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1 某公园占地面积为 $57622.48\ \mathrm{m}^2$，其中景观绿化面积约为 $37000\ \mathrm{m}^2$，在按比例尺 $1:300$ 缩小绘制的公园示意图中，景观绿化面积大约相当于（
A.某县体育中心体育馆的面积
B.一张乒乓球台的面积
C.一张《安徽日报》报纸的面积
D.《数学》教科书封面的面积
C
）A.某县体育中心体育馆的面积
B.一张乒乓球台的面积
C.一张《安徽日报》报纸的面积
D.《数学》教科书封面的面积
答案
1.C 【解析】设景观绿化部分在公园示意图上的面积为$x \, \mathrm{m}^2$. 根据题意得,$\frac{x}{37000}=(\frac{1}{300})^2$,解得$x≈0.41$,故景观绿化面积大约相当于一张《安徽日报》报纸的面积. 故选C.
解析
【分析】
解题核心是明确比例尺为长度的缩放比例，面积作为二维量，缩放比例为比例尺的平方。第一步，根据面积比等于比例尺的平方这一规律，列方程求出景观绿化在示意图上的面积；第二步，结合生活中常见物品的面积大小，将计算结果与各选项对比，选出符合的答案。注意避免直接用实际面积除以比例尺的错误思路，二维量的缩放是比例的平方关系。
【解析】
设景观绿化部分在公园示意图上的面积为$x \, \mathrm{m}^2$，根据相似图形面积比等于相似比的平方（此处相似比为比例尺$\frac{1}{300}$），可得：
$\frac{x}{37000}=(\frac{1}{300})^2$
计算得：
$x=\frac{37000}{90000}\approx0.41 \, \mathrm{m}^2$
结合生活常识判断：A选项体育馆面积远大于$0.41\ \mathrm{m}^2$，B选项乒乓球台面积约为$4\ \mathrm{m}^2$，D选项数学教科书封面面积约为$0.03\ \mathrm{m}^2$，均与计算结果不符，只有C选项一张报纸的面积接近$0.41\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
C
【知识点】
比例尺的应用；相似图形面积比性质
【点评】
本题将数学知识与生活实际结合，既考查了对相似图形面积与相似比关系的掌握，也考查了对常见物品面积的估算能力，引导学生注重知识的实际应用，避免机械记忆知识点。
【难度系数】
0.7
解题核心是明确比例尺为长度的缩放比例，面积作为二维量，缩放比例为比例尺的平方。第一步，根据面积比等于比例尺的平方这一规律，列方程求出景观绿化在示意图上的面积；第二步，结合生活中常见物品的面积大小，将计算结果与各选项对比，选出符合的答案。注意避免直接用实际面积除以比例尺的错误思路，二维量的缩放是比例的平方关系。
【解析】
设景观绿化部分在公园示意图上的面积为$x \, \mathrm{m}^2$，根据相似图形面积比等于相似比的平方（此处相似比为比例尺$\frac{1}{300}$），可得：
$\frac{x}{37000}=(\frac{1}{300})^2$
计算得：
$x=\frac{37000}{90000}\approx0.41 \, \mathrm{m}^2$
结合生活常识判断：A选项体育馆面积远大于$0.41\ \mathrm{m}^2$，B选项乒乓球台面积约为$4\ \mathrm{m}^2$，D选项数学教科书封面面积约为$0.03\ \mathrm{m}^2$，均与计算结果不符，只有C选项一张报纸的面积接近$0.41\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
C
【知识点】
比例尺的应用；相似图形面积比性质
【点评】
本题将数学知识与生活实际结合，既考查了对相似图形面积与相似比关系的掌握，也考查了对常见物品面积的估算能力，引导学生注重知识的实际应用，避免机械记忆知识点。
【难度系数】
0.7
2 已知两个直角三角形的三边长分别为 3,4,m和6,8,n,且这两个直角三角形不相似,则$m+n$的值为 (
A.$10+\sqrt{7}$或$5+2\sqrt{7}$
B.15
C.$10+\sqrt{7}$
D.$15+3\sqrt{7}$
A
)A.$10+\sqrt{7}$或$5+2\sqrt{7}$
B.15
C.$10+\sqrt{7}$
D.$15+3\sqrt{7}$
答案
2.A 【解析】当3,4为直角边长,6,8也为直角边长时,两三角形相似,不合题意. 当三边长分别为$3,4,\sqrt{7}$和$6,8,2\sqrt{7}$时,两三角形相似,不合题意. 当3,4为直角边长时,$m=5$;8为另一直角三角形的斜边长时,其直角边长为6和$2\sqrt{7}$,则$n=2\sqrt{7}$,故$m+n=5+2\sqrt{7}$. 当6,8为直角边长时,$n=10$;4为另一直角三角形的斜边长时,其直角边长为3和$\sqrt{7}$,则$m=\sqrt{7}$,故$m+n=10+\sqrt{7}$. 故选A.
解析
【分析】
解决本题首先要明确直角三角形中斜边为最长边，因此需先分类讨论两个直角三角形中斜边的情况，求出m、n的所有可能取值；再结合“两个三角形不相似”的限制条件，排除相似的边长组合，最后计算剩余符合条件的m+n的值即可。
【解析】
先分别计算两个直角三角形中未知边的可能取值：
1. 对于三边长为3,4,m的直角三角形：
①若3、4为直角边，则斜边$m=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
②若4为斜边，3为直角边，则另一条直角边$m=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
2. 对于三边长为6,8,n的直角三角形：
①若6、8为直角边，则斜边$n=\sqrt{6^2+8^2}=10$；
②若8为斜边，6为直角边，则另一条直角边$n=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$。
接下来根据“两个直角三角形不相似”排除不符合的组合：
当组合为$m=5，n=10$时，两个三角形三边为3,4,5和6,8,10，对应边成比例（比值为1:2），两三角形相似，排除；
当组合为$m=\sqrt{7}，n=2\sqrt{7}$时，两个三角形三边为$3,\sqrt{7},4$和$6,2\sqrt{7},8$，对应边成比例（比值为1:2），两三角形相似，排除。
剩余两种符合条件的组合：
1. $m=5，n=2\sqrt{7}$，此时$m+n=5+2\sqrt{7}$；
2. $m=\sqrt{7}，n=10$，此时$m+n=10+\sqrt{7}$。
综上，$m+n$的值为$10+\sqrt{7}$或$5+2\sqrt{7}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略直角三角形斜边的不确定性漏算m、n的取值，或忘记排除相似的情况出现错解，解题时需全面考虑所有可能的情况，再结合限制条件筛选结果。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确直角三角形中斜边为最长边，因此需先分类讨论两个直角三角形中斜边的情况，求出m、n的所有可能取值；再结合“两个三角形不相似”的限制条件，排除相似的边长组合，最后计算剩余符合条件的m+n的值即可。
【解析】
先分别计算两个直角三角形中未知边的可能取值：
1. 对于三边长为3,4,m的直角三角形：
①若3、4为直角边，则斜边$m=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
②若4为斜边，3为直角边，则另一条直角边$m=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
2. 对于三边长为6,8,n的直角三角形：
①若6、8为直角边，则斜边$n=\sqrt{6^2+8^2}=10$；
②若8为斜边，6为直角边，则另一条直角边$n=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$。
接下来根据“两个直角三角形不相似”排除不符合的组合：
当组合为$m=5，n=10$时，两个三角形三边为3,4,5和6,8,10，对应边成比例（比值为1:2），两三角形相似，排除；
当组合为$m=\sqrt{7}，n=2\sqrt{7}$时，两个三角形三边为$3,\sqrt{7},4$和$6,2\sqrt{7},8$，对应边成比例（比值为1:2），两三角形相似，排除。
剩余两种符合条件的组合：
1. $m=5，n=2\sqrt{7}$，此时$m+n=5+2\sqrt{7}$；
2. $m=\sqrt{7}，n=10$，此时$m+n=10+\sqrt{7}$。
综上，$m+n$的值为$10+\sqrt{7}$或$5+2\sqrt{7}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略直角三角形斜边的不确定性漏算m、n的取值，或忘记排除相似的情况出现错解，解题时需全面考虑所有可能的情况，再结合限制条件筛选结果。
【难度系数】
0.6
3[2025安徽马鞍山期中]如图，$△ ABC$是锐角三角形，AB，AC边上的高CE，BF交于点D，连接EF，则图中共有相似三角形 （
A.8对
B.7对
C.6对
D.5对
（第3题图）
（第5题图）
A
）A.8对
B.7对
C.6对
D.5对
（第3题图）（第5题图）
答案
3.A 【解析】
∵$BF ⊥ AC$,$CE ⊥ AB$,
∴$∠BEC = ∠AEC = ∠BFC = ∠AFB = 90°$,
∴$∠A + ∠ABF = ∠A + ∠ACE = 90°$,
∴$∠ABF = ∠ACE$,
∴$△ABF∽△ACE∽△DBE∽△DCF$,
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AB}$,$\frac{DF}{DE}=\frac{DC}{DB}$. 又
∵$∠A = ∠A$,$∠FDE = ∠BDC$,
∴$△AFE∽△ABC$,$△BDC∽△EDF$. 故选A.
∵$BF ⊥ AC$,$CE ⊥ AB$,
∴$∠BEC = ∠AEC = ∠BFC = ∠AFB = 90°$,
∴$∠A + ∠ABF = ∠A + ∠ACE = 90°$,
∴$∠ABF = ∠ACE$,
∴$△ABF∽△ACE∽△DBE∽△DCF$,
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AB}$,$\frac{DF}{DE}=\frac{DC}{DB}$. 又
∵$∠A = ∠A$,$∠FDE = ∠BDC$,
∴$△AFE∽△ABC$,$△BDC∽△EDF$. 故选A.
解析
【分析】
要解决找相似三角形对数的问题，首先观察图形特征：图中有AB边上的高CE、AC边上的高BF，可得到多个直角，再结合同角的余角相等得到相等的锐角，先通过AA判定找出所有相似的直角三角形，再通过两边成比例且夹角相等的判定定理找出其余的相似三角形，最后统计总对数即可。
【解析】
解：
∵$BF ⊥ AC$，$CE ⊥ AB$，
∴$∠BEC = ∠AEC = ∠BFC = ∠AFB = 90°$，
∵$∠A + ∠ABF = 90°$，$∠A + ∠ACE = 90°$，
∴$∠ABF = ∠ACE$，
结合公共角、对顶角相等，可判定$△ABF∽△ACE∽△DBE∽△DCF$，
这4个三角形两两相似，共有$\frac{4×3}{2}=6$对相似三角形；
由$△ABF∽△ACE$可得$\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AB}$，又$∠A = ∠A$，根据两边成比例且夹角相等，可得$△AFE∽△ABC$，为第7对；
由$△DBE∽△DCF$可得$\frac{DE}{DF}=\frac{DB}{DC}$，即$\frac{DE}{DB}=\frac{DF}{DC}$，又$∠EDF = ∠BDC$（对顶角相等），根据两边成比例且夹角相等，可得$△EDF∽△BDC$，为第8对。
综上，共有8对相似三角形，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质、余角的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题时要先理清图中的等角关系，先找特征明显的直角相似三角形，再验证非直角三角形的相似关系，统计对数时注意不要漏算、重复计算。
【难度系数】
0.6
要解决找相似三角形对数的问题，首先观察图形特征：图中有AB边上的高CE、AC边上的高BF，可得到多个直角，再结合同角的余角相等得到相等的锐角，先通过AA判定找出所有相似的直角三角形，再通过两边成比例且夹角相等的判定定理找出其余的相似三角形，最后统计总对数即可。
【解析】
解：
∵$BF ⊥ AC$，$CE ⊥ AB$，
∴$∠BEC = ∠AEC = ∠BFC = ∠AFB = 90°$，
∵$∠A + ∠ABF = 90°$，$∠A + ∠ACE = 90°$，
∴$∠ABF = ∠ACE$，
结合公共角、对顶角相等，可判定$△ABF∽△ACE∽△DBE∽△DCF$，
这4个三角形两两相似，共有$\frac{4×3}{2}=6$对相似三角形；
由$△ABF∽△ACE$可得$\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AB}$，又$∠A = ∠A$，根据两边成比例且夹角相等，可得$△AFE∽△ABC$，为第7对；
由$△DBE∽△DCF$可得$\frac{DE}{DF}=\frac{DB}{DC}$，即$\frac{DE}{DB}=\frac{DF}{DC}$，又$∠EDF = ∠BDC$（对顶角相等），根据两边成比例且夹角相等，可得$△EDF∽△BDC$，为第8对。
综上，共有8对相似三角形，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质、余角的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题时要先理清图中的等角关系，先找特征明显的直角相似三角形，再验证非直角三角形的相似关系，统计对数时注意不要漏算、重复计算。
【难度系数】
0.6
4[2026广东深圳校级期末]同一平面内,有6个不同的点A,B,C,D,E,F,点B在线段AC上,点E在线段DF上,若$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$,则对于结论:
①$BE// CF$,②$AE// BF$,③$DB// EC$,下列说法正确的是(
A.①一定正确
B.②③一定正确
C.①②③一定正确
D.三个结论都不一定正确
①$BE// CF$,②$AE// BF$,③$DB// EC$,下列说法正确的是(
D
)A.①一定正确
B.②③一定正确
C.①②③一定正确
D.三个结论都不一定正确
答案
4.D 【解析】如图所示,令$AB=BC=1$,$DE=EF=1$,则$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$. 由图可知,$BE$与$CF$不平行,$AE$与$BF$不平行,$DB$与$EC$不平行,故选D.
解析
【分析】
本题考查对平行线分线段成比例定理的正确理解，解题的核心是明确该定理的适用条件。首先，平行线分线段成比例定理成立的前提是存在一组平行线截两条直线，反过来，仅知道两组线段对应成比例，没有限定线段所在直线的位置关系时，不能直接推出直线平行。对于“一定正确”类的结论，我们可以通过举反例的方法，只要能构造出满足题目条件但结论不成立的情况，即可说明该结论不恒成立。
【解析】
我们通过构造反例验证：令$AB=BC=1$，$DE=EF=1$，此时满足题目给出的$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，且点B在线段AC上、点E在线段DF上的条件。
调整AC和DF两条线段的摆放位置，可画出$BE$与$CF$不平行的图形，也可画出$AE$与$BF$不平行、$DB$与$EC$不平行的图形，说明三个结论都存在不成立的可能，因此都不一定正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理；反例法判断命题
【点评】
本题容易出现思维定式，误以为满足线段比例关系就一定能推出平行，忽略了平行线分线段成比例定理的应用前提。遇到判断结论是否一定成立的题型时，优先考虑能否举出反例，可快速得到正确结论。
【难度系数】
0.4
本题考查对平行线分线段成比例定理的正确理解，解题的核心是明确该定理的适用条件。首先，平行线分线段成比例定理成立的前提是存在一组平行线截两条直线，反过来，仅知道两组线段对应成比例，没有限定线段所在直线的位置关系时，不能直接推出直线平行。对于“一定正确”类的结论，我们可以通过举反例的方法，只要能构造出满足题目条件但结论不成立的情况，即可说明该结论不恒成立。
【解析】
我们通过构造反例验证：令$AB=BC=1$，$DE=EF=1$，此时满足题目给出的$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，且点B在线段AC上、点E在线段DF上的条件。
调整AC和DF两条线段的摆放位置，可画出$BE$与$CF$不平行的图形，也可画出$AE$与$BF$不平行、$DB$与$EC$不平行的图形，说明三个结论都存在不成立的可能，因此都不一定正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理；反例法判断命题
【点评】
本题容易出现思维定式，误以为满足线段比例关系就一定能推出平行，忽略了平行线分线段成比例定理的应用前提。遇到判断结论是否一定成立的题型时，优先考虑能否举出反例，可快速得到正确结论。
【难度系数】
0.4
5[2025 安徽合肥蜀山区校级期中]如图，$□ ABCD$中，$E$为$AD$上一点，$BE$交$AC$于点$F$.已知$AE:ED=2:1$，则下列结论错误的是 （
A.$△ AEF$与$△ CBF$的周长比为$2:3$
B.$△ ABF$与四边形$EFCD$的面积比为$5:11$
C.连接$CE$，$△ ABF$与$△ CEF$不一定相似
D.若题中条件“$AE:ED=2:1$”改为“点$E$为边$AD$的黄金分割点，$AE＞ED$”，则$\frac{CF}{AF}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
B
）A.$△ AEF$与$△ CBF$的周长比为$2:3$
B.$△ ABF$与四边形$EFCD$的面积比为$5:11$
C.连接$CE$，$△ ABF$与$△ CEF$不一定相似
D.若题中条件“$AE:ED=2:1$”改为“点$E$为边$AD$的黄金分割点，$AE＞ED$”，则$\frac{CF}{AF}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
答案
5.B 【解析】
∵四边形$ABCD$是平行四边形,
∴$AD=BC$,$AB=CD$,$AD//BC$.
∵$AE:ED=2:1$,
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{2}{3}$.
∵$AD//BC$,
∴$△AEF∽△CBF$,
∴$△AEF$与$△CBF$的周长比为$2:3$,$△AEF$与$△CBF$的面积比为$4:9$,故A不符合题意.
∵$△AEF∽△CBF$,
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{EF}{BF}=\frac{2}{3}$,
∴$△AEF$的面积:$△ABF$的面积$=2:3$. 设$△AEF$的面积为$4a$,则$△CBF$的面积为$9a$,$△ABF$的面积为$6a$,
∴$△ABC$的面积$=△ABF$的面积+$△CBF$的面积$=15a$.
∵$AD=BC$,$AB=CD$,$AC=CA$,
∴$△ABC ≅ △CDA$(SSS),
∴$△ABC$的面积$=△ACD$的面积$=15a$,
∴四边形$EFCD$的面积$=△ACD$的面积$-△AEF$的面积$=11a$,
∴$△ABF$与四边形$EFCD$的面积比为$6:11$,故B符合题意. 如图,
∵$△AEF ∽ △CBF$,
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{EF}{BF}$.
∵$∠AFB=∠EFC$,
∴$△ABF$和$△CEF$不一定相似,故C不符合题意.
∵点$E$为边$AD$的黄金分割点,$AE＞ED$,
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵$△AEF∽△CBF$,
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{CF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴$\frac{CF}{AF}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,故D不符合题意. 故选B.
∵四边形$ABCD$是平行四边形,
∴$AD=BC$,$AB=CD$,$AD//BC$.
∵$AE:ED=2:1$,
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{2}{3}$.
∵$AD//BC$,
∴$△AEF∽△CBF$,
∴$△AEF$与$△CBF$的周长比为$2:3$,$△AEF$与$△CBF$的面积比为$4:9$,故A不符合题意.
∵$△AEF∽△CBF$,
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{EF}{BF}=\frac{2}{3}$,
∴$△AEF$的面积:$△ABF$的面积$=2:3$. 设$△AEF$的面积为$4a$,则$△CBF$的面积为$9a$,$△ABF$的面积为$6a$,
∴$△ABC$的面积$=△ABF$的面积+$△CBF$的面积$=15a$.
∵$AD=BC$,$AB=CD$,$AC=CA$,
∴$△ABC ≅ △CDA$(SSS),
∴$△ABC$的面积$=△ACD$的面积$=15a$,
∴四边形$EFCD$的面积$=△ACD$的面积$-△AEF$的面积$=11a$,
∴$△ABF$与四边形$EFCD$的面积比为$6:11$,故B符合题意. 如图,
∵$△AEF ∽ △CBF$,
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{EF}{BF}$.
∵$∠AFB=∠EFC$,
∴$△ABF$和$△CEF$不一定相似,故C不符合题意.
∵点$E$为边$AD$的黄金分割点,$AE＞ED$,
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵$△AEF∽△CBF$,
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{CF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴$\frac{CF}{AF}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,故D不符合题意. 故选B.
解析
【分析】
这是平行四边形结合相似三角形的综合选择题，解题思路如下：1. 先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知AE:ED=2:1，得到AE与BC的比值，由AD//BC可证△AEF∽△CBF，得到相似比为2:3，以此为基础判断各个选项：①A选项：相似三角形周长比等于相似比，可直接判断；②B选项：利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合同高三角形面积比等于底的比，分别计算△ABF和四边形EFCD的面积，再求比值判断；③C选项：根据相似三角形的判定条件，判断△ABF和△CEF是否满足相似的条件；④D选项：结合黄金分割的定义，先得到AE与AD的比值，再利用相似三角形对应边成比例化简得到CF与AF的比值。逐个分析后找出错误的选项即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC$，$AD// BC$，
∵$AE:ED=2:1$，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$，即$\frac{AE}{BC}=\frac{2}{3}$。
∵$AD// BC$，
∴$∠EAF=∠BCF$，$∠AEF=∠CBF$，
∴$△ AEF ∽ △ CBF$。
对A选项：相似三角形周长比等于相似比，故$△ AEF$与$△ CBF$的周长比为$2:3$，A结论正确，不符合题意。
对B选项：$△ AEF$与$△ CBF$的面积比等于相似比的平方，即$(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$；且相似三角形对应边成比例，得$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{BC}=\frac{2}{3}$。
$△ AEF$和$△ ABF$同高，面积比等于底$EF:BF=2:3$，设$S_{△ AEF}=4a$，则$S_{△ CBF}=9a$，$S_{△ ABF}=4a×\frac{3}{2}=6a$。
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ CBF}=6a+9a=15a$，
∵平行四边形中$△ ABC ≅ △ CDA$（SSS），
∴$S_{△ ACD}=S_{△ ABC}=15a$，
∴$S_{四边形EFCD}=S_{△ ACD}-S_{△ AEF}=15a-4a=11a$，
故$S_{△ ABF}:S_{四边形EFCD}=6a:11a=6:11≠5:11$，B结论错误，符合题意。
对C选项：由$△ AEF ∽ △ CBF$得$\frac{AF}{CF}=\frac{EF}{BF}$，虽然$∠AFB=∠EFC$，但$\frac{AF}{EF}$与$\frac{BF}{CF}$不一定相等，故$△ ABF$与$△ CEF$不一定相似，C结论正确，不符合题意。
对D选项：若E是AD的黄金分割点且$AE＞ED$，则$\frac{AE}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$\frac{AE}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，由$△ AEF ∽ △ CBF$得$\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故$\frac{CF}{AF}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，D结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，黄金分割
【点评】
这道题综合考查了平行四边形性质、相似三角形的判定及性质、黄金分割的应用，解题时要注意结合同高三角形面积比等于底之比的规律计算面积比值，逐一验证每个选项，避免因面积计算失误出错。
【难度系数】
0.6
这是平行四边形结合相似三角形的综合选择题，解题思路如下：1. 先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知AE:ED=2:1，得到AE与BC的比值，由AD//BC可证△AEF∽△CBF，得到相似比为2:3，以此为基础判断各个选项：①A选项：相似三角形周长比等于相似比，可直接判断；②B选项：利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合同高三角形面积比等于底的比，分别计算△ABF和四边形EFCD的面积，再求比值判断；③C选项：根据相似三角形的判定条件，判断△ABF和△CEF是否满足相似的条件；④D选项：结合黄金分割的定义，先得到AE与AD的比值，再利用相似三角形对应边成比例化简得到CF与AF的比值。逐个分析后找出错误的选项即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC$，$AD// BC$，
∵$AE:ED=2:1$，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$，即$\frac{AE}{BC}=\frac{2}{3}$。
∵$AD// BC$，
∴$∠EAF=∠BCF$，$∠AEF=∠CBF$，
∴$△ AEF ∽ △ CBF$。
对A选项：相似三角形周长比等于相似比，故$△ AEF$与$△ CBF$的周长比为$2:3$，A结论正确，不符合题意。
对B选项：$△ AEF$与$△ CBF$的面积比等于相似比的平方，即$(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$；且相似三角形对应边成比例，得$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{BC}=\frac{2}{3}$。
$△ AEF$和$△ ABF$同高，面积比等于底$EF:BF=2:3$，设$S_{△ AEF}=4a$，则$S_{△ CBF}=9a$，$S_{△ ABF}=4a×\frac{3}{2}=6a$。
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ CBF}=6a+9a=15a$，
∵平行四边形中$△ ABC ≅ △ CDA$（SSS），
∴$S_{△ ACD}=S_{△ ABC}=15a$，
∴$S_{四边形EFCD}=S_{△ ACD}-S_{△ AEF}=15a-4a=11a$，
故$S_{△ ABF}:S_{四边形EFCD}=6a:11a=6:11≠5:11$，B结论错误，符合题意。
对C选项：由$△ AEF ∽ △ CBF$得$\frac{AF}{CF}=\frac{EF}{BF}$，虽然$∠AFB=∠EFC$，但$\frac{AF}{EF}$与$\frac{BF}{CF}$不一定相等，故$△ ABF$与$△ CEF$不一定相似，C结论正确，不符合题意。
对D选项：若E是AD的黄金分割点且$AE＞ED$，则$\frac{AE}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$\frac{AE}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，由$△ AEF ∽ △ CBF$得$\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故$\frac{CF}{AF}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，D结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，黄金分割
【点评】
这道题综合考查了平行四边形性质、相似三角形的判定及性质、黄金分割的应用，解题时要注意结合同高三角形面积比等于底之比的规律计算面积比值，逐一验证每个选项，避免因面积计算失误出错。
【难度系数】
0.6
6[2026上海普陀区校级质检]已知在$△ ABC$与$△ A'B'C'$中，点$D,D'$分别在边$BC,B'C'$上(点$D$不与点$B,C$重合，点$D'$不与点$B',C'$重合).如果$△ ADC$与$△ A'D'C'$相似，点$A,D$分别对应点$A',D'$,那么添加下列条件可以证明$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似的是 (
①$AD,A'D'$分别是$△ ABC$与$△ A'B'C'$的高；
②$AD,A'D'$分别是$△ ABC$与$△ A'B'C'$的中线；
③$AD,A'D'$分别是$△ ABC$与$△ A'B'C'$的角平分线.
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
B
)①$AD,A'D'$分别是$△ ABC$与$△ A'B'C'$的高；
②$AD,A'D'$分别是$△ ABC$与$△ A'B'C'$的中线；
③$AD,A'D'$分别是$△ ABC$与$△ A'B'C'$的角平分线.
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
6.B 【解析】①如图(1),$AD$,$A'D'$分别是$△ABC$与$△A'B'C'$的高,$△ADC∽△A'D'C'$,由图形可知,此时$△ABC$与$△A'B'C'$不相似.
②如图(2),$AD$,$A'D'$分别是$△ABC$与$△A'B'C'$的中线,
∴$BD=CD$,$B'D'=C'D'$.
∵$△ADC∽△A'D'C'$,
∴$∠C=∠C'$,$∠ADC=∠A'D'C'$,
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{CD}{C'D'}$,
∴$∠ADB=∠A'D'B'$,$\frac{AD}{A'D'}=\frac{BD}{B'D'}$,
∴$△ABD∽△A'B'D'$,
∴$∠B=∠B'$,
∴$△BAC∽△B'A'C'$,即添加条件②可以证明$△ABC$与$△A'B'C'$相似.
③$AD$,$A'D'$分别是$△ABC$与$△A'B'C'$的角平分线,
∴$∠BAD=∠CAD$,$∠B'A'D'=∠C'A'D'$.又
∵$△ADC∽△A'D'C'$,
∴$∠CAD=∠C'A'D'$,$∠C=∠C'$,
∴$∠BAC=∠B'A'C'$,
∴$△BAC∽△B'A'C'$,即添加条件③可以证明$△ABC$与$△A'B'C'$相似. 故选B.
②如图(2),$AD$,$A'D'$分别是$△ABC$与$△A'B'C'$的中线,
∴$BD=CD$,$B'D'=C'D'$.
∵$△ADC∽△A'D'C'$,
∴$∠C=∠C'$,$∠ADC=∠A'D'C'$,
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{CD}{C'D'}$,
∴$∠ADB=∠A'D'B'$,$\frac{AD}{A'D'}=\frac{BD}{B'D'}$,
∴$△ABD∽△A'B'D'$,
∴$∠B=∠B'$,
∴$△BAC∽△B'A'C'$,即添加条件②可以证明$△ABC$与$△A'B'C'$相似.
③$AD$,$A'D'$分别是$△ABC$与$△A'B'C'$的角平分线,
∴$∠BAD=∠CAD$,$∠B'A'D'=∠C'A'D'$.又
∵$△ADC∽△A'D'C'$,
∴$∠CAD=∠C'A'D'$,$∠C=∠C'$,
∴$∠BAC=∠B'A'C'$,
∴$△BAC∽△B'A'C'$,即添加条件③可以证明$△ABC$与$△A'B'C'$相似. 故选B.
解析
【分析】
解题时先利用已知的△ADC∽△A'D'C'（A对应A'，D对应D'），得到其对应角相等、对应边成比例的结论，再结合高、中线、角平分线各自的性质，逐一验证三个条件能否推出△ABC和△A'B'C'满足相似三角形的判定条件，最终筛选出符合要求的条件即可。
【解析】
我们逐个分析三个条件：
1. 对条件①：若AD、A'D'分别是两个三角形的高，由△ADC∽△A'D'C'可得∠C=∠C'，但无法推出∠B与∠B'相等，也无法得到△ABC与△A'B'C'的边成比例，可构造反例证明此时两个大三角形不一定相似，故①不符合要求。
2. 对条件②：若AD、A'D'分别是两个三角形的中线，
∴BD=CD，B'D'=C'D'。
∵△ADC∽△A'D'C'，
∴∠C=∠C'，∠ADC=∠A'D'C'，$\frac{AD}{A'D'}=\frac{CD}{C'D'}$，
∴∠ADB=180°-∠ADC=180°-∠A'D'C'=∠A'D'B'，且$\frac{AD}{A'D'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{BD}{B'D'}$，
∴△ABD∽△A'B'D'（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴∠B=∠B'，结合∠C=∠C'，可得△ABC∽△A'B'C'（两角对应相等的两个三角形相似），故②符合要求。
3. 对条件③：若AD、A'D'分别是两个三角形的角平分线，
∴∠BAC=2∠CAD，∠B'A'C'=2∠C'A'D'。
∵△ADC∽△A'D'C'，
∴∠CAD=∠C'A'D'，∠C=∠C'，
∴∠BAC=∠B'A'C'，结合∠C=∠C'，可得△ABC∽△A'B'C'（两角对应相等的两个三角形相似），故③符合要求。
综上，②③符合要求，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，三角形三线的性质
【点评】
本题属于相似三角形的综合应用题，需要熟练掌握相似三角形的判定和性质，结合三角形高、中线、角平分线的特点逐一分析条件，易错点是容易误认为高的条件也能推出大三角形相似，可通过举反例排除错误选项。
【难度系数】
0.6
解题时先利用已知的△ADC∽△A'D'C'（A对应A'，D对应D'），得到其对应角相等、对应边成比例的结论，再结合高、中线、角平分线各自的性质，逐一验证三个条件能否推出△ABC和△A'B'C'满足相似三角形的判定条件，最终筛选出符合要求的条件即可。
【解析】
我们逐个分析三个条件：
1. 对条件①：若AD、A'D'分别是两个三角形的高，由△ADC∽△A'D'C'可得∠C=∠C'，但无法推出∠B与∠B'相等，也无法得到△ABC与△A'B'C'的边成比例，可构造反例证明此时两个大三角形不一定相似，故①不符合要求。
2. 对条件②：若AD、A'D'分别是两个三角形的中线，
∴BD=CD，B'D'=C'D'。
∵△ADC∽△A'D'C'，
∴∠C=∠C'，∠ADC=∠A'D'C'，$\frac{AD}{A'D'}=\frac{CD}{C'D'}$，
∴∠ADB=180°-∠ADC=180°-∠A'D'C'=∠A'D'B'，且$\frac{AD}{A'D'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{BD}{B'D'}$，
∴△ABD∽△A'B'D'（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴∠B=∠B'，结合∠C=∠C'，可得△ABC∽△A'B'C'（两角对应相等的两个三角形相似），故②符合要求。
3. 对条件③：若AD、A'D'分别是两个三角形的角平分线，
∴∠BAC=2∠CAD，∠B'A'C'=2∠C'A'D'。
∵△ADC∽△A'D'C'，
∴∠CAD=∠C'A'D'，∠C=∠C'，
∴∠BAC=∠B'A'C'，结合∠C=∠C'，可得△ABC∽△A'B'C'（两角对应相等的两个三角形相似），故③符合要求。
综上，②③符合要求，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，三角形三线的性质
【点评】
本题属于相似三角形的综合应用题，需要熟练掌握相似三角形的判定和性质，结合三角形高、中线、角平分线的特点逐一分析条件，易错点是容易误认为高的条件也能推出大三角形相似，可通过举反例排除错误选项。
【难度系数】
0.6
7 [2026 安徽芜湖质检]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=6$,$AC=8$,点$D$,$E$分别在线段$AB$,$AC$上,且$DE$是$△ ABC$的中位线,点$P$从点$D$出发沿$DE$向点$E$运动,点$Q$在$BC$上且满足$PQ// AB$,连接$AQ$,过点$Q$作$QR⊥ AB$交$AB$于点$R$.设点$P$运动的路程为$x$,$△ AQR$的面积为$y$,则$y$关于$x$的函数图象为 (
C
)答案
7.C 【解析】由题意可得$PD//BQ$,$PQ//DB$,故四边形$PQBD$为平行四边形,所以$BQ=PD=x$,易证$△ABC∽△RBQ$,故有$\frac{BR}{AB}=\frac{BQ}{BC}=\frac{QR}{CA}$. 因为$AB=6$,$AC=8$,$∠BAC=90°$,所以$BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$,所以$BR=\frac{3}{5}x$,$QR=\frac{4}{5}x$,所以$AR=6-\frac{3}{5}x$,故$y = S_{△AQR} = \frac{1}{2} AR · QR = \frac{1}{2}(6-\frac{3}{5}x)×\frac{4}{5}x = -\frac{6}{25}x^2+\frac{12}{5}x = -\frac{6}{25}(x-5)^2+6$,所以$y$关于$x$的函数图象是抛物线,且开口向下,顶点为$(5,6)$. 因为$DE$是$△ABC$的中位线,所以$DE=\frac{1}{2}BC=5$,所以$x$的取值范围为$0≤x≤5$,故选C.
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①先根据DE是△ABC的中位线得到DE//BC，结合PQ//AB，可判定四边形PQBD是平行四边形，得到BQ与x的等量关系；②由QR⊥AB、∠BAC=90°可推出QR//AC，进而得到△RBQ与△ABC相似，利用相似三角形的对应边成比例，用含x的式子表示出BR、QR的长度；③求出AR的长度，结合三角形面积公式列出y关于x的函数关系式；④结合x的取值范围和函数的性质，判断对应的函数图象即可。
【解析】
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，即PD//BQ，
又
∵PQ//AB，即PQ//DB，
∴四边形PQBD为平行四边形，
∴BQ=PD=x。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵QR⊥AB，∠BAC=90°，
∴QR//AC，
∴△RBQ∽△ABC，
∴$\frac{BR}{AB}=\frac{BQ}{BC}=\frac{QR}{CA}$，
代入数值计算得：$BR=\frac{AB}{BC}·BQ=\frac{6}{10}x=\frac{3}{5}x$，$QR=\frac{AC}{BC}·BQ=\frac{8}{10}x=\frac{4}{5}x$，
∴$AR=AB-BR=6-\frac{3}{5}x$。
∴△AQR的面积$y=\frac{1}{2}·AR·QR=\frac{1}{2}×(6-\frac{3}{5}x)×\frac{4}{5}x$，
化简得：$y=-\frac{6}{25}x^2+\frac{12}{5}x=-\frac{6}{25}(x-5)^2+6$，
可知该函数是开口向下的二次函数，顶点坐标为(5,6)。
又
∵DE是△ABC的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BC=5$，即x的取值范围是$0≤x≤5$，
符合条件的函数图象为选项C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质；二次函数的图象与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是几何与函数结合的综合题，融合了三角形中位线、平行四边形、相似三角形、二次函数等多个知识点，解题核心是通过相似三角形用含x的代数式表示出所求三角形的底和高，得到函数解析式后结合自变量的取值范围判断图象，能较好地考查知识整合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：①先根据DE是△ABC的中位线得到DE//BC，结合PQ//AB，可判定四边形PQBD是平行四边形，得到BQ与x的等量关系；②由QR⊥AB、∠BAC=90°可推出QR//AC，进而得到△RBQ与△ABC相似，利用相似三角形的对应边成比例，用含x的式子表示出BR、QR的长度；③求出AR的长度，结合三角形面积公式列出y关于x的函数关系式；④结合x的取值范围和函数的性质，判断对应的函数图象即可。
【解析】
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，即PD//BQ，
又
∵PQ//AB，即PQ//DB，
∴四边形PQBD为平行四边形，
∴BQ=PD=x。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵QR⊥AB，∠BAC=90°，
∴QR//AC，
∴△RBQ∽△ABC，
∴$\frac{BR}{AB}=\frac{BQ}{BC}=\frac{QR}{CA}$，
代入数值计算得：$BR=\frac{AB}{BC}·BQ=\frac{6}{10}x=\frac{3}{5}x$，$QR=\frac{AC}{BC}·BQ=\frac{8}{10}x=\frac{4}{5}x$，
∴$AR=AB-BR=6-\frac{3}{5}x$。
∴△AQR的面积$y=\frac{1}{2}·AR·QR=\frac{1}{2}×(6-\frac{3}{5}x)×\frac{4}{5}x$，
化简得：$y=-\frac{6}{25}x^2+\frac{12}{5}x=-\frac{6}{25}(x-5)^2+6$，
可知该函数是开口向下的二次函数，顶点坐标为(5,6)。
又
∵DE是△ABC的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BC=5$，即x的取值范围是$0≤x≤5$，
符合条件的函数图象为选项C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质；二次函数的图象与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是几何与函数结合的综合题，融合了三角形中位线、平行四边形、相似三角形、二次函数等多个知识点，解题核心是通过相似三角形用含x的代数式表示出所求三角形的底和高，得到函数解析式后结合自变量的取值范围判断图象，能较好地考查知识整合运用能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
8 [新考向传统文化][2026安徽六安校级期末]“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具.一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺(如图(1)).中国古老的天文学和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能,如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度.如图(2),将“矩”EFG的EF边水平放置,从“矩”EFG的一端E处望向一根垂直于地面放置的杆子的顶端B处,使视线通过“矩”的另一端G处,测得DE=1米,AD=4米,延长EF交AB于点C,若“矩”的边EF=1米,FG=0.5米,则这根杆子的长AB为
8 [新考向传统文化][2026安徽六安校级期末]“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具.一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺(如图(1)).中国古老的天文学和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能,如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度.如图(2),将“矩”EFG的EF边水平放置,从“矩”EFG的一端E处望向一根垂直于地面放置的杆子的顶端B处,使视线通过“矩”的另一端G处,测得DE=1米,AD=4米,延长EF交AB于点C,若“矩”的边EF=1米,FG=0.5米,则这根杆子的长AB为
3
米.答案
8.3 【解析】由题易知,$AC=DE=1$米,$CE=AD=4$米,$GF//AB$,
∴$△GFE∽△BCE$,
∴$\frac{FG}{CB}=\frac{EF}{EC}$,即$\frac{0.5}{CB}=\frac{1}{4}$,
∴$CB=2$米,
∴$AB=AC+CB=1+2=3$(米),故答案为3.
∴$△GFE∽△BCE$,
∴$\frac{FG}{CB}=\frac{EF}{EC}$,即$\frac{0.5}{CB}=\frac{1}{4}$,
∴$CB=2$米,
∴$AB=AC+CB=1+2=3$(米),故答案为3.
解析
【分析】
解题时首先结合图形分析已知条件：首先四边形ADEC为矩形，可利用矩形对边相等的性质得到AC、CE的长度；再由FG//AB可判定△GFE与△BCE相似，借助相似三角形对应边成比例求出BC的长度，最后将AC与BC求和即可得到杆子AB的高度。
【解析】
由题意得四边形ADEC是矩形，因此：
$AC=DE=1$米，$CE=AD=4$米，且$FG// AB$，
∴$∠ EGF=∠ B$，$∠ EFG=∠ ECB=90°$，
∴$△ GFE ∽ △ BCE$，
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{FG}{CB}=\frac{EF}{EC}$，
代入$FG=0.5$米，$EF=1$米，$EC=4$米，得：
$\frac{0.5}{CB}=\frac{1}{4}$，
解得$CB=2$米，
因此$AB=AC+CB=1+2=3$（米）。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的应用，矩形的性质
【点评】
本题以我国古代测量工具“矩”为命题背景，将传统文化与数学知识结合，考查了利用相似三角形解决实际测量问题的能力，能让学生感受到数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合图形分析已知条件：首先四边形ADEC为矩形，可利用矩形对边相等的性质得到AC、CE的长度；再由FG//AB可判定△GFE与△BCE相似，借助相似三角形对应边成比例求出BC的长度，最后将AC与BC求和即可得到杆子AB的高度。
【解析】
由题意得四边形ADEC是矩形，因此：
$AC=DE=1$米，$CE=AD=4$米，且$FG// AB$，
∴$∠ EGF=∠ B$，$∠ EFG=∠ ECB=90°$，
∴$△ GFE ∽ △ BCE$，
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{FG}{CB}=\frac{EF}{EC}$，
代入$FG=0.5$米，$EF=1$米，$EC=4$米，得：
$\frac{0.5}{CB}=\frac{1}{4}$，
解得$CB=2$米，
因此$AB=AC+CB=1+2=3$（米）。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的应用，矩形的性质
【点评】
本题以我国古代测量工具“矩”为命题背景，将传统文化与数学知识结合，考查了利用相似三角形解决实际测量问题的能力，能让学生感受到数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
