2)如图 $2$,在等腰直角三角形 $ABC$ 中,$AC = BC$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$M$,$N$ 为直线 $AB$ 上两点,满足 $\angle MCN = 45^{\circ}$.
①若点 $M$,$N$ 在线段 $AB$ 上,求证：点 $M$,$N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点；
②如图 $3$,若点 $M$ 在线段 $AB$ 上,点 $N$ 在线段 $AB$ 的延长线上,$AM = 6$,$BN = 8$,则 $BM = $
(1)已知点 $M$,$N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点,$MN ＞ AM$,$MN ＞ BN$,若 $AM = 12$,$MN = 13$,则 $BN = $
5
；(2)如图 $2$,在等腰直角三角形 $ABC$ 中,$AC = BC$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$M$,$N$ 为直线 $AB$ 上两点,满足 $\angle MCN = 45^{\circ}$.
①若点 $M$,$N$ 在线段 $AB$ 上,求证：点 $M$,$N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点；
②如图 $3$,若点 $M$ 在线段 $AB$ 上,点 $N$ 在线段 $AB$ 的延长线上,$AM = 6$,$BN = 8$,则 $BM = $
2
.答案
(1) 5
(2)①证明：将△CAM绕点C顺时针旋转90°得△CBP，
∴△CAM≌△CBP，∴AM=BP，CM=CP，∠ACM=∠BCP，∠A=∠CBP=45°．
∵∠ACB=90°，∠MCN=45°，∴∠ACM+∠BCN=45°，
∴∠BCP+∠BCN=45°，即∠PCN=∠MCN=45°．
在△MCN和△PCN中，
$\left\{\begin{array}{l} CM=CP\\ ∠MCN=∠PCN\\ CN=CN\end{array}\right.$，∴△MCN≌△PCN(SAS)，∴MN=PN．
∵∠ABC=45°，∴∠PBN=∠CBP+∠ABC=90°，
∴△PBN为直角三角形，∴BP²+BN²=PN²，
∵BP=AM，PN=MN，∴AM²+BN²=MN²，
∴以AM，MN，BN为边的三角形是直角三角形，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点．
② 2
(2)①证明：将△CAM绕点C顺时针旋转90°得△CBP，
∴△CAM≌△CBP，∴AM=BP，CM=CP，∠ACM=∠BCP，∠A=∠CBP=45°．
∵∠ACB=90°，∠MCN=45°，∴∠ACM+∠BCN=45°，
∴∠BCP+∠BCN=45°，即∠PCN=∠MCN=45°．
在△MCN和△PCN中，
$\left\{\begin{array}{l} CM=CP\\ ∠MCN=∠PCN\\ CN=CN\end{array}\right.$，∴△MCN≌△PCN(SAS)，∴MN=PN．
∵∠ABC=45°，∴∠PBN=∠CBP+∠ABC=90°，
∴△PBN为直角三角形，∴BP²+BN²=PN²，
∵BP=AM，PN=MN，∴AM²+BN²=MN²，
∴以AM，MN，BN为边的三角形是直角三角形，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点．
② 2
11. 如图,在平面直角坐标系中,点 $A$ 的坐标为 $(-6,6)$,以 $A$ 为顶点的 $\angle BAC$ 的两边始终与 $x$ 轴交于 $B$,$C$ 两点(点 $B$ 在点 $C$ 左侧),且 $\angle BAC = 45^{\circ}$.
(1)连接 $OA$,当 $AB = AC$ 时,求证：$OA = OB$；
(2)过点 $A$ 作 $AD\perp x$ 轴,垂足为 $D$,当 $CD = 2$ 时,将 $\angle BAC$ 沿 $AC$ 所在直线翻折,翻折后边 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $M$,求点 $M$ 的坐标.
(1)连接 $OA$,当 $AB = AC$ 时,求证：$OA = OB$；
(2)过点 $A$ 作 $AD\perp x$ 轴,垂足为 $D$,当 $CD = 2$ 时,将 $\angle BAC$ 沿 $AC$ 所在直线翻折,翻折后边 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $M$,求点 $M$ 的坐标.
答案
(1) 见证明；(2) M(0,3)或(0,-6)。
解析
(1) 证明：
∵A(-6,6)，AD⊥x轴于D，∴D(-6,0)，AD=6，OD=6，
∴△AOD为等腰直角三角形，∠AOD=45°，OA=√(6²+6²)=6√2。
∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，∠BAC=45°，∴∠BAD=22.5°。
在Rt△ABD中，tan∠BAD=BD/AD，tan22.5°=√2-1，
∴BD=AD·tan22.5°=6(√2-1)，
∴B点坐标为(-6-BD,0)=(-6-6(√2-1),0)=(-6√2,0)，
∴OB=| -6√2 |=6√2=OA，即OA=OB。
(2) 解：
AD⊥x轴于D(-6,0)，CD=2，∴C(-4,0)或C(-8,0)。
情况1：C(-4,0)
A(-6,6)，C(-4,0)，AC斜率k_AC=(0-6)/(-4+6)=-3，AC方程：y=-3x-12。
设B(b,0)，由∠BAC=45°及余弦定理得B(-9,0)。
B(-9,0)关于AC对称点B'：
BB'斜率1/3，中点在AC上，解得B'(0,3)。
AB'方程：过A(-6,6)，B'(0,3)，斜率-1/2，方程y=-1/2x+3，交y轴于M(0,3)。
情况2：C(-8,0)
A(-6,6)，C(-8,0)，AC斜率k_AC=(0-6)/(-8+6)=3，AC方程：y=3x+24。
设B(b,0)，由∠BAC=45°及余弦定理得B(-18,0)。
B(-18,0)关于AC对称点B'：
BB'斜率-1/3，中点在AC上，解得B'(0,-6)。
AB'方程：过A(-6,6)，B'(0,-6)，斜率-2，方程y=-2x-6，交y轴于M(0,-6)。
综上，M(0,3)或(0,-6)。
∵A(-6,6)，AD⊥x轴于D，∴D(-6,0)，AD=6，OD=6，
∴△AOD为等腰直角三角形，∠AOD=45°，OA=√(6²+6²)=6√2。
∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，∠BAC=45°，∴∠BAD=22.5°。
在Rt△ABD中，tan∠BAD=BD/AD，tan22.5°=√2-1，
∴BD=AD·tan22.5°=6(√2-1)，
∴B点坐标为(-6-BD,0)=(-6-6(√2-1),0)=(-6√2,0)，
∴OB=| -6√2 |=6√2=OA，即OA=OB。
(2) 解：
AD⊥x轴于D(-6,0)，CD=2，∴C(-4,0)或C(-8,0)。
情况1：C(-4,0)
A(-6,6)，C(-4,0)，AC斜率k_AC=(0-6)/(-4+6)=-3，AC方程：y=-3x-12。
设B(b,0)，由∠BAC=45°及余弦定理得B(-9,0)。
B(-9,0)关于AC对称点B'：
BB'斜率1/3，中点在AC上，解得B'(0,3)。
AB'方程：过A(-6,6)，B'(0,3)，斜率-1/2，方程y=-1/2x+3，交y轴于M(0,3)。
情况2：C(-8,0)
A(-6,6)，C(-8,0)，AC斜率k_AC=(0-6)/(-8+6)=3，AC方程：y=3x+24。
设B(b,0)，由∠BAC=45°及余弦定理得B(-18,0)。
B(-18,0)关于AC对称点B'：
BB'斜率-1/3，中点在AC上，解得B'(0,-6)。
AB'方程：过A(-6,6)，B'(0,-6)，斜率-2，方程y=-2x-6，交y轴于M(0,-6)。
综上，M(0,3)或(0,-6)。
