1[2026江苏苏州调研,中]用一副三角板(其中一个内角分别为$45°$与$60°$)不能画出的角度是（）

A.$15°$
B.$75°$
C.$105°$
D.$55°$

D 【解析】因为 15° = 45° - 30°,75° = 45° + 30°,105° = 45° + 60°,所以 15°,75°,105°的角可以用一副三角板画出,而 55°的角不能画出. 故选 D.

2[中]已知∠AOB=60°,自∠AOB的顶点O引射线OC,若∠AOC:∠AOB=1:4,那么∠BOC的度数是 ()

A.48°
B.45°
C.48°或75°
D.45°或75°

D 【解析】如图(1),当 OC 在∠AOB 内时,因为∠AOC:∠AOB = 1:4,∠AOB = 60°,所以∠AOC = 15°,所以∠BOC = 45°.
如图(2),当 OC 在∠AOB 外时,因为∠AOC:∠AOB = 1:4,∠AOB=60°,所以∠AOC = 15°,所以∠BOC = 75°.
综上,∠BOC = 45°或 75°. 故选 D.

3[2025江苏南京期末,中]如图所示,钟表上显示的时间是10时10分,此时,时针和分针的夹角的度数是 ()

A.$100°$
B.$105°$
C.$115°$
D.$120°$

(第3题图)
(第4题图)

C 【解析】因为时针在钟面上每分钟转0.5°,分针每分钟转 6°,所以钟表上 10 时 10 分时,时针与刻度 12 的夹角为 60°-0.5°×10=55°,分针与刻度 12 的夹角为 6°×10=60°,所以 10 时 10 分时分针与时针的夹角为55°+60°=115°. 故选 C.

4[2025福建泉州期末,较难]如图,将三个大小不同的正方形的一个顶点重合,则∠α,∠β,∠γ三个角之间的数量关系为 ()

A.$∠α+∠β+∠γ=90°$
B.$∠α+∠β−∠γ=90°$
C.$∠α−∠β+∠γ=90°$
D.$∠α+2∠β−∠γ=90°$

C 【解析】如图,由题意得,
∠α + ∠1 = ∠1 + ∠β + ∠2 = ∠2 + ∠γ = 90°, 所以 ∠1 = 90° - ∠α,∠2 = 90° - ∠γ. 因为∠1 + ∠β + ∠2 = 90°,所以 90° - ∠α + ∠β + 90° - ∠γ = 90°, 整理得∠α - ∠β + ∠γ = 90°. 故选 C.

5[中]在同一平面内，∠AOB=80°, ∠AOC=10°, ∠COD=40°, ∠COD至少有一边在∠AOB内部,则∠BOD的度数为.

30°或110°或50° 【解析】当 OC,OD 都在∠AOB 的内部时,如图(1),∠BOD = ∠AOB - ∠AOC - ∠COD = 30°; 当 OC 在∠AOB 的内部,OD 在∠AOB 的外部时,如图(2),∠BOD = ∠AOB + ∠AOD = ∠AOB + ∠COD - ∠AOC = 110°; 当 OC 在∠AOB 的外部,OD 在∠AOB 的内部时,如图(3),∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = ∠AOB - (∠COD - ∠AOC) = ∠AOB - ∠COD + ∠AOC = 80° - 40° + 10° = 50°.
故答案为 30°或 110°或 50°.

6[较难]如图,已知∠A₁OA₁₁是一个平角,且∠A₃OA₂ - ∠A₂OA₁ = ∠A₄OA₃ - ∠A₃OA₂ = ∠A₅OA₄ - ∠A₄OA₃ = … = ∠A₁₁OA₁₀ - ∠A₁₀OA₉ = 3°,则∠A₁₀OA₁₁的度数为.

31.5° 【解析】由题可得,平角∠A₁OA₁₁被分成 10 个小角. 设∠A₂OA₁ = α,则∠A₃OA₂ = α+3°,∠A₄OA₃ = α+6°,…,∠A₁₀OA₁₁ = α+9×3°. 因为 α+α+3°+α+6°+…+α+9×3° = 180°,解得 α = 4.5°,所以∠A₁₀OA₁₁ = 4.5°+27° = 31.5°. 故答案为 31.5°.

7[较难](1)已知射线OA,从点O处再引两条射线OB,OC,使∠AOB = 60°, ∠BOC = 20°.求∠AOC的度数.
(2)已知∠AOB = 30°, ∠BOC = 24°, ∠AOD = 15°,求锐角∠COD的度数.

(1)①如图(1),射线 OC 在∠AOB 的外部时,因为∠AOB = 60°,∠BOC = 20°,所以∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 60°+20° = 80°.
②如图(2),射线 OC 在∠AOB 的内部时,因为∠AOB = 60°,∠BOC = 20°,所以∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 60°-20° = 40°. 综上,∠AOC 的度数为 80°或 40°.
(2)根据 OC,OD 位置的不同,有以下几种情况:
①如图(3),∠COD = ∠AOB + ∠BOC + ∠AOD = 69°;
②如图(4),∠COD = ∠AOB - ∠AOD + ∠BOC = 39°;
③如图(5),∠COD = ∠AOB - ∠BOC + ∠AOD = 21°;
④如图(6),∠COD = ∠AOD - (∠AOB - ∠BOC) = 9°.
故锐角∠COD 的度数为 69°或 39°或 21°或 9°.

8 核心素养几何直观[难]如图,已知∠AOB=120°,∠COD=60°,OM在∠AOC内,ON在∠BOD内$,∠AOM=\frac{1}{3}∠AOC,∠BON=\frac{1}{3}∠BOD.($本题中所有角均大于0°且小于等于180°)
(1)∠COD从图(1)中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时,如图(2),此时∠MON=°;
(2)∠COD从图(2)中的位置绕点O逆时针旋转n°(0＜n＜120且n≠60),求∠MON的度数;
(3)∠COD从图(2)中的位置绕点O顺时针旋转n°(0＜n＜120且n≠60),直接写出所有使∠MON=2∠BOC的n值.

(1) 因为∠AOM = 1/3∠AOC,所以∠MOC = 2/3∠AOC. 当∠COD 从题图(1)中的位置绕点 O 逆时针旋转到 OC 与 OB 重合时,∠MON = ∠MOB + ∠BON = 2/3∠AOC + 1/3∠BOD = 2/3×120° + 1/3×60° = 80° + 20° = 100°.
(2)①当 0＜n＜60 时,如图(1). 因为∠BOC = n°,所以∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 120° - n°,∠BOD = ∠COD - ∠BOC = 60° - n°, 所以∠MON = ∠MOC + ∠BOC + ∠BON = 2/3(120°-n°)+n°+1/3(60°-n°)=100°.
②当 60＜n＜120 时,如图(2). 因为∠BOC = n°,所以∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 120° - n°,∠BOD = ∠BOC - ∠DOC = n° - 60°, 所以∠MON = ∠MOC + ∠DOC + ∠DON = 2/3(120°-n°)+60°+2/3(n°-60°)=100°.
综上所述,∠MON 的度数为 100°.
(3)n 的值为 50 或 70.
①当 0＜n＜60 时,如图(3). 因为∠BOC = n°,所以∠MON = 2∠BOC = 2n°,∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 120°+n°,∠BOD = ∠BOC + ∠DOC = n°+60°, 所以∠MON = ∠MOC + ∠DOC - ∠DON = 2/3(120°+n°)+60°-2/3(n°+60°)=100°,所以 2n°=100°,所以 n=50.
②当 60＜n＜120 时,如图(4). 因为∠BOC = n°,所以∠MON = 2∠BOC = 2n°,∠AOC = 360°-(∠AOB+∠BOC)=360°-(120°+n°)=240°-n°,∠BOD = ∠BOC + ∠DOC = n°+60°, 所以∠MON = 360°-∠AOM - ∠AOB - ∠BON = 360°-1/3(240°-n°)-120°-1/3(60°+n°)=140°,所以 2n°=140°,所以 n=70.
综上所述,n 的值为 50 或 70.