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1[中]如图,在平面直角坐标系中,直线$y=x$与函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点A,直线$y=x-1$与函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点B,与x轴交于点C.若点B的横坐标是点A的横坐标的2倍,则k的值为 (
A.$\frac{2}{3}$
B.2
C.1
D.$\frac{4}{9}$
D
)A.$\frac{2}{3}$
B.2
C.1
D.$\frac{4}{9}$
答案
【解析】设点 A 横坐标为 $a(a＞0)$,则点 B 横坐标为 $2a. \because$ 点 A 在直线 $y = x$ 上,点 B 在直线 $y = x-1$ 上, $\therefore$ 点 $A(a,a)$ ,点 $B(2a,2a-1)$ . 将 $(a,a)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$ 中得 $a=\frac{k}{a}, \therefore k=a^{2}$ . 将 $(2a,2a-1)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$ 中得 $2a-1=\frac{k}{2a}, \therefore k=2a(2a-1), \therefore a^{2}=2a(2a-1), \therefore a=\frac{2}{3}, \therefore k=a^{2}=\frac{4}{9}$ . 故选 D.
解析
【分析】
解题时可先利用A、B两点横坐标的倍数关系设参数，设点A的横坐标为$a(a＞0)$，则点B的横坐标为$2a$；再结合A、B分别在两条一次函数图象上，用含$a$的式子表示出两点的坐标；最后根据A、B都在反比例函数图象上，两点横纵坐标的乘积均等于$k$，建立关于$a$的方程，求解得到$a$后代入即可算出$k$的值。
【解析】
设点A的横坐标为$a(a＞0)$，由题意得点B的横坐标为$2a$。
∵点A在直线$y=x$上，
∴点A的坐标为$(a,a)$。
∵点B在直线$y=x-1$上，
∴点B的坐标为$(2a,2a-1)$。
∵A、B均在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，分别代入解析式：
将$(a,a)$代入得：$a=\frac{k}{a}$，整理得$k=a^2$①；
将$(2a,2a-1)$代入得：$2a-1=\frac{k}{2a}$，整理得$k=2a(2a-1)$②。
联立①②得$a^2=2a(2a-1)$，
∵$a＞0$，两边同时除以$a$得$a=2(2a-1)$，
解得$a=\frac{2}{3}$，代入①得$k=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，核心是利用函数图象上的点满足对应函数解析式，结合参数表示点坐标，再借助反比例函数$k$的不变性建立方程求解，熟练掌握函数图象的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
解题时可先利用A、B两点横坐标的倍数关系设参数，设点A的横坐标为$a(a＞0)$，则点B的横坐标为$2a$；再结合A、B分别在两条一次函数图象上，用含$a$的式子表示出两点的坐标；最后根据A、B都在反比例函数图象上，两点横纵坐标的乘积均等于$k$，建立关于$a$的方程，求解得到$a$后代入即可算出$k$的值。
【解析】
设点A的横坐标为$a(a＞0)$，由题意得点B的横坐标为$2a$。
∵点A在直线$y=x$上，
∴点A的坐标为$(a,a)$。
∵点B在直线$y=x-1$上，
∴点B的坐标为$(2a,2a-1)$。
∵A、B均在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，分别代入解析式：
将$(a,a)$代入得：$a=\frac{k}{a}$，整理得$k=a^2$①；
将$(2a,2a-1)$代入得：$2a-1=\frac{k}{2a}$，整理得$k=2a(2a-1)$②。
联立①②得$a^2=2a(2a-1)$，
∵$a＞0$，两边同时除以$a$得$a=2(2a-1)$，
解得$a=\frac{2}{3}$，代入①得$k=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，核心是利用函数图象上的点满足对应函数解析式，结合参数表示点坐标，再借助反比例函数$k$的不变性建立方程求解，熟练掌握函数图象的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
2[2026江苏镇江期末,中]函数$y=\frac{1}{x}$与$y=x-3$的图象的一个交点坐标为$(a,b)$，则$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值为
-3
。答案
【解析】$\because$ 函数 $y=\frac{1}{x}$ 与 $y=x-3$ 的图象的一个交点坐标为 $(a,b), \therefore b=\frac{1}{a}, b=a-3, \therefore ab=1, b-a=-3, \therefore \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}=-3$ . 故答案为 -3.
解析
【分析】
解题时首先明确：函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式。第一步，将交点$(a,b)$分别代入两个函数表达式，得到关于$a$、$b$的关系式，变形后可求出$ab$和$b-a$的值；第二步，将所求的代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$通分化简，发现化简结果刚好可用$ab$和$b-a$表示，最后整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，可简化计算过程。
【解析】
∵ 函数$y=\frac{1}{x}$与$y=x-3$的图象的一个交点坐标为$(a,b)$，
∴ 将$(a,b)$代入两个函数解析式可得：$b=\frac{1}{a}$，$b=a-3$，
对上述式子变形得：$ab=1$，$b-a=-3$，
对所求代数式通分化简：$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$，
将$ab=1$，$b-a=-3$代入上式得：$\frac{-3}{1}=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
函数交点的性质；分式化简；整体代入求值
【点评】
本题不需要求解$a$、$b$的具体数值，核心是利用函数交点的性质得到相关代数式的取值，再通过整体代入计算结果，能有效考查学生对函数性质的理解和代数式变形的能力，避免了复杂的解方程计算，解题关键是掌握整体代入的思想。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确：函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式。第一步，将交点$(a,b)$分别代入两个函数表达式，得到关于$a$、$b$的关系式，变形后可求出$ab$和$b-a$的值；第二步，将所求的代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$通分化简，发现化简结果刚好可用$ab$和$b-a$表示，最后整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，可简化计算过程。
【解析】
∵ 函数$y=\frac{1}{x}$与$y=x-3$的图象的一个交点坐标为$(a,b)$，
∴ 将$(a,b)$代入两个函数解析式可得：$b=\frac{1}{a}$，$b=a-3$，
对上述式子变形得：$ab=1$，$b-a=-3$，
对所求代数式通分化简：$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$，
将$ab=1$，$b-a=-3$代入上式得：$\frac{-3}{1}=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
函数交点的性质；分式化简；整体代入求值
【点评】
本题不需要求解$a$、$b$的具体数值，核心是利用函数交点的性质得到相关代数式的取值，再通过整体代入计算结果，能有效考查学生对函数性质的理解和代数式变形的能力，避免了复杂的解方程计算，解题关键是掌握整体代入的思想。
【难度系数】
0.6
3 新考法[2026江苏淮安期末,较难]"数形结合"是一种重要的数学思想,在过去的学习中,我们曾用函数观点看方程,即利用一次函数的图象求解二元一次方程组.类似地,我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图象交点的问题……
(1)将方程 $x+2=\frac{2}{x}$ 的解转化为 $y=x+2$ 和 $y=\frac{2}{x}$ 这两个函数图象的交点问题,结合图象可以判断这个方程有
(2)方程 $x^2+2x+4=0$ 的解也可以转化为一次函数 $y_1$ 和反比例函数 $y_2$ 的图象交点问题.请直接写出一对符合要求的表达式 $y_1=$
(3)利用"数形结合",仿照上述方法,不解方程,借助平面直角坐标系,判断方程 $|x|(x-2)=4$ 的解的个数.
(1)将方程 $x+2=\frac{2}{x}$ 的解转化为 $y=x+2$ 和 $y=\frac{2}{x}$ 这两个函数图象的交点问题,结合图象可以判断这个方程有
2
个实数解;(2)方程 $x^2+2x+4=0$ 的解也可以转化为一次函数 $y_1$ 和反比例函数 $y_2$ 的图象交点问题.请直接写出一对符合要求的表达式 $y_1=$
-x-2
,$y_2=$$\frac{4}{x}$
,结合图象可以判断方程 $x^2+2x+4=0$ 有0
个解;(3)利用"数形结合",仿照上述方法,不解方程,借助平面直角坐标系,判断方程 $|x|(x-2)=4$ 的解的个数.
答案
3.【解】(1)在同一坐标系中,$y=x+2$ 和 $y=\frac{2}{x}$ 这两个函数图象如图(1)
,有两个交点,$\therefore$ 方程 $x+2=\frac{2}{x}$ 有2个实数解.(2)$x^2+2x+4=0$,方程两边都除以 $x$,得 $x+2+\frac{4}{x}=0$,即$-x-2=\frac{4}{x}$,$\therefore$ 令 $y_1=-x-2$,$y_2=\frac{4}{x}$,则方程 $x^2+2x+4=0$ 的解转化为一次函数 $y_1=-x-2$ 和反比例函数 $y_2=\frac{4}{x}$ 的图象交点问题.如图(2)
,结合图象可以判断方程 $x^2+2x+4=0$ 有 0 个解. 也可令 $y_1=x+2$,$y_2=-\frac{4}{x}$, 同理可得方程 $x^2+2x+4=0$ 有 0 个解.(3)把 $|x|(x-2)=4$ 变形为 $x-2=\frac{4}{|x|}$, 设 $y_1=x-2$,$y_2=\frac{4}{|x|}$, 则方程 $|x|(x-2)=4$ 的解的个数可转化为函数 $y_1=x-2$,$y_2=\frac{4}{|x|}$ 的图象的交点个数. 画出两个函数的图象如图(3)
.观察图象可知,函数 $y_1=x-2$,$y_2=\frac{4}{|x|}$ 的图象的交点只有 1 个,故方程 $|x|(x-2)=4$ 只有 1 个解.关键点拨
解决此类题的关键是利用数形结合的思想,将方程的解转化为函数图象的交点问题.
解析
【分析】
(1) 方程的解的本质是同时满足等号两边表达式的未知数的值，对应到函数图象中，就是两个函数图象交点的横坐标，因此判断方程$x+2=\frac{2}{x}$的解的个数，只需统计函数$y=x+2$和$y=\frac{2}{x}$的图象交点个数即可。
(2) 要将二次方程转化为一次函数和反比例函数的交点问题，首先判断$x=0$不是原方程的解，因此可将方程两边同时除以$x$，整理为“一次整式=反比例式”的结构，再分别令等号两侧为对应的$y_1$和$y_2$，通过图象交点个数判断解的个数。
(3) 对于含绝对值的方程，首先判断$x=0$不是原方程的解，因此可两边同时除以$|x|$，将方程变形为$x-2=\frac{4}{|x|}$，分别设两侧为对应函数，画出图象后统计交点个数，即可得到原方程解的个数。
【解析】
(1) 在同一坐标系中画出$y=x+2$和$y=\frac{2}{x}$的图象，如图(1)，观察可得两个函数有2个交点，因此方程$x+2=\frac{2}{x}$有2个实数解。
(2) 对$x^2+2x+4=0$，$x=0$代入方程左边得4≠0，因此$x≠0$，方程两边同时除以$x$得$x+2+\frac{4}{x}=0$，移项得$-x-2=\frac{4}{x}$，故可令$y_1=-x-2$，$y_2=\frac{4}{x}$，方程的解对应两个函数图象交点的横坐标。画出两个函数图象如图(2)，观察可知两个函数无交点，因此方程$x^2+2x+4=0$有0个解。（也可变形为$x+2=-\frac{4}{x}$，取$y_1=x+2$，$y_2=-\frac{4}{x}$，结论一致）
(3) 对$|x|(x-2)=4$，若$x=0$，左边为0≠4，因此$x≠0$，方程两边同时除以$|x|$得$x-2=\frac{4}{|x|}$，设$y_1=x-2$，$y_2=\frac{4}{|x|}$，原方程解的个数等于两个函数图象的交点个数。画出两个函数图象如图(3)，观察可得两个函数只有1个交点，因此方程$|x|(x-2)=4$有1个解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2) $\boldsymbol{-x-2}$（或$\boldsymbol{x+2}$）；$\boldsymbol{\frac{4}{x}}$（或$\boldsymbol{-\frac{4}{x}}$）；$\boldsymbol{0}$
(3) $\boldsymbol{1}$
对应图象：
【知识点】
一次函数的图象；反比例函数的图象；函数与方程的关系
【点评】
本题核心考查数形结合思想的应用，要求学生掌握将方程解的问题转化为函数图象交点问题的转化方法，需熟练掌握常见函数的图象特征，变形时注意保证未知数的取值范围不变，避免出现无意义的变形。
【难度系数】
0.5
(1) 方程的解的本质是同时满足等号两边表达式的未知数的值，对应到函数图象中，就是两个函数图象交点的横坐标，因此判断方程$x+2=\frac{2}{x}$的解的个数，只需统计函数$y=x+2$和$y=\frac{2}{x}$的图象交点个数即可。
(2) 要将二次方程转化为一次函数和反比例函数的交点问题，首先判断$x=0$不是原方程的解，因此可将方程两边同时除以$x$，整理为“一次整式=反比例式”的结构，再分别令等号两侧为对应的$y_1$和$y_2$，通过图象交点个数判断解的个数。
(3) 对于含绝对值的方程，首先判断$x=0$不是原方程的解，因此可两边同时除以$|x|$，将方程变形为$x-2=\frac{4}{|x|}$，分别设两侧为对应函数，画出图象后统计交点个数，即可得到原方程解的个数。
【解析】
(1) 在同一坐标系中画出$y=x+2$和$y=\frac{2}{x}$的图象，如图(1)
，观察可得两个函数有2个交点，因此方程$x+2=\frac{2}{x}$有2个实数解。(2) 对$x^2+2x+4=0$，$x=0$代入方程左边得4≠0，因此$x≠0$，方程两边同时除以$x$得$x+2+\frac{4}{x}=0$，移项得$-x-2=\frac{4}{x}$，故可令$y_1=-x-2$，$y_2=\frac{4}{x}$，方程的解对应两个函数图象交点的横坐标。画出两个函数图象如图(2)
，观察可知两个函数无交点，因此方程$x^2+2x+4=0$有0个解。（也可变形为$x+2=-\frac{4}{x}$，取$y_1=x+2$，$y_2=-\frac{4}{x}$，结论一致）(3) 对$|x|(x-2)=4$，若$x=0$，左边为0≠4，因此$x≠0$，方程两边同时除以$|x|$得$x-2=\frac{4}{|x|}$，设$y_1=x-2$，$y_2=\frac{4}{|x|}$，原方程解的个数等于两个函数图象的交点个数。画出两个函数图象如图(3)
，观察可得两个函数只有1个交点，因此方程$|x|(x-2)=4$有1个解。【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2) $\boldsymbol{-x-2}$（或$\boldsymbol{x+2}$）；$\boldsymbol{\frac{4}{x}}$（或$\boldsymbol{-\frac{4}{x}}$）；$\boldsymbol{0}$
(3) $\boldsymbol{1}$
对应图象：
【知识点】
一次函数的图象；反比例函数的图象；函数与方程的关系
【点评】
本题核心考查数形结合思想的应用，要求学生掌握将方程解的问题转化为函数图象交点问题的转化方法，需熟练掌握常见函数的图象特征，变形时注意保证未知数的取值范围不变，避免出现无意义的变形。
【难度系数】
0.5
4[2026江苏苏州质检,中]如图,在平面直角坐标系中,过点A(m,0)且垂直于x轴的直线l与反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象交于点B.将直线l绕点B逆时针旋转$45°$,所得的直线经过第一、二、四象限,则m的取值范围是(
A.$m＜-2$或$m＞2$
B.$-2＜m＜0$或$m＞2$
C.$-2＜m＜2$且$m≠0$
D.$m＜-2$或$0＜m＜2$
B
)A.$m＜-2$或$m＞2$
B.$-2＜m＜0$或$m＞2$
C.$-2＜m＜2$且$m≠0$
D.$m＜-2$或$0＜m＜2$
答案
【解析】由题意得 B 点坐标为 $(m,\frac{-4}{m}). \because$ 直线 $l$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $45°, \therefore$ 所得的直线与直线 $y=-x$ 平行,设这条直线的表达式为 $y=-x+b. \because$ 这条直线经过第一、二、四象限, $\therefore b＞0. \because$ 点 $B$ 在直线 $y=-x+b$ 上, $\therefore -m+b=-\frac{4}{m}, \therefore b=m-\frac{4}{m}=\frac{m^2-4}{m}＞0$.当 A 在原点右侧时, $m＞0, \therefore m^2-4＞0, \therefore m^2＞4, \therefore m＞2$;当 A 在原点左侧时, $m＜0, \therefore m^2-4＜0, \therefore -2＜m＜0, \therefore m$ 的取值范围是 $-2＜m＜0$ 或 $m＞2$. 故选 B.
易错警示
本题易忽略对点 A 位置的分类讨论,当 A 在原点右侧时,可得 $m^2-4＞0$,当 A 在原点左侧时,可得 $m^2-4＜0$,不要漏解.
易错警示
本题易忽略对点 A 位置的分类讨论,当 A 在原点右侧时,可得 $m^2-4＞0$,当 A 在原点左侧时,可得 $m^2-4＜0$,不要漏解.
解析
【分析】
解题时先根据直线l的特征求出点B的坐标：直线l过A(m,0)且垂直x轴，因此所有点横坐标均为m，代入反比例函数解析式即可得到B点坐标。再分析旋转后直线的特征：竖直直线逆时针旋转45°后倾斜角为135°，斜率为-1，和直线y=-x平行，可设解析式为y=-x+b。接下来根据直线过第一、二、四象限可知截距b＞0，将B点坐标代入解析式得到b关于m的表达式，最后分m＞0和m＜0两种情况解分式不等式，即可得到m的取值范围，注意乘负数时不等号方向要改变。
【解析】
由题意，过点A(m,0)且垂直于x轴的直线l解析式为x=m，将x=m代入反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$，可得B点坐标为$(m,-\dfrac{4}{m})$。
∵ 直线l绕点B逆时针旋转$45°$，所得直线与$y=-x$平行，
∴ 设旋转后直线的表达式为$y=-x+b$。
∵ 该直线经过第一、二、四象限，
∴ $b＞0$。
将点B坐标代入$y=-x+b$得：$-m + b = -\dfrac{4}{m}$，
整理得$b = \dfrac{m^2 - 4}{m}$，即$\dfrac{m^2 - 4}{m} ＞ 0$，分情况讨论：
① 当$m＞0$时，不等式两边同乘m得$m^2 - 4 ＞ 0$，解得$m＞2$；
② 当$m＜0$时，不等式两边同乘m不等号变向，得$m^2 - 4 ＜ 0$，解得$-2＜m＜0$。
综上，m的取值范围是$-2＜m＜0$或$m＞2$。
【答案】B
【知识点】
反比例函数的坐标特征；一次函数图象性质；旋转的性质
【点评】
本题综合考查反比例函数、一次函数与旋转的知识，解题关键是根据旋转角度确定旋转后直线的解析式形式，结合一次函数图象的象限特征得到不等关系，解题时需注意对m的正负分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先根据直线l的特征求出点B的坐标：直线l过A(m,0)且垂直x轴，因此所有点横坐标均为m，代入反比例函数解析式即可得到B点坐标。再分析旋转后直线的特征：竖直直线逆时针旋转45°后倾斜角为135°，斜率为-1，和直线y=-x平行，可设解析式为y=-x+b。接下来根据直线过第一、二、四象限可知截距b＞0，将B点坐标代入解析式得到b关于m的表达式，最后分m＞0和m＜0两种情况解分式不等式，即可得到m的取值范围，注意乘负数时不等号方向要改变。
【解析】
由题意，过点A(m,0)且垂直于x轴的直线l解析式为x=m，将x=m代入反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$，可得B点坐标为$(m,-\dfrac{4}{m})$。
∵ 直线l绕点B逆时针旋转$45°$，所得直线与$y=-x$平行，
∴ 设旋转后直线的表达式为$y=-x+b$。
∵ 该直线经过第一、二、四象限，
∴ $b＞0$。
将点B坐标代入$y=-x+b$得：$-m + b = -\dfrac{4}{m}$，
整理得$b = \dfrac{m^2 - 4}{m}$，即$\dfrac{m^2 - 4}{m} ＞ 0$，分情况讨论：
① 当$m＞0$时，不等式两边同乘m得$m^2 - 4 ＞ 0$，解得$m＞2$；
② 当$m＜0$时，不等式两边同乘m不等号变向，得$m^2 - 4 ＜ 0$，解得$-2＜m＜0$。
综上，m的取值范围是$-2＜m＜0$或$m＞2$。
【答案】B
【知识点】
反比例函数的坐标特征；一次函数图象性质；旋转的性质
【点评】
本题综合考查反比例函数、一次函数与旋转的知识，解题关键是根据旋转角度确定旋转后直线的解析式形式，结合一次函数图象的象限特征得到不等关系，解题时需注意对m的正负分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5[2026浙江杭州期末,较难]已知在平面直角坐标系中,正比例函数$y=k_1x(k_1＞0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2＞0)$的图象交于两点,其中一个交点的横坐标为1.点$A(t,p)$和点$B(t+2,q)$在函数$y=k_1x$的图象上($t≠0$且$t≠-2$),点$C(t,m)$和点$D(t+2,n)$在函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象上.当$p-m$与$q-n$的积为负数时,$t$的取值范围是(
A.$-\frac{7}{2}＜t＜-3$或$\frac{1}{2}＜t＜1$
B.$-\frac{7}{2}＜t＜-3$或$1＜t＜\frac{3}{2}$
C.$-3＜t＜-2$或$-1＜t＜0$
D.$-3＜t＜-2$或$0＜t＜1$
D
)A.$-\frac{7}{2}＜t＜-3$或$\frac{1}{2}＜t＜1$
B.$-\frac{7}{2}＜t＜-3$或$1＜t＜\frac{3}{2}$
C.$-3＜t＜-2$或$-1＜t＜0$
D.$-3＜t＜-2$或$0＜t＜1$
答案
【解析】$\because y=k_1x(k_1＞0)$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2＞0)$ 的图象交于两点,其中有一个交点的横坐标为 $1, \therefore k_1=k_2$. 令 $k_1=k_2=k(k＞0)$, 则正比例函数为 $y=kx$, 反比例函数为 $y=\frac{k}{x}$. 将点 $A(t,p)$ 和点 $B(t+2,q)$ 代入 $y=kx$, 得 $\begin{cases}p=kt, \\ q=k(t+2) ;\end{cases}$ 将点 $C(t,m)$ 和点 $D(t+2,n)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$, 得 $\begin{cases}m=\frac{k}{t}, \\ n=\frac{k}{t+2},\end{cases} \therefore p-m=kt-\frac{k}{t}=k(t-\frac{1}{t}), q-n=k(t+2)-\frac{k}{t+2}=k(t+2-\frac{1}{t+2}), \therefore (p-m)(q-n)=k^2(t-\frac{1}{t})(t+2-\frac{1}{t+2})＜0, \therefore (t-\frac{1}{t})(t+2-\frac{1}{t+2})＜0. \because (t-\frac{1}{t})(t+2-\frac{1}{t+2})=\frac{t^2-1}{t} · \frac{(t+2)^2-1}{t+2}=\frac{(t+1)^2(t-1)(t+3)}{t(t+2)}＜0, \therefore \frac{(t-1)(t+3)}{t(t+2)}＜0, \therefore t(t-1)(t+2)(t+3)＜0$.
①当 $t＜-3$ 时, $t(t-1)(t+2)(t+3)＞0, \therefore t＜-3$ 不符合要求;②当 $-3＜t＜-2$ 时, $t(t-1)(t+2)(t+3)＜0, \therefore -3＜t＜-2$ 符合要求;③当 $-2＜t＜0$ 时, $t(t-1)(t+2)(t+3)＞0, \therefore -2＜t＜0$ 不符合要求;④当 $0＜t＜1$ 时, $t(t-1)(t+2)(t+3)＜0, \therefore 0＜t＜1$ 符合要求;⑤当 $t＞1$ 时, $t(t-1)(t+2)(t+3)＞0, \therefore t＞1$ 不符合要求.
综上, $t$ 的取值范围是 $-3＜t＜-2$ 或 $0＜t＜1$. 故选 D.
①当 $t＜-3$ 时, $t(t-1)(t+2)(t+3)＞0, \therefore t＜-3$ 不符合要求;②当 $-3＜t＜-2$ 时, $t(t-1)(t+2)(t+3)＜0, \therefore -3＜t＜-2$ 符合要求;③当 $-2＜t＜0$ 时, $t(t-1)(t+2)(t+3)＞0, \therefore -2＜t＜0$ 不符合要求;④当 $0＜t＜1$ 时, $t(t-1)(t+2)(t+3)＜0, \therefore 0＜t＜1$ 符合要求;⑤当 $t＞1$ 时, $t(t-1)(t+2)(t+3)＞0, \therefore t＞1$ 不符合要求.
综上, $t$ 的取值范围是 $-3＜t＜-2$ 或 $0＜t＜1$. 故选 D.
解析
【分析】
解题时首先利用两个函数交点的横坐标为1，可推出正比例函数和反比例函数的比例系数相等，即$k_1=k_2$，简化后续计算；接着将四个点分别代入对应的函数解析式，用含t和比例系数k的式子表示出p、q、m、n；再计算$p-m$和$q-n$，结合两者乘积为负数的条件，消去恒为正的$k^2$，得到关于t的不等式；最后化简不等式，通过分区间讨论判断符号，即可求出t的取值范围。
【解析】
∵ 正比例函数$y=k_1x(k_1＞0)$与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2＞0)$的一个交点横坐标为1，
∴ 当x=1时，两函数值相等，即$k_1×1=\frac{k_2}{1}$，得$k_1=k_2$，令$k_1=k_2=k(k＞0)$，
则正比例函数为$y=kx$，反比例函数为$y=\frac{k}{x}$。
将A(t,p)、B(t+2,q)代入$y=kx$，得：$\begin{cases}p=kt \\ q=k(t+2)\end{cases}$
将C(t,m)、D(t+2,n)代入$y=\frac{k}{x}$，得：$\begin{cases}m=\frac{k}{t} \\ n=\frac{k}{t+2}\end{cases}$
∴ $p-m=kt-\frac{k}{t}=k(t-\frac{1}{t})$，$q-n=k(t+2)-\frac{k}{t+2}=k(t+2-\frac{1}{t+2})$
由题意$(p-m)(q-n)＜0$，代入得：
$k^2(t-\frac{1}{t})(t+2-\frac{1}{t+2})＜0$
∵ $k＞0$，
∴ $k^2＞0$，不等式两边除以$k^2$不等号方向不变，得：
$(t-\frac{1}{t})(t+2-\frac{1}{t+2})＜0$
化简左边：
$\frac{t^2-1}{t}·\frac{(t+2)^2-1}{t+2}=\frac{(t-1)(t+1)}{t}·\frac{(t+3)(t+1)}{t+2}=\frac{(t+1)^2(t-1)(t+3)}{t(t+2)}＜0$
∵ $(t+1)^2≥0$，且$t≠-1$时分母不为0，$(t+1)^2＞0$，约去后得：
$\frac{(t-1)(t+3)}{t(t+2)}＜0$，即$t(t-1)(t+2)(t+3)＜0$（$t≠0,t≠-2,t≠-3,t≠1$）
接下来分区间讨论符号：
① 当$t＜-3$时，$t、t+3、t+2、t-1$均为负，四个负数乘积为正，不符合要求；
② 当$-3＜t＜-2$时，$t+3＞0$，其余$t、t+2、t-1$为负，1正3负乘积为负，符合要求；
③ 当$-2＜t＜0$时，$t+3＞0、t+2＞0$，其余$t、t-1$为负，2正2负乘积为正，不符合要求；
④ 当$0＜t＜1$时，$t+3＞0、t+2＞0、t＞0$，仅$t-1$为负，3正1负乘积为负，符合要求；
⑤ 当$t＞1$时，四个因式均为正，乘积为正，不符合要求。
综上，t的取值范围是$-3＜t＜-2$或$0＜t＜1$。
【答案】
D
【知识点】
1. 正反比例函数交点性质
2. 函数图象上点的坐标特征
3. 不等式求解
【点评】
本题综合考查正比例函数、反比例函数的性质与不等式的求解，解题的关键是通过交点坐标得到两个函数比例系数的关系，再通过代数化简将问题转化为不等式求解，能较好地考查学生的代数运算能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.3
解题时首先利用两个函数交点的横坐标为1，可推出正比例函数和反比例函数的比例系数相等，即$k_1=k_2$，简化后续计算；接着将四个点分别代入对应的函数解析式，用含t和比例系数k的式子表示出p、q、m、n；再计算$p-m$和$q-n$，结合两者乘积为负数的条件，消去恒为正的$k^2$，得到关于t的不等式；最后化简不等式，通过分区间讨论判断符号，即可求出t的取值范围。
【解析】
∵ 正比例函数$y=k_1x(k_1＞0)$与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2＞0)$的一个交点横坐标为1，
∴ 当x=1时，两函数值相等，即$k_1×1=\frac{k_2}{1}$，得$k_1=k_2$，令$k_1=k_2=k(k＞0)$，
则正比例函数为$y=kx$，反比例函数为$y=\frac{k}{x}$。
将A(t,p)、B(t+2,q)代入$y=kx$，得：$\begin{cases}p=kt \\ q=k(t+2)\end{cases}$
将C(t,m)、D(t+2,n)代入$y=\frac{k}{x}$，得：$\begin{cases}m=\frac{k}{t} \\ n=\frac{k}{t+2}\end{cases}$
∴ $p-m=kt-\frac{k}{t}=k(t-\frac{1}{t})$，$q-n=k(t+2)-\frac{k}{t+2}=k(t+2-\frac{1}{t+2})$
由题意$(p-m)(q-n)＜0$，代入得：
$k^2(t-\frac{1}{t})(t+2-\frac{1}{t+2})＜0$
∵ $k＞0$，
∴ $k^2＞0$，不等式两边除以$k^2$不等号方向不变，得：
$(t-\frac{1}{t})(t+2-\frac{1}{t+2})＜0$
化简左边：
$\frac{t^2-1}{t}·\frac{(t+2)^2-1}{t+2}=\frac{(t-1)(t+1)}{t}·\frac{(t+3)(t+1)}{t+2}=\frac{(t+1)^2(t-1)(t+3)}{t(t+2)}＜0$
∵ $(t+1)^2≥0$，且$t≠-1$时分母不为0，$(t+1)^2＞0$，约去后得：
$\frac{(t-1)(t+3)}{t(t+2)}＜0$，即$t(t-1)(t+2)(t+3)＜0$（$t≠0,t≠-2,t≠-3,t≠1$）
接下来分区间讨论符号：
① 当$t＜-3$时，$t、t+3、t+2、t-1$均为负，四个负数乘积为正，不符合要求；
② 当$-3＜t＜-2$时，$t+3＞0$，其余$t、t+2、t-1$为负，1正3负乘积为负，符合要求；
③ 当$-2＜t＜0$时，$t+3＞0、t+2＞0$，其余$t、t-1$为负，2正2负乘积为正，不符合要求；
④ 当$0＜t＜1$时，$t+3＞0、t+2＞0、t＞0$，仅$t-1$为负，3正1负乘积为负，符合要求；
⑤ 当$t＞1$时，四个因式均为正，乘积为正，不符合要求。
综上，t的取值范围是$-3＜t＜-2$或$0＜t＜1$。
【答案】
D
【知识点】
1. 正反比例函数交点性质
2. 函数图象上点的坐标特征
3. 不等式求解
【点评】
本题综合考查正比例函数、反比例函数的性质与不等式的求解，解题的关键是通过交点坐标得到两个函数比例系数的关系，再通过代数化简将问题转化为不等式求解，能较好地考查学生的代数运算能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.3
