登录
1. 设 $a,b$ 是方程 $x^{2}+x - 2025 = 0$ 的两个实数根,则 $a^{2}+2a + b$ 的值是( )
A.$2023$
B.$2024$
C.$-1$
D.$-2$
A.$2023$
B.$2024$
C.$-1$
D.$-2$
答案
B
解析
因为$a$是方程$x^{2}+x - 2025 = 0$的根，所以$a^{2}+a - 2025 = 0$，即$a^{2}+a=2025$。
由韦达定理得，$a + b=-\frac{1}{1}=-1$。
则$a^{2}+2a + b=(a^{2}+a)+(a + b)=2025+(-1)=2024$。
B
由韦达定理得，$a + b=-\frac{1}{1}=-1$。
则$a^{2}+2a + b=(a^{2}+a)+(a + b)=2025+(-1)=2024$。
B
2. 一元二次方程 $x^{2}-3x + 1 = 0$ 的两个根为 $x_{1},x_{2}$,则 $x_{1}^{2}+3x_{2}+x_{1}x_{2}-2$ 的值是( )
A.$10$
B.$9$
C.$8$
D.$7$
A.$10$
B.$9$
C.$8$
D.$7$
答案
D
解析
由韦达定理得，$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=1$。
因为$x_{1}$是方程$x^{2}-3x + 1 = 0$的根，所以$x_{1}^{2}=3x_{1}-1$。
则$x_{1}^{2}+3x_{2}+x_{1}x_{2}-2=(3x_{1}-1)+3x_{2}+1 - 2=3(x_{1}+x_{2})-2$。
将$x_{1}+x_{2}=3$代入，得$3×3 - 2=7$。
D
因为$x_{1}$是方程$x^{2}-3x + 1 = 0$的根，所以$x_{1}^{2}=3x_{1}-1$。
则$x_{1}^{2}+3x_{2}+x_{1}x_{2}-2=(3x_{1}-1)+3x_{2}+1 - 2=3(x_{1}+x_{2})-2$。
将$x_{1}+x_{2}=3$代入，得$3×3 - 2=7$。
D
3. 设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{2}-4x + 2 = 0$ 的两个根,则 $x_{1}+x_{2}= $______,$x_{1}x_{2}= $______,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= $______。
答案
4;2;12.
4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^{2}-mx + 3 = 0$ 的两实数根之和为 $5$,则 $m= $______。
答案
10
解析
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
在方程$2x^{2}-mx + 3 = 0$中，$a = 2$，$b=-m$，已知两实数根之和为$5$，则：
$-\frac{-m}{2}=5$
$\frac{m}{2}=5$
$m = 10$
10
在方程$2x^{2}-mx + 3 = 0$中，$a = 2$，$b=-m$，已知两实数根之和为$5$，则：
$-\frac{-m}{2}=5$
$\frac{m}{2}=5$
$m = 10$
10
5. 设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $3x^{2}-19x + m = 0$ 的两个根,且 $x_{1}= \frac{m}{3}$,则 $m$ 的值为______。
答案
16
6. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x + k - 1 = 0$ 的两个实数根,且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 13$,则 $k$ 的值为______。
答案
$-2$
解析
解：由韦达定理得，$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=k - 1$。
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=(-2)^{2}-3(k - 1)=4 - 3k + 3=7 - 3k$。
因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=13$，所以$7 - 3k=13$，解得$k=-2$。
方程有两个实数根，$\Delta=2^{2}-4×1×(k - 1)=4 - 4k + 4=8 - 4k\geq0$，即$k\leq2$。
$k=-2$满足$k\leq2$，故$k=-2$。
$-2$
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=(-2)^{2}-3(k - 1)=4 - 3k + 3=7 - 3k$。
因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=13$，所以$7 - 3k=13$，解得$k=-2$。
方程有两个实数根，$\Delta=2^{2}-4×1×(k - 1)=4 - 4k + 4=8 - 4k\geq0$，即$k\leq2$。
$k=-2$满足$k\leq2$，故$k=-2$。
$-2$
7. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2m - 1)x + m^{2}= 0$ 有实数根。
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 若两根为 $x_{1},x_{2}$ 且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 7$,求 $m$ 的值。
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 若两根为 $x_{1},x_{2}$ 且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 7$,求 $m$ 的值。
答案
（1）$m\leqslant \dfrac{1}{4}$;（2）$m=-1$.
解析
（1）
∵方程有实数根，
∴$\Delta=(2m-1)^2-4×1× m^2\geqslant0$，即$4m^2 - 4m + 1 - 4m^2\geqslant0$，$-4m + 1\geqslant0$，解得$m\leqslant\dfrac{1}{4}$。
（2）由韦达定理得$x_1 + x_2=-(2m - 1)$，$x_1x_2=m^2$。$x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=[-(2m - 1)]^2 - 2m^2=4m^2 - 4m + 1 - 2m^2=2m^2 - 4m + 1$。
∵$x_1^2 + x_2^2=7$，
∴$2m^2 - 4m + 1=7$，$2m^2 - 4m - 6=0$，$m^2 - 2m - 3=0$，$(m - 3)(m + 1)=0$，解得$m_1=3$，$m_2=-1$。又
∵$m\leqslant\dfrac{1}{4}$，
∴$m=-1$。
∵方程有实数根，
∴$\Delta=(2m-1)^2-4×1× m^2\geqslant0$，即$4m^2 - 4m + 1 - 4m^2\geqslant0$，$-4m + 1\geqslant0$，解得$m\leqslant\dfrac{1}{4}$。
（2）由韦达定理得$x_1 + x_2=-(2m - 1)$，$x_1x_2=m^2$。$x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=[-(2m - 1)]^2 - 2m^2=4m^2 - 4m + 1 - 2m^2=2m^2 - 4m + 1$。
∵$x_1^2 + x_2^2=7$，
∴$2m^2 - 4m + 1=7$，$2m^2 - 4m - 6=0$，$m^2 - 2m - 3=0$，$(m - 3)(m + 1)=0$，解得$m_1=3$，$m_2=-1$。又
∵$m\leqslant\dfrac{1}{4}$，
∴$m=-1$。
8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}= 2(1 - m)x - m^{2}$ 的两实数根为 $x_{1},x_{2}$。
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 设 $y = x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}$,当 $y$ 取最小值时,求相应 $m$ 的值,并求出最小值。
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 设 $y = x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}$,当 $y$ 取最小值时,求相应 $m$ 的值,并求出最小值。
答案
（1）将原方程整理为$x^{2}+2(m-1)x+m^{2}=0$. $\because$ 原方程有两个实数根,$\therefore \Delta =[2(m-1)]^{2}-4m^{2}=-8m+4\geqslant 0$,得$m\leqslant \dfrac{1}{2}$.（2）当$m=1$时,$y$取最小值1.
解析
（1）将原方程整理为$x^{2}+2(m - 1)x + m^{2}=0$。
$\because$方程有两个实数根，
$\therefore\Delta=[2(m - 1)]^{2}-4×1× m^{2}=4(m^{2}-2m + 1)-4m^{2}=-8m + 4\geq0$，
解得$m\leqslant\frac{1}{2}$。
（2）由根与系数的关系得：$x_{1}+x_{2}=-2(m - 1)$，$x_{1}x_{2}=m^{2}$。
$\therefore y=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}=m^{2}-2(m - 1)=m^{2}-2m + 2=(m - 1)^{2}+1$。
$\because a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$m=1$。
又$\because m\leqslant\frac{1}{2}$，
$\therefore$当$m=\frac{1}{2}$时，$y$取最小值，$y_{min}=(\frac{1}{2}-1)^{2}+1=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$。
1
$\because$方程有两个实数根，
$\therefore\Delta=[2(m - 1)]^{2}-4×1× m^{2}=4(m^{2}-2m + 1)-4m^{2}=-8m + 4\geq0$，
解得$m\leqslant\frac{1}{2}$。
（2）由根与系数的关系得：$x_{1}+x_{2}=-2(m - 1)$，$x_{1}x_{2}=m^{2}$。
$\therefore y=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}=m^{2}-2(m - 1)=m^{2}-2m + 2=(m - 1)^{2}+1$。
$\because a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$m=1$。
又$\because m\leqslant\frac{1}{2}$，
$\therefore$当$m=\frac{1}{2}$时，$y$取最小值，$y_{min}=(\frac{1}{2}-1)^{2}+1=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$。
1
1. 已知关于 $x$ 的方程 $(k - 1)x^{2}+kx + 1 = 0$。
(1) 求证：不论 $k$ 取什么实数值,这个方程总有实数根；
(2) 当 $k$ 为何整数时,关于 $x$ 的方程 $(k - 1)x^{2}+kx + 1 = 0$ 有两个整数根？
(1) 求证：不论 $k$ 取什么实数值,这个方程总有实数根；
(2) 当 $k$ 为何整数时,关于 $x$ 的方程 $(k - 1)x^{2}+kx + 1 = 0$ 有两个整数根？
答案
（1）当$k=1$时,方程为一元一次方程,必有一解;当$k\neq 1$时,方程为一元二次方程,此时$\Delta =k^{2}-4(k-1)=(k-2)^{2}\geqslant 0$,方程有两个实数根.综上,不论$k$取什么实数值,这个方程总有实数根.（2）$k=0$或2.
解析
（1）证明：当$k = 1$时，方程为$x + 1 = 0$，解得$x=-1$，有实数根；当$k\neq1$时，方程为一元二次方程，$\Delta=k^{2}-4(k - 1)=(k - 2)^{2}\geq0$，方程有两个实数根。综上，不论$k$取什么实数值，这个方程总有实数根。
（2）当$k\neq1$时，方程$(k - 1)x^{2}+kx + 1 = 0$，由求根公式得$x=\frac{-k\pm\sqrt{(k - 2)^{2}}}{2(k - 1)}=\frac{-k\pm(k - 2)}{2(k - 1)}$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=\frac{1}{1 - k}$。因为方程有两个整数根，所以$\frac{1}{1 - k}$为整数，$1 - k=\pm1$，解得$k = 0$或$k = 2$。当$k = 1$时，方程为一元一次方程，只有一个根，不符合题意。综上，$k = 0$或$2$。
（2）当$k\neq1$时，方程$(k - 1)x^{2}+kx + 1 = 0$，由求根公式得$x=\frac{-k\pm\sqrt{(k - 2)^{2}}}{2(k - 1)}=\frac{-k\pm(k - 2)}{2(k - 1)}$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=\frac{1}{1 - k}$。因为方程有两个整数根，所以$\frac{1}{1 - k}$为整数，$1 - k=\pm1$，解得$k = 0$或$k = 2$。当$k = 1$时，方程为一元一次方程，只有一个根，不符合题意。综上，$k = 0$或$2$。
2. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}+5 = 0$ 的两个实数根。
(1) 若 $(x_{1}-1)(x_{2}-1)= 28$,求 $m$ 的值；
(2) 已知等腰 $\triangle ABC$ 的一边长为 $7$,若 $x_{1},x_{2}$ 恰好是 $\triangle ABC$ 另外两边的边长,求这个三角形的周长。
(1) 若 $(x_{1}-1)(x_{2}-1)= 28$,求 $m$ 的值；
(2) 已知等腰 $\triangle ABC$ 的一边长为 $7$,若 $x_{1},x_{2}$ 恰好是 $\triangle ABC$ 另外两边的边长,求这个三角形的周长。
答案
（1）$m=6$;（2）周长为17.
解析
（1）解：由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=2(m + 1)$，$x_{1}x_{2}=m^{2}+5$。
$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2}) + 1 = m^{2}+5 - 2(m + 1)+1 = m^{2}-2m + 4$。
由$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=28$，得$m^{2}-2m + 4 = 28$，$m^{2}-2m - 24 = 0$，$(m - 6)(m + 4)=0$，$m=6$或$m=-4$。
方程有实根，$\Delta = 4(m + 1)^{2}-4(m^{2}+5)=8m - 16\geq0$，$m\geq2$。
$\therefore m=6$。
（2）解：若7为腰长，则方程一根为7，代入得$49 - 14(m + 1)+m^{2}+5 = 0$，$m^{2}-14m + 40 = 0$，$(m - 4)(m - 10)=0$，$m=4$或$m=10$。
$m=4$时，方程为$x^{2}-10x + 21 = 0$，解得$x=3$或$x=7$，三边长7，7，3，周长为$7 + 7 + 3 = 17$。
$m=10$时，方程为$x^{2}-22x + 105 = 0$，解得$x=7$或$x=15$，7 + 7 = 14 ＜ 15，舍去。
若7为底边长，则方程有两等根，$\Delta = 8m - 16 = 0$，$m=2$，方程为$x^{2}-6x + 9 = 0$，解得$x_{1}=x_{2}=3$，3 + 3 = 6 ＜ 7，舍去。
$\therefore$三角形周长为17。
$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2}) + 1 = m^{2}+5 - 2(m + 1)+1 = m^{2}-2m + 4$。
由$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=28$，得$m^{2}-2m + 4 = 28$，$m^{2}-2m - 24 = 0$，$(m - 6)(m + 4)=0$，$m=6$或$m=-4$。
方程有实根，$\Delta = 4(m + 1)^{2}-4(m^{2}+5)=8m - 16\geq0$，$m\geq2$。
$\therefore m=6$。
（2）解：若7为腰长，则方程一根为7，代入得$49 - 14(m + 1)+m^{2}+5 = 0$，$m^{2}-14m + 40 = 0$，$(m - 4)(m - 10)=0$，$m=4$或$m=10$。
$m=4$时，方程为$x^{2}-10x + 21 = 0$，解得$x=3$或$x=7$，三边长7，7，3，周长为$7 + 7 + 3 = 17$。
$m=10$时，方程为$x^{2}-22x + 105 = 0$，解得$x=7$或$x=15$，7 + 7 = 14 ＜ 15，舍去。
若7为底边长，则方程有两等根，$\Delta = 8m - 16 = 0$，$m=2$，方程为$x^{2}-6x + 9 = 0$，解得$x_{1}=x_{2}=3$，3 + 3 = 6 ＜ 7，舍去。
$\therefore$三角形周长为17。
