数学八年级
1.下列方程中,属于三元一次方程的是 ()

A.$π + x + y = 6$
B.$xy + y + z = 6$
C.$x + 2y + 3z = 9$
D.$3x + 2y - 4z = 4x + 2y - 2z$

A 中的方程只含有 2 个未知数,不是三元一次方程;B 中的方程含未知数的项的最高次数为 2,不是三元一次方程;C 中的方程是三元一次方程;D 中的方程可化简为$-x-2z=0$,只含有 2 个未知数,不是三元一次方程.故选 C.

2.下列方程组是三元一次方程组的是（）

A.$\begin{cases} x+y+z=4 \\ 2x+3y=5 \\ y=2z \end{cases}$
B.$\begin{cases} xy=1 \\ yz=2 \\ xz=3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}=3 \\ 2x+y+3z=5 \\ x=2y-z \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=4 \\ w+z=6 \\ z+x=8 \end{cases}$

选项 A,方程组符合三元一次方程组的定义,是三元一次方程组.选项 B,方程组中含有三个未知数,但含有未知数的项的次数都是 2,故方程组不是三元一次方程组.选项 C,方程组中$\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{2}{z}$不是整式,故方程组不是三元一次方程组.选项 D,方程组中含有四个未知数,故方程组不是三元一次方程组.

3.「2026河北邯郸期中」已知三元一次方程组
$\begin{cases}2a + b - 3c =19, \\4a +2b +c=3, \\a -b +c=0,\end{cases}$ 消去未知数$c$后，所得的二元一次方程组可以是（ ）

$\begin{cases}2a+b-3c=19①, \\4a+2b+c=3②, \\a-b+c=0③,\end{cases}$ ②-③,得 3a+3b=3,即 a+b=1.③×3+①,得 5a-2b=19.②×3+①,得 14a+7b=28,即 2a+b=4,所以消去未知数 c 得到的二元一次方程组可以为$\begin{cases}5a-2b=19, \\a+b=1.\end{cases}$ 故选 A.

4.解下列方程组：

(1)$\begin{cases}x+y-z=2①, \\x-y+z=-1②, \\y+z-x=3③,\end{cases}$ ①+②,得 2x = 1,解得 x = $\frac{1}{2}$,②+③,得 2z = 2,解得 z = 1,把 $x=\frac{1}{2},z=1$ 代入①,得 $\frac{1}{2}+y-1=2$,解得 $y=\frac{5}{2}$,所以方程组的解为$\begin{cases}x=\dfrac{1}{2}, \\y=\dfrac{5}{2}, \\z=1.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x+3y+2z=3①, \\2x-3y-z=-2②, \\4x+3y-3z=-2③,\end{cases}$ ①+②,得 3x+z=1④,(②+③)÷2,得 3x-2z=-2⑤,④与⑤联立得$\begin{cases}3x+z=1, \\3x-2z=-2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=0, \\z=1,\end{cases}$ 把$\begin{cases}x=0, \\z=1\end{cases}$代入①,得 0+3y+2=3,解得 $y=\frac{1}{3}$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=0, \\y=\dfrac{1}{3}, \\z=1.\end{cases}$

5. 学科特色教材变式「2026山东济南月考改编」有一个三位数，十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和；若把个位上的数字与百位上的数字交换，则新数比原数大99；若把个位上的数字移至百位上的数字前面，则新的三位数比原数大63。这个三位数是。

解析 设这个三位数的个位数字为 x,十位数字为 y,百位数字为 z,
由题意得$\begin{cases}x+z=y, \\100x+10y+z-(100z+10y+x)=99, \\100x+10z+y-(100z+10y+x)=63,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=4, \\y=7, \\z=3,\end{cases}$所以这个三位数为 374.

6.「★☆」已知$\begin{cases}x=1, \\ y=2, \\ z=3\end{cases}$是方程组$\begin{cases}ax+by=2, \\ by+cz=3, \\ cx+az=7\end{cases}$的解，则$a+b+c$的值是（ ）

A.3
B.2
C.1
D.无法确定

把$\begin{cases}x=1, \\y=2, \\z=3\end{cases}$代入方程组,得$\begin{cases}a+2b=2①, \\2b+3c=3②, \\c+3a=7③,\end{cases}$ ①+②+③,得 4a+4b+4c=12,所以 a+b+c=3.故选 A.

7.聚焦 中考 直接经验学习 「2026 浙江宁波期末改编，★☆」
【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易.
例如：已知$\begin{cases}3x+2y+z=4①, \\7x+4y+3z=10②,\end{cases}$求$2x+y+z$的值.
解：②$-$①，得$4x+2y+2z=6③$，
③$× \frac{1}{2}$，得$2x+y+z=3$，所以$2x+y+z$的值为3.
【类比迁移】
(1)已知$\begin{cases}x+2y+3z=10, \\5x+6y+7z=26,\end{cases}$则代数式$3x+4y+5z$的值为 ______ .
【实际应用】
(2)有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲，7件乙，1件丙，共需20元；若购买4件甲，10件乙，1件丙，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要元.

(1)$\begin{cases}x+2y+3z=10①, \\5x+6y+7z=26②,\end{cases}$ ①+②,得 6x+8y+10z=36③,③×$\frac{1}{2}$,得 3x+4y+5z=18,所以 3x+4y+5z 的值为 18.
(2)设购买甲、乙、丙三种货物各 1 件,分别需要 x 元、y 元、z 元,
根据题意,得$\begin{cases}3x+7y+z=20①, \\4x+10y+z=27②,\end{cases}$ ①×3-②×2,得 3(3x+7y+z)-2(4x+10y+z)= 20×3-27×2,整理,得 x+y+z=6,所以购买甲、乙、丙各 1 件,共需要 6 元.