专题1 分数乘法的应用
在分析应用题的数量关系时，要找准单位“1”，再从已知的信息出发，求出相关联的量，逐步推出所求的答案。
1. 某种商品先降价$\frac{1}{5}$后又涨价$\frac{1}{5}$，该商品现在的价格是原价的()。
2. 某书店新购进一批每本售价相同的图书，其中科技类图书占$\frac{3}{5}$，购进时需支付售价的$\frac{5}{6}$；其余是文学类图书，购进时需支付售价的$\frac{7}{8}$。这批图书全部售出后，该书店将获利总价的()。
A. $\frac{3}{20}$ B. $\frac{9}{20}$ C. $\frac{3}{10}$ D. $\frac{13}{20}$

1. $\frac{24}{25}$
【解析】降价$\frac{1}{5}$是把该商品的原价看作单位“1”，而涨价$\frac{1}{5}$是把降价后的价格看作单位“1”，$(1-\frac{1}{5})×(1+\frac{1}{5})=\frac{24}{25}$。
2. A
【解析】把书的总价看作单位“1”，则科技类图书的获利占总价的$\frac{3}{5}×(1-\frac{5}{6})=\frac{1}{10}$；文学类图书的数量占图书总数量的$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$，则文学类图书的获利占总价的$\frac{2}{5}×(1-\frac{7}{8})=\frac{1}{20}$，再把二者相加，$\frac{1}{10}+\frac{1}{20}=\frac{3}{20}$。

3. 一个乒乓球从距离地面1.8 m的地方垂直落下，接触地面后会多次反弹。如果每一次反弹的最大高度比前一次下落高度低$\frac{1}{3}$，那么第几次触地反弹后的最大高度开始低于0.6 m？

3. 第一次:$1.8×(1-\frac{1}{3})=1.2(\mathrm{m})$
第二次:$1.2×(1-\frac{1}{3})=0.8(\mathrm{m})$
第三次:$0.8×(1-\frac{1}{3})=\frac{8}{15}(\mathrm{m})$
$\frac{8}{15}＜0.6$，第三次触地反弹后的最大高度开始低于0.6 m。
【解析】乒乓球第一次触地反弹后能达到的最大高度是$1.8×(1-\frac{1}{3})=1.2(\mathrm{m})$；同理可求出第二次、第三次……触地反弹后能到达的最大高度，直到结果小于0.6 m即可。

4. 乐天电影院放映一部电影。原来电影票20元一张，降价后观众增加了一倍，收入增加了$\frac{1}{5}$。现在电影票多少元一张？

4. 假设降价前有10人看电影。
$20×10×(1+\frac{1}{5})=240(\mathrm{元})$
$240÷(10×2)=12(\mathrm{元})$
【解析】题中没有给出观众的数量，可以假设看电影的人数为一个具体的数，先算出降价后电影院的收入，再求出降价后电影票的单价。假设降价前有10人看电影，则收入为$10×20=200$(元)。降价后观众增加了一倍，即降价后有$10×2=20$(人)看电影。根据收入增加了$\frac{1}{5}$，可求出降价后的收入，用降价后的收入除以降价后的观众人数，就可以求出现在电影票的单价。

专题2 用转化法巧算分数乘法
分数乘法的巧算，常常需要对算式进行适当变化，从而将问题转化，找出巧算的方法，使计算简便。
5. $\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+\frac{1}{9×11}+\frac{1}{11×13}$
6. $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{7}{8}+\frac{15}{16}+\frac{31}{32}+\frac{63}{64}+\frac{127}{128}+\frac{255}{256}$
7. $\frac{5}{6}-\frac{7}{12}+\frac{9}{20}-\frac{11}{30}+\frac{13}{42}-\frac{15}{56}+\frac{17}{72}-\frac{19}{90}+\frac{21}{110}-\frac{23}{132}+\frac{25}{156}$
8. $1\frac{1}{3}-\frac{7}{12}+\frac{9}{20}-\frac{11}{30}+\frac{13}{42}-\frac{15}{56}+\frac{17}{72}-\frac{19}{90}$
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5. $\frac{6}{13}$
【解析】$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+\frac{1}{9×11}+\frac{1}{11×13}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{13})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{13})=\frac{1}{2}×\frac{12}{13}=\frac{6}{13}$
6. $7\frac{1}{256}$
【解析】$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{7}{8}+\frac{15}{16}+\frac{31}{32}+\frac{63}{64}+\frac{127}{128}+\frac{255}{256}=(1-\frac{1}{2})+(1-\frac{1}{4})+(1-\frac{1}{8})+(1-\frac{1}{16})+(1-\frac{1}{32})+(1-\frac{1}{64})+(1-\frac{1}{128})+(1-\frac{1}{256})=8-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256})=8-(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}+\frac{1}{64}-\frac{1}{128}+\frac{1}{128}-\frac{1}{256})=8-(1-\frac{1}{256})=7\frac{1}{256}$
7. $\frac{15}{26}$
【解析】$\frac{5}{6}-\frac{7}{12}+\frac{9}{20}-\frac{11}{30}+\frac{13}{42}-\frac{15}{56}+\frac{17}{72}-\frac{19}{90}+\frac{21}{110}-\frac{23}{132}+\frac{25}{156}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})-(\frac{1}{5}+\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}+\frac{1}{7})-(\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}+\frac{1}{9})-(\frac{1}{9}+\frac{1}{10})+(\frac{1}{10}+\frac{1}{11})-(\frac{1}{11}+\frac{1}{12})+(\frac{1}{12}+\frac{1}{13})=\frac{1}{2}+\frac{1}{13}=\frac{15}{26}$
8. $\frac{9}{10}$
【解析】$1\frac{1}{3}-\frac{7}{12}+\frac{9}{20}-\frac{11}{30}+\frac{13}{42}-\frac{15}{56}+\frac{17}{72}-\frac{19}{90}=(1+\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})-(\frac{1}{5}+\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}+\frac{1}{7})-(\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}+\frac{1}{9})-(\frac{1}{9}+\frac{1}{10})=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$