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17. 如图3-1-75,在△ABC中,AB = AC,点D,E分别在AC,AB边上,且BD = BC,AD = DE = BE,试求∠A的度数. 
图3-1-75
图3-1-75答案
17. 提示:设 ∠EBD = α.
由 DE = BE 得 ∠EDB = ∠EBD = α.
由 AD = DE 得 ∠A = ∠AED
= ∠EBD + ∠EDB = 2∠EBD = 2α.
同理由 BD = BC 得 ∠C = ∠BDC = 3α.
由 AB = AC 得 ∠ABC = ∠C = 3α.
由三角形内角和得 8α = 180°, 即 α = 22.5°.
∴ ∠A = 2α = 45°.
由 DE = BE 得 ∠EDB = ∠EBD = α.
由 AD = DE 得 ∠A = ∠AED
= ∠EBD + ∠EDB = 2∠EBD = 2α.
同理由 BD = BC 得 ∠C = ∠BDC = 3α.
由 AB = AC 得 ∠ABC = ∠C = 3α.
由三角形内角和得 8α = 180°, 即 α = 22.5°.
∴ ∠A = 2α = 45°.
18. 如图 3 - 1 - 76, 在 $△ ABC$ 中, $AB = AC$, 点 $D$ 在 $BA$ 的延长线上, 点 $E$ 在 $BC$ 边上, $DE = CD, EF // AC$, 交 $AB$ 于点 $F$.
(1) 求证: $∠ ACD = ∠ BDE$.
图 3 - 1 - 76
(2) 求证: $EF = AD$.
(1) 求证: $∠ ACD = ∠ BDE$.
图 3 - 1 - 76
(2) 求证: $EF = AD$.
答案
18. 提示:(1) 由 AB = AC ,DE = CD 得
∠B = ∠ACB , ∠DEC = ∠DCE.
∵ ∠DEC = ∠BDE + ∠B，
∴ ∠BDE = ∠DCE − ∠ACB = ∠ACD.
(2) 由 EF // AC 可得 ∠DAC = ∠DFE，
于是由 AAS 判定 △DCA ≌ △EDF.
∴ EF = AD.
∠B = ∠ACB , ∠DEC = ∠DCE.
∵ ∠DEC = ∠BDE + ∠B，
∴ ∠BDE = ∠DCE − ∠ACB = ∠ACD.
(2) 由 EF // AC 可得 ∠DAC = ∠DFE，
于是由 AAS 判定 △DCA ≌ △EDF.
∴ EF = AD.
19. 如图3-1-77，在$△ ABC$中，AB = AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE ⊥ BC，EF ⊥ AC，且DE = DF。若$∠ ADE = 140°$，求$∠ EDF$的度数。
答案
19. 解:
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C.
又
∵ DE ⊥ BC , EF ⊥ AC，
∴ ∠C + ∠CEF = ∠DEF + ∠CEF = 90°.
∴ ∠C = ∠DEF = ∠B.
∵ ∠ADE = ∠B + ∠BED，
∴ ∠DEF = ∠B = 140°−90° = 50°.
∵ DE = DF，
∴ ∠DEF = ∠DFE.
∴ ∠EDF = 180°−∠DEF −∠DFE
= 180°−50°−50° = 80°.
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C.
又
∵ DE ⊥ BC , EF ⊥ AC，
∴ ∠C + ∠CEF = ∠DEF + ∠CEF = 90°.
∴ ∠C = ∠DEF = ∠B.
∵ ∠ADE = ∠B + ∠BED，
∴ ∠DEF = ∠B = 140°−90° = 50°.
∵ DE = DF，
∴ ∠DEF = ∠DFE.
∴ ∠EDF = 180°−∠DEF −∠DFE
= 180°−50°−50° = 80°.
