1[中]如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x的值为18，则第10次输出的结果为（）


A.2
B.3
C.6
D.9

【解析】当 $x=18$ 时,$\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}×18=9$,所以第 1 次输出的结果是 9; 当 $x=9$ 时,$x+3=9+3=12$,所以第 2 次输出的结果是 12; 当 $x=12$ 时,$\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}×12=6$,所以第 3 次输出的结果是 6; 当 $x=6$ 时,$\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}×6=3$,所以第 4 次输出的结果是 3; 当 $x=3$ 时,$x+3=3+3=6$,所以第 5 次输出的结果是 6; 当 $x=6$ 时,$\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}×6=3$,所以第 6 次输出的结果是 3;…,所以第 10 次输出的结果为 3,故选 B.

2[2025 浙江杭州期中,较难]若$(x^2+x+1)^3=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+a_6x^6$,则$a_2+a_4+a_6$的值为（）

A.14
B.27
C.26
D.13

【解析】令 $x=0$,则 $a_0=(0+0+1)^3=1$,令 $x=1$,则 $a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=(1+1+1)^3=27$,所以 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=27-1=26$,① 令 $x=-1$,则 $a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+a_6=(1-1+1)^3=1$,所以 $-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+a_6=1-1=0$,② ①+②,得 $2a_2+2a_4+2a_6=26$,所以 $a_2+a_4+a_6=13$,故选 D.

3[2026福建厦门期末,较难]某平台外卖员的计薪规则如下:收入=底薪+每单提成×(当月总送单量-基本单量),完成基本单量才享有底薪,超过的部分按提成计薪,若未完成则按比例扣底薪.某外卖员月送单量超过基本单量后,该月总收入可表示为$(6x-120)$元(其中$x$为该月总送单量).若该外卖平台的基本单量是300单,则下列说法正确的是 ()

A.该平台外卖员的底薪为1800元
B.外卖员当月送单量为400单时,收入为2380元
C.超过基本单量后,每单提成为6元
D.外卖员当月送单量为200单时,收入为1680元

【解析】设底薪为 $a$ 元,每单提成为 $b$ 元,基本单量为 $m$ 单,则该月总收入为 $[a+b(x-m)]$ 元. 将 $m=300$ 代入 $a+b(x-m)$,可得 $a+b(x-300)=a+bx-300b$. 又因为月总收入为 $(6x-120)$ 元,所以 $6x-120=bx+a-300b$,所以 $b=6,a-300b=-120$,所以超过基本单量后,每单的提成为 6 元,故选项 C 正确. 将 $b=6$ 代入 $a-300b=-120$,得 $a=1\ 680$,所以该平台外卖员的底薪为 1 680 元,故选项 A 错误. 当 $x=400$ 时,总收入为 $6×400-120=2\ 280$(元),故选项 B 错误. 当 $x=200$ 时,未完成基本单量,此时总收入为 $1\ 680×\frac{200}{300}=1\ 120$(元),故选项 D 错误. 故选 C.

4[2026 陕西西安质检,中]对于有理数$x,y$,我们给出如下定义:若$[x,y]$满足$x-y=4xy-3$,则称$[x,y]$为“完美数对”.若$[-a,a]$是“完美数对”,则$8a^2-4a-3$的值为.

【解析】根据题意可知,$-a-a=4×(-a)×a-3$,整理得 $4a^2-2a=-3$,所以 $8a^2-4a-3=2(4a^2-2a)-3=2×(-3)-3=-9$. 故答案为-9.

5[中]有理数$a,b,c$均不为0，且$a+b+c=0$，设$x=\dfrac{|a|}{b+c}+\dfrac{|b|}{c+a}+\dfrac{|c|}{a+b}$，则代数式$x^{2023}+2023x-2023$的值为。

【解析】因为有理数 $a,b,c$ 均不为 0,且 $a+b+c=0$,所以 $a,b,c$ 不能同为正数或同为负数,故分以下情况讨论:①三个数中有两个正数,一个负数,设 $a＞0,b＞0,c＜0$. 因为 $a+b+c=0$,所以 $b+c=-a,c+a=-b,a+b=-c$,所以 $x=\frac{|a|}{-a}+\frac{|b|}{-b}+\frac{|c|}{-c}=-1-1+1=-1$. ②三个数中有两个负数,一个正数,设 $a＞0,b＜0,c＜0$. 因为 $a+b+c=0$,所以 $b+c=-a,c+a=-b,a+b=-c$,所以 $x=\frac{|a|}{-a}+\frac{|b|}{-b}+\frac{|c|}{-c}=-1+1+1=1$. 当 $x=-1$ 时,原式 $=(-1)^{2023}+2023×(-1)-2023=-1-2023-2023=-4\ 047$; 当 $x=1$ 时,原式 $=1^{2023}+2023×1-2023=1+2023-2023=1$. 故答案为 1 或-4 047.

6[2026浙江温州期中,较难]有三个互不相等的有理数,既可以表示为$1,a+b,a$,又可以表示为$4,\frac{a}{b},b$,则$(b-a)^3$的值为.

【解析】由题意得,$a+b$ 与 $a$ 中有一个是 $4$,$\frac{a}{b}$ 与 $b$ 中有一个是 1. ①当 $a+b=4$,$\frac{a}{b}=1$ 时,$a=b=2$,此时三个有理数分别为 1,4,2,满足题意,所以 $(b-a)^3=(2-2)^3=0$; ②当 $a+b=4,b=1$ 时,$a=3$,此时三个有理数分别为 1,4,3,满足题意,所以 $(b-a)^3=(1-3)^3=-8$; ③当 $a=4,b=1$ 时,$\frac{a}{b}=4$,此时 4 与 $\frac{a}{b}$ 相等,不满足题意,舍去; ④当 $a=4$,$\frac{a}{b}=1$ 时,$b=4$,此时 4 与 $b$ 相等,不满足题意,舍去. 综上所述,$(b-a)^3$ 的值为 0 或-8. 故答案为 0 或-8.

7[2026浙江金华期中,中]某商场销售一款西装和领带,西装每套定价200元,领带每条定价40元.商场现开展促销活动,向顾客提供以下两种优惠方案.
方案一:买一套西装送一条领带；
方案二:西装和领带都按定价的90%付款.
现某顾客要到该商场购买西装20套,领带x条(x＞20).
(1)若该顾客按方案一购买,需付款元(用含x的代数式表示)；若该顾客按方案二购买,需付款元(用含x的代数式表示).
(2)当x=30时,通过计算说明按哪种方案购买较为合算.
(3)当x=30时,你能给出最省钱的购买方案吗?写出你的购买方案并求出所需费用.
刷素养……………………走向重高

【解】(1)按方案一购买,需付款 $200×20+40(x-20)=(3\ 200+40x)$ 元,按方案二购买,需付款 $200×20×90\%+40×90\%x=(3\ 600+36x)$ 元,故答案为 $(3\ 200+40x)$,$(3\ 600+36x)$.
(2)当 $x=30$ 时,方案一需付款 $3\ 200+40×30=4\ 400$(元),方案二需付款 $3\ 600+36×30=4\ 680$(元). 因为 $4\ 400＜4\ 680$,所以当 $x=30$ 时,按方案一购买较为合算.
(3)最省钱的购买方案是先按方案一购买 20 套西装,再按方案二购买 $30-20=10$(条)领带,所需费用为 $200×20+40×10×90\%=4\ 360$(元).
答:当 $x=30$ 时,最省钱的购买方案是先按方案一购买 20 套西装,再按方案二购买 10 条领带,所需费用为 4 360 元.

8 核心素养运算能力[较难]观察按下列规则排成的一列数：$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{1},\frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1},\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1},\frac{1}{5},\frac{2}{4},\frac{3}{3},\frac{4}{2},\frac{5}{1},\frac{1}{6}……$
(1)容易发现，从左起第22个数是$\frac{1}{7}$，则它前面的那个数是，后面的那个数是。
(2)从左起第$m$个数记为$F(m)$，例如$F(1)=\frac{1}{1},F(6)=\frac{3}{1}$，则$F(40)$表示的数是，$F(2022)$表示的数是。
(3)在(2)的条件下，当$F(m)=\frac{2}{2022}$时，$m$的值是。

【解析】(1)因为 $\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{1},\frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1},\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1},\frac{1}{5},\frac{2}{4},\frac{3}{3},\frac{4}{2},\frac{5}{1},\frac{1}{6},…$,所以第一组 $\frac{1}{1}$,第二组 $\frac{1}{2},\frac{2}{1}$,第三组 $\frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1}$,第四组 $\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1}$,第五组 $\frac{1}{5},\frac{2}{4},\frac{3}{3},\frac{4}{2},\frac{5}{1},…$,所以第一组 1 个数,第二组 2 个数,第三组 3 个数,…,第 $n$ 组 $n$ 个数. 因为第 22 个数是 $\frac{1}{7}$,所以它前面的那个数是 $\frac{6}{1}$,后面的那个数是 $\frac{2}{6}$. 故答案为 $\frac{6}{1},\frac{2}{6}$.
(2)因为前 $n$ 组一共有 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个数,所以前 8 组有 36 个数,所以 $F(40)$ 是第 9 组第 4 个数,所以 $F(40)=\frac{4}{6}$. 因为 $\frac{63×64}{2}＜2\ 022＜\frac{64×65}{2}$,所以 $F(2\ 022)$ 是第 64 组第 6 个数,所以 $F(2\ 022)=\frac{6}{59}$. 故答案为 $\frac{4}{6},\frac{6}{59}$.
(3)因为 $F(m)=\frac{2}{2022}$,所以 $m$ 是第 2023 组第 2 个数,所以 $m=\frac{2022×2023}{2}+2=2\ 045\ 255$.