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1.「2026广东梅州期末」下列方程组是二元一次方程组的是（
A.$\begin{cases} 3x + 4y = 6 \\ 5z - 6y = 4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 2 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}$
B
）A.$\begin{cases} 3x + 4y = 6 \\ 5z - 6y = 4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 2 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}$
答案
A.方程组中含有3个未知数,不是二元一次方程组,故本选项不符合题意.
B.方程组符合二元一次方程组的定义,是二元一次方程组,故本选项符合题意.
C.方程组中未知数的最高次数是2,不是二元一次方程组,故本选项不符合题意.
D.方程组中$\frac{1}{x}$与$\frac{1}{y}$不是整式,故不是二元一次方程组,故本选项不符合题意.
故选 B.
B.方程组符合二元一次方程组的定义,是二元一次方程组,故本选项符合题意.
C.方程组中未知数的最高次数是2,不是二元一次方程组,故本选项不符合题意.
D.方程组中$\frac{1}{x}$与$\frac{1}{y}$不是整式,故不是二元一次方程组,故本选项不符合题意.
故选 B.
2.「2026广东深圳期中」已知$5x^{3m-n}-2y^{n-m}+11=0$是关于x,y的二元一次方程，则m,n的值分别是（
A.1,2
B.2,1
C.3,4
D.-1,2
A
）A.1,2
B.2,1
C.3,4
D.-1,2
答案
由二元一次方程的定义可得$\begin{cases}3m-n=1, \\ n-m=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases} m=1, \\ n=2.\end{cases}$故选 A.
解得$\begin{cases} m=1, \\ n=2.\end{cases}$故选 A.
3.如果方程组$\begin{cases}x+y=\bigstar, \\ 2x+y=16\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=6, \\ y=\blacksquare,\end{cases}$那么被“$\bigstar$”“$\blacksquare$”遮住的两个数分别为（ ）
A.3,10
B.4,10
C.10,4
D.10,3
A.3,10
B.4,10
C.10,4
D.10,3
答案
将$\begin{cases} x=6, \\ y=
\end{cases}$代入$2x+y=16$,得$2×6+
=16$,解得$
=$4.将$\begin{cases} x=6, \\ y=4\end{cases}$代入$x+y=\bigstar$,得$6+4=\bigstar$,所以$\bigstar=10$.所以被“★”
遮住的两个数分别为10,4.故选 C.4.解方程组：
(1) $\begin{cases} 4x+3y=5, \\ 2x-y=-5. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 4(x-1)-3(y+2)=-8, \\ 3x-2y=3. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} 4x+3y=5, \\ 2x-y=-5. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 4(x-1)-3(y+2)=-8, \\ 3x-2y=3. \end{cases}$
答案
(1) $\begin{cases} 4x+3y=5①, \\ 2x-y=-5②, \end{cases}$
②×3+①,得10x=-10,解得x=-1.
把x=-1代入②,得2×(-1)-y=-5,解得y=3.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-1, \\ y=3. \end{cases}$
(2)将方程组整理得$\begin{cases} 4x-3y=2①, \\ 3x-2y=3②, \end{cases}$
①×3-②×4,得-y=-6,解得y=6,
将y=6代入①,得4x-3×6=2,解得x=5,
所以原方程组的解是$\begin{cases} x=5, \\ y=6. \end{cases}$
(3)将方程组整理得$\begin{cases} 2x-7y=33①, \\ 5x+7y=9②, \end{cases}$
①+②,得7x=42,解得x=6,
将x=6代入①,得2×6-7y=33,解得y=-3,
所以原方程组的解是$\begin{cases} x=6, \\ y=-3. \end{cases}$
(4)$\begin{cases} x+y=27①, \\ y+z=33②, \\ z+x=30③. \end{cases}$
①+②+③,得2x+2y+2z=90,即x+y+z=45④,
④-①,得z=18,④-②,得x=12,④-③,得y=15.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=12, \\ y=15, \\ z=18. \end{cases}$
②×3+①,得10x=-10,解得x=-1.
把x=-1代入②,得2×(-1)-y=-5,解得y=3.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-1, \\ y=3. \end{cases}$
(2)将方程组整理得$\begin{cases} 4x-3y=2①, \\ 3x-2y=3②, \end{cases}$
①×3-②×4,得-y=-6,解得y=6,
将y=6代入①,得4x-3×6=2,解得x=5,
所以原方程组的解是$\begin{cases} x=5, \\ y=6. \end{cases}$
(3)将方程组整理得$\begin{cases} 2x-7y=33①, \\ 5x+7y=9②, \end{cases}$
①+②,得7x=42,解得x=6,
将x=6代入①,得2×6-7y=33,解得y=-3,
所以原方程组的解是$\begin{cases} x=6, \\ y=-3. \end{cases}$
(4)$\begin{cases} x+y=27①, \\ y+z=33②, \\ z+x=30③. \end{cases}$
①+②+③,得2x+2y+2z=90,即x+y+z=45④,
④-①,得z=18,④-②,得x=12,④-③,得y=15.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=12, \\ y=15, \\ z=18. \end{cases}$
5.「2026甘肃兰州期末」某中学为了培养学生的科技创新意识,开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团,计划购进A,B两种型号的航模.据了解,购买1件A型航模和2件B型航模需800元,购买2件A型航模和3件B型航模需1 300元.
(1)求A,B两种型号的航模的单价.
(2)张老师欲同时购买两种航模,在采购时恰逢商家推出优惠活动,两种航模均打九折出售,这次采购预计花费990元(全部花完),请问张老师有哪几种购买方案?
(1)求A,B两种型号的航模的单价.
(2)张老师欲同时购买两种航模,在采购时恰逢商家推出优惠活动,两种航模均打九折出售,这次采购预计花费990元(全部花完),请问张老师有哪几种购买方案?
答案
(1)设每件A型航模x元,每件B型航模y元,
根据题意得$\begin{cases} x+2y=800, \\ 2x+3y=1\ 300, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=200, \\ y=300. \end{cases}$
答:每件A型航模200元,每件B型航模300元.
(2)设购买m件A型航模,n件B型航模,
根据题意得200×0.9m+300×0.9n=990,
所以$m=\frac{11-3n}{2}$.
因为m,n均为正整数,所以$\begin{cases} m=4, \\ n=1 \end{cases}$或$\begin{cases} m=1, \\ n=3, \end{cases}$
所以张老师共有2种购买方案,
方案1:购买4件A型航模,1件B型航模;
方案2:购买1件A型航模,3件B型航模.
根据题意得$\begin{cases} x+2y=800, \\ 2x+3y=1\ 300, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=200, \\ y=300. \end{cases}$
答:每件A型航模200元,每件B型航模300元.
(2)设购买m件A型航模,n件B型航模,
根据题意得200×0.9m+300×0.9n=990,
所以$m=\frac{11-3n}{2}$.
因为m,n均为正整数,所以$\begin{cases} m=4, \\ n=1 \end{cases}$或$\begin{cases} m=1, \\ n=3, \end{cases}$
所以张老师共有2种购买方案,
方案1:购买4件A型航模,1件B型航模;
方案2:购买1件A型航模,3件B型航模.
6.「2026山西晋中期末改编」如图,直线$ l_1:y=2x+1 $与直线$ l_2:y=mx+4 $相交于点$ P(1,b) $,直线$ l_1,l_2 $与x轴分别交于A,B两点.
(1)求$ b,m $的值.
(2)直接写出关于$ x,y $的二元一次方程组$\begin{cases}2x-y=-1, \\ mx-y=-4\end{cases}$的解.
(3)求$△ ABP$的面积.
(4)垂直于x轴的直线$ x=a $与直线$ l_1,l_2 $分别交于点$ C,D $,若线段$ CD $的长为4,求$ a $的值.
(1)求$ b,m $的值.
(2)直接写出关于$ x,y $的二元一次方程组$\begin{cases}2x-y=-1, \\ mx-y=-4\end{cases}$的解.
(3)求$△ ABP$的面积.
(4)垂直于x轴的直线$ x=a $与直线$ l_1,l_2 $分别交于点$ C,D $,若线段$ CD $的长为4,求$ a $的值.
答案
(1)把x=1代入y=2x+1,得y=3,所以b=3,
把(1,3)代入y=mx+4,得3=m+4,解得m=-1.
(2)由(1)可得点P的坐标为(1,3),所以关于x,y的方程组$\begin{cases} 2x-y=-1, \\ mx-y=-4 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
(3)对于直线$l_1:y=2x+1$,令y=0,则2x+1=0,
解得$x=-\frac{1}{2}$,所以$A(-\frac{1}{2},0)$,
由(1)可知直线$l_2:y=-x+4$,
令y=0,则-x+4=0,解得x=4,
所以B(4,0),所以$AB=4-(-\frac{1}{2})=\frac{9}{2}$,
所以$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· y_P=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$.
(4)因为CD=4,所以|2a+1-(-a+4)|=4,
即|3a-3|=4,解得$a=\frac{7}{3}$或$-\frac{1}{3}$.
把(1,3)代入y=mx+4,得3=m+4,解得m=-1.
(2)由(1)可得点P的坐标为(1,3),所以关于x,y的方程组$\begin{cases} 2x-y=-1, \\ mx-y=-4 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
(3)对于直线$l_1:y=2x+1$,令y=0,则2x+1=0,
解得$x=-\frac{1}{2}$,所以$A(-\frac{1}{2},0)$,
由(1)可知直线$l_2:y=-x+4$,
令y=0,则-x+4=0,解得x=4,
所以B(4,0),所以$AB=4-(-\frac{1}{2})=\frac{9}{2}$,
所以$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· y_P=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$.
(4)因为CD=4,所以|2a+1-(-a+4)|=4,
即|3a-3|=4,解得$a=\frac{7}{3}$或$-\frac{1}{3}$.
