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1[2025山东滨州期末,中]如图所示,杠杆MN可绕O点转动,A、B、C、D是四个吊环,O点到B环所在竖直线的距离为O点到D环所在竖直线的距离的一半,父子俩在吊环上做游戏,质量为40 kg的儿子抓着B环双脚离地,父亲站在地面上抓着D环(g取10 N/kg)。
(1)若不计杠杆和吊环的重力以及转轴间的摩擦,为使杠杆在水平位置平衡,父亲要用多大的力竖直向下拉吊环D?
(2)若父亲实际使用竖直向下的拉力为250 N,在4 s内将儿子匀速拉高了0.4 m,则父亲做了多少功?(三个角分别相等的两个三角形为相似三角形,相似三角形对应的边成比例)
(3)(2)中父亲提升儿子的过程中,该器材的机械效率为多少?
母题学大招2 滑轮类
(1)若不计杠杆和吊环的重力以及转轴间的摩擦,为使杠杆在水平位置平衡,父亲要用多大的力竖直向下拉吊环D?
(2)若父亲实际使用竖直向下的拉力为250 N,在4 s内将儿子匀速拉高了0.4 m,则父亲做了多少功?(三个角分别相等的两个三角形为相似三角形,相似三角形对应的边成比例)
(3)(2)中父亲提升儿子的过程中,该器材的机械效率为多少?
母题学大招2 滑轮类
答案
(1)设父亲竖直向下的拉力为$F_1$,已知$OB' = \frac{1}{2}OD'$,根据杠杆平衡条件可得 $F_1 × OD' = mg × OB'$,则 $F_1 = \frac{40\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × \frac{1}{2}OD'}{OD'} = 200\ \mathrm{N}$。
(2)根据数学知识可得,$\frac{s_{父亲}}{s_{儿子}} = \frac{OD'}{OB'} = 2$,所以,父亲拉力端移动的距离 $s_{父亲} = 2s_{儿子} = 0.8\ \mathrm{m}$,父亲做的功 $W_{总} = F_1' s_{父亲} = 250\ \mathrm{N} × 0.8\ \mathrm{m} = 200\ \mathrm{J}$。
(3)(2)中父亲用该器材提升儿子的过程中,所做的有用功 $W_{有用} = Gs_{儿子} = mgs_{儿子} = 40\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × 0.4\ \mathrm{m} = 160\ \mathrm{J}$,该器材的机械效率 $\eta = \frac{W_{有用}}{W_{总}} × 100\% = \frac{160\ \mathrm{J}}{200\ \mathrm{J}} × 100\% = 80\%$。
(2)根据数学知识可得,$\frac{s_{父亲}}{s_{儿子}} = \frac{OD'}{OB'} = 2$,所以,父亲拉力端移动的距离 $s_{父亲} = 2s_{儿子} = 0.8\ \mathrm{m}$,父亲做的功 $W_{总} = F_1' s_{父亲} = 250\ \mathrm{N} × 0.8\ \mathrm{m} = 200\ \mathrm{J}$。
(3)(2)中父亲用该器材提升儿子的过程中,所做的有用功 $W_{有用} = Gs_{儿子} = mgs_{儿子} = 40\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × 0.4\ \mathrm{m} = 160\ \mathrm{J}$,该器材的机械效率 $\eta = \frac{W_{有用}}{W_{总}} × 100\% = \frac{160\ \mathrm{J}}{200\ \mathrm{J}} × 100\% = 80\%$。
2[2026广东广州期末，中]如图所示是搬运建筑材料时使用的滑轮组。某次用该滑轮组匀速起吊450 kg的建材时，建材上升5 m用时3 s，电动机对绳子的拉力F=2 000 N，则在此过程中：
(g取10 N/kg)
(1)拉力F做功的功率是多少？
(2)该滑轮组的机械效率是多少？
(3)若该滑轮组克服绳重和摩擦所做的额外功为2 500 J，则动滑轮重是多少？
(g取10 N/kg)
(1)拉力F做功的功率是多少？
(2)该滑轮组的机械效率是多少？
(3)若该滑轮组克服绳重和摩擦所做的额外功为2 500 J，则动滑轮重是多少？
答案
(1)建材上升的高度为 $h=5\ \mathrm{m}$,时间为 $t=3\ \mathrm{s}$,绳子拉力为 $F=2\ 000\ \mathrm{N}$,由图可知,动滑轮上绳子股数 $n=3$,拉力做的总功为: $W_{总}=Fs=F × nh=2\ 000\ \mathrm{N} × 3 × 5\ \mathrm{m}=3 × 10^4\ \mathrm{J}$,拉力 $F$ 的功率为: $P=\frac{W_{总}}{t}=\frac{3 × 10^4\ \mathrm{J}}{3\ \mathrm{s}}=10^4\ \mathrm{W}$;
(2)建材重力为: $G=mg=450\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg}=4\ 500\ \mathrm{N}$,拉力做的有用功为: $W_{有用}=Gh=4\ 500\ \mathrm{N} × 5\ \mathrm{m}=2.25 × 10^4\ \mathrm{J}$,滑轮组的机械效率为: $\eta=\frac{W_{有用}}{W_{总}} × 100\%=\frac{2.25 × 10^4\ \mathrm{J}}{3 × 10^4\ \mathrm{J}} × 100\%=75\%$;
(3)拉力做的额外功为: $W_{额}=W_{总}-W_{有用}=3 × 10^4\ \mathrm{J}-2.25 × 10^4\ \mathrm{J}=7\ 500\ \mathrm{J}$,克服绳重和摩擦所做的额外功为 $W_1=2\ 500\ \mathrm{J}$,克服动滑轮重力做的额外功为: $W_2=W_{额}-W_1=7\ 500\ \mathrm{J}-2\ 500\ \mathrm{J}=5\ 000\ \mathrm{J}$,动滑轮重力为: $G_{动}=\frac{W_2}{h}=\frac{5\ 000\ \mathrm{J}}{5\ \mathrm{m}}=1\ 000\ \mathrm{N}$。
(2)建材重力为: $G=mg=450\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg}=4\ 500\ \mathrm{N}$,拉力做的有用功为: $W_{有用}=Gh=4\ 500\ \mathrm{N} × 5\ \mathrm{m}=2.25 × 10^4\ \mathrm{J}$,滑轮组的机械效率为: $\eta=\frac{W_{有用}}{W_{总}} × 100\%=\frac{2.25 × 10^4\ \mathrm{J}}{3 × 10^4\ \mathrm{J}} × 100\%=75\%$;
(3)拉力做的额外功为: $W_{额}=W_{总}-W_{有用}=3 × 10^4\ \mathrm{J}-2.25 × 10^4\ \mathrm{J}=7\ 500\ \mathrm{J}$,克服绳重和摩擦所做的额外功为 $W_1=2\ 500\ \mathrm{J}$,克服动滑轮重力做的额外功为: $W_2=W_{额}-W_1=7\ 500\ \mathrm{J}-2\ 500\ \mathrm{J}=5\ 000\ \mathrm{J}$,动滑轮重力为: $G_{动}=\frac{W_2}{h}=\frac{5\ 000\ \mathrm{J}}{5\ \mathrm{m}}=1\ 000\ \mathrm{N}$。
3[2026江苏苏州模拟,偏难]如图甲所示的装置,A是重为15 N的空吊篮,绳子B和C能承受的最大拉力分别为80 N和40 N,质量为50 kg的小张同学将A提升到高处,施加的拉力F随时间变化的关系如图乙所示,A上升的速度v随时间变化的关系如图丙所示。忽略绳重及摩擦,g取10 N/kg。求:
(1)第2 s内,绳子C自由端移动的距离。
(2)第2 s内,拉力F所做的功。
(3)定滑轮的重力和此装置提升重物的最大机械效率。(假设每个滑轮重力相同)
(1)第2 s内,绳子C自由端移动的距离。
(2)第2 s内,拉力F所做的功。
(3)定滑轮的重力和此装置提升重物的最大机械效率。(假设每个滑轮重力相同)
答案
(1)由图丙可知,第2 s内A被匀速提升,其速度为2 m/s,由图甲可知n=2,则第2 s内绳子C自由端移动的距离为: $s=nh=v_A t=2 × 2\ \mathrm{m/s} × 1\ \mathrm{s}=4\ \mathrm{m}$;
(2)由图乙可知,第2 s内拉力F为10 N,则第2 s内拉力F所做的功为: $W=Fs=10\ \mathrm{N} × 4\ \mathrm{m}=40\ \mathrm{J}$;
(3)第2 s内A被匀速提升,忽略绳重及摩擦,拉力 $F=\frac{1}{n}(G_A+G_{动})$,所以动滑轮的重力为: $G_{动}=nF-G_A=2 × 10\ \mathrm{N}-15\ \mathrm{N}=5\ \mathrm{N}$,因每个滑轮重力相同,则定滑轮的重力也为5 N。忽略绳重及摩擦,绳子C自由端拉力 $F_C=\frac{1}{n}(F_B+G_{动})=\frac{1}{2}(F_B+5\ \mathrm{N})$,则当绳子C自由端受到的拉力为最大拉力40 N时,绳子B受到的拉力为75 N,小于80 N;当绳子B受到的拉力为最大拉力80 N时,绳子C自由端拉力为42.5 N＞40 N,所以$F_C$最大为40 N,绳子B受到的最大拉力: $F_B=G_A+G_{物}=75\ \mathrm{N}$,则此装置最多能匀速提升重物的重力: $G_{物}=F_B-G_A=75\ \mathrm{N}-15\ \mathrm{N}=60\ \mathrm{N}$;由 $\eta=\frac{1}{1+\frac{G_{动}}{G}} × 100\%$ 可知,此装置提升重物的重力最大时,其机械效率最大,最大机械效率为 $\eta=\frac{W_{有}}{W_{总}} × 100\%=\frac{G_{物} h'}{F_{C最大} s'} × 100\%=\frac{G_{物} h'}{F_{C最大} n h'} × 100\%=\frac{G_{物}}{n F_{C最大}} × 100\%=\frac{60\ \mathrm{N}}{2 × 40\ \mathrm{N}} × 100\%=75\%$。
(2)由图乙可知,第2 s内拉力F为10 N,则第2 s内拉力F所做的功为: $W=Fs=10\ \mathrm{N} × 4\ \mathrm{m}=40\ \mathrm{J}$;
(3)第2 s内A被匀速提升,忽略绳重及摩擦,拉力 $F=\frac{1}{n}(G_A+G_{动})$,所以动滑轮的重力为: $G_{动}=nF-G_A=2 × 10\ \mathrm{N}-15\ \mathrm{N}=5\ \mathrm{N}$,因每个滑轮重力相同,则定滑轮的重力也为5 N。忽略绳重及摩擦,绳子C自由端拉力 $F_C=\frac{1}{n}(F_B+G_{动})=\frac{1}{2}(F_B+5\ \mathrm{N})$,则当绳子C自由端受到的拉力为最大拉力40 N时,绳子B受到的拉力为75 N,小于80 N;当绳子B受到的拉力为最大拉力80 N时,绳子C自由端拉力为42.5 N＞40 N,所以$F_C$最大为40 N,绳子B受到的最大拉力: $F_B=G_A+G_{物}=75\ \mathrm{N}$,则此装置最多能匀速提升重物的重力: $G_{物}=F_B-G_A=75\ \mathrm{N}-15\ \mathrm{N}=60\ \mathrm{N}$;由 $\eta=\frac{1}{1+\frac{G_{动}}{G}} × 100\%$ 可知,此装置提升重物的重力最大时,其机械效率最大,最大机械效率为 $\eta=\frac{W_{有}}{W_{总}} × 100\%=\frac{G_{物} h'}{F_{C最大} s'} × 100\%=\frac{G_{物} h'}{F_{C最大} n h'} × 100\%=\frac{G_{物}}{n F_{C最大}} × 100\%=\frac{60\ \mathrm{N}}{2 × 40\ \mathrm{N}} × 100\%=75\%$。
