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10. 对于平面直角坐标系中的点$ P(a,b) $，若点$ P' $的坐标为$ (a+kb,ka+b) $（其中$ k $为常数，且$ k≠0 $），则称点$ P' $为点$ P $的“$ k $属派生点”。例如$ P(1,4) $的“2属派生点”为$ P'(1+2×4,2×1+4) $，即$ P'(9,6) $。则点$ P(-2,3) $的“4属派生点”$ P' $的坐标为；若点$ P $在$ x $轴的正半轴上，点$ P $的“$ k $属派生点”为$ P' $点，且线段$ PP' $的长度为线段$ OP $长度的3倍，则$ k $的值为。
答案
$(10,-5)$；$\pm3$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：1. 第一小问直接套用“k属派生点”的定义，将点P的横、纵坐标和k值代入给定的坐标公式计算即可。2. 第二小问先利用x轴正半轴上点的坐标特征（纵坐标为0，横坐标为正）设出点P的坐标，再求出其派生点P'的坐标，分析两个点的坐标特征得出线段PP'的长度表达式，结合OP的长度和题给的倍数关系列等式，化简即可求出k值，注意线段长度为非负数，要考虑绝对值的情况。
【解析】
1. 求点$ P(-2,3) $的“4属派生点”坐标：
根据“k属派生点”的定义，这里$ a=-2 $，$ b=3 $，$ k=4 $，
横坐标为$ a+kb = -2 + 4×3 = 10 $，
纵坐标为$ ka + b = 4×(-2) + 3 = -5 $，
因此$ P' $的坐标为$ (10,-5) $。
2. 求k的值：
∵点P在x轴正半轴上，
∴点P的纵坐标$ b=0 $，横坐标$ a＞0 $，设$ P(a,0) $（$ a＞0 $），
则P的“k属派生点”$ P' $的坐标为$ (a + k×0, k× a + 0) $，即$ (a, ka) $，
线段OP的长度为点P到原点的距离，即$ OP=a $（$ a＞0 $），
∵点P和$ P' $横坐标相同，线段$ PP' $为竖直线段，长度为纵坐标差的绝对值，即$ PP'=|ka - 0|=|ka| $，
根据题意$ PP'=3OP $，代入得$ |ka|=3a $，
∵$ a＞0 $，等式两边同时除以a得$ |k|=3 $，
∴$ k=\pm3 $。
【答案】
$(10,-5)$；$\pm3$
【知识点】
新定义运算；平面直角坐标系点的特征；绝对值性质
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解“k属派生点”的运算规则，结合平面直角坐标系内点的位置特征进行计算，第二问要注意线段长度的非负性，避免遗漏k的负值。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：1. 第一小问直接套用“k属派生点”的定义，将点P的横、纵坐标和k值代入给定的坐标公式计算即可。2. 第二小问先利用x轴正半轴上点的坐标特征（纵坐标为0，横坐标为正）设出点P的坐标，再求出其派生点P'的坐标，分析两个点的坐标特征得出线段PP'的长度表达式，结合OP的长度和题给的倍数关系列等式，化简即可求出k值，注意线段长度为非负数，要考虑绝对值的情况。
【解析】
1. 求点$ P(-2,3) $的“4属派生点”坐标：
根据“k属派生点”的定义，这里$ a=-2 $，$ b=3 $，$ k=4 $，
横坐标为$ a+kb = -2 + 4×3 = 10 $，
纵坐标为$ ka + b = 4×(-2) + 3 = -5 $，
因此$ P' $的坐标为$ (10,-5) $。
2. 求k的值：
∵点P在x轴正半轴上，
∴点P的纵坐标$ b=0 $，横坐标$ a＞0 $，设$ P(a,0) $（$ a＞0 $），
则P的“k属派生点”$ P' $的坐标为$ (a + k×0, k× a + 0) $，即$ (a, ka) $，
线段OP的长度为点P到原点的距离，即$ OP=a $（$ a＞0 $），
∵点P和$ P' $横坐标相同，线段$ PP' $为竖直线段，长度为纵坐标差的绝对值，即$ PP'=|ka - 0|=|ka| $，
根据题意$ PP'=3OP $，代入得$ |ka|=3a $，
∵$ a＞0 $，等式两边同时除以a得$ |k|=3 $，
∴$ k=\pm3 $。
【答案】
$(10,-5)$；$\pm3$
【知识点】
新定义运算；平面直角坐标系点的特征；绝对值性质
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解“k属派生点”的运算规则，结合平面直角坐标系内点的位置特征进行计算，第二问要注意线段长度的非负性，避免遗漏k的负值。
【难度系数】
0.7
11. 6月2日，中国航天又创造了一个新的历史时刻——嫦娥六号探测器成功着陆在月球背面的神秘领域. 这一壮举不仅是中国航天事业的重大突破，也将为人类对月球奥秘的探索带来全新启示. 学校准备调查七年级学生对“嫦娥探月工程”有关知识的了解程度，设定“A.非常了解”“B.比较了解”“C.了解一点”“D.不了解”四个了解程度项进行调查.
(1)在确定调查方案时，小明同学设计了三种方案.方案一:调查七年级的部分女生;方案二:调查七年级的部分男生;方案三:到七年级每个班去随机调查一定数量的学生. 请问其中最有代表性的是方案.
(2)小明采用了最有代表性的方案，用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，完成下列任务.
①补全条形统计图；
②求扇形统计图中m，n的值；
(3)学校七年级一共有2300人，求“比较了解”项的学生大约有多少人.
(1)在确定调查方案时，小明同学设计了三种方案.方案一:调查七年级的部分女生;方案二:调查七年级的部分男生;方案三:到七年级每个班去随机调查一定数量的学生. 请问其中最有代表性的是方案.
(2)小明采用了最有代表性的方案，用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，完成下列任务.
①补全条形统计图；
②求扇形统计图中m，n的值；
(3)学校七年级一共有2300人，求“比较了解”项的学生大约有多少人.
答案
解：
(1) 三
(2) ① 本次调查的总人数为：$16÷40\% = 40$（人）
选D的人数为：$40×10\% = 4$（人）
补全条形统计图：在横轴D对应位置绘制高度为4的长方形，上方标注数字4。
② $m\% = \frac{8}{40}×100\% = 20\%$，可得$m=20$
$n\% = \frac{12}{40}×100\% = 30\%$，可得$n=30$
(3) $2300×30\% = 690$（人）
答：“比较了解”项的学生大约有690人。
(1) 三
(2) ① 本次调查的总人数为：$16÷40\% = 40$（人）
选D的人数为：$40×10\% = 4$（人）
补全条形统计图：在横轴D对应位置绘制高度为4的长方形，上方标注数字4。
② $m\% = \frac{8}{40}×100\% = 20\%$，可得$m=20$
$n\% = \frac{12}{40}×100\% = 30\%$，可得$n=30$
(3) $2300×30\% = 690$（人）
答：“比较了解”项的学生大约有690人。
解析
【分析】
(1) 抽样调查的样本需要具备代表性和广泛性，方案一仅调查女生、方案二仅调查男生，样本局限于单一性别，无法代表全体七年级学生；方案三到每个班随机抽取学生，覆盖了不同班级、不同类别的学生，最具代表性。
(2) ① 先结合条形统计图中C类的人数和扇形统计图中C类的占比求出调查总人数，再用总人数乘D类的占比得到D类人数，即可补全条形统计图；② 分别用A类、B类的人数除以总人数再乘100%，就能得到对应的百分比，求出m和n的值。
(3) 用七年级总人数乘“比较了解”类别的占比，即可估计出全年级该类别的学生人数。
【解析】
(1) 抽样调查的样本需具备广泛性和代表性，方案三覆盖了七年级各班级的学生，最有代表性，因此选方案三。
(2) ① 计算调查总人数：已知C类有16人，占比40%，总人数为 $16÷40\% = 40$（人）
D类的人数为 $40×10\% = 4$（人）
补全条形统计图：在横轴“D”对应的位置绘制高度为4的长方形，在上方标注数字4。
② A类占比：$m\% = \frac{8}{40}×100\% = 20\%$，可得$m=20$
B类占比：$n\% = \frac{12}{40}×100\% = 30\%$，可得$n=30$
(3) 全年级“比较了解”的学生人数约为 $2300×30\% = 690$（人）
答：“比较了解”项的学生大约有690人。
【答案】
(1) 三
(2) ① 补全条形统计图（D对应人数为4）；② $m=20$，$n=30$
(3) 690人
【知识点】
抽样调查、统计图的应用、样本估计总体
【点评】
本题结合航天热点背景考查统计相关知识，需要学生掌握条形统计图和扇形统计图的信息关联，能结合两类统计图的已知数据计算样本总量、各部分占比，同时会用样本数据特征估计总体的特征，属于基础类统计应用题。
【难度系数】
0.8
(1) 抽样调查的样本需要具备代表性和广泛性，方案一仅调查女生、方案二仅调查男生，样本局限于单一性别，无法代表全体七年级学生；方案三到每个班随机抽取学生，覆盖了不同班级、不同类别的学生，最具代表性。
(2) ① 先结合条形统计图中C类的人数和扇形统计图中C类的占比求出调查总人数，再用总人数乘D类的占比得到D类人数，即可补全条形统计图；② 分别用A类、B类的人数除以总人数再乘100%，就能得到对应的百分比，求出m和n的值。
(3) 用七年级总人数乘“比较了解”类别的占比，即可估计出全年级该类别的学生人数。
【解析】
(1) 抽样调查的样本需具备广泛性和代表性，方案三覆盖了七年级各班级的学生，最有代表性，因此选方案三。
(2) ① 计算调查总人数：已知C类有16人，占比40%，总人数为 $16÷40\% = 40$（人）
D类的人数为 $40×10\% = 4$（人）
补全条形统计图：在横轴“D”对应的位置绘制高度为4的长方形，在上方标注数字4。
② A类占比：$m\% = \frac{8}{40}×100\% = 20\%$，可得$m=20$
B类占比：$n\% = \frac{12}{40}×100\% = 30\%$，可得$n=30$
(3) 全年级“比较了解”的学生人数约为 $2300×30\% = 690$（人）
答：“比较了解”项的学生大约有690人。
【答案】
(1) 三
(2) ① 补全条形统计图（D对应人数为4）；② $m=20$，$n=30$
(3) 690人
【知识点】
抽样调查、统计图的应用、样本估计总体
【点评】
本题结合航天热点背景考查统计相关知识，需要学生掌握条形统计图和扇形统计图的信息关联，能结合两类统计图的已知数据计算样本总量、各部分占比，同时会用样本数据特征估计总体的特征，属于基础类统计应用题。
【难度系数】
0.8
