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1.（南京中考）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在$ABC$中，$AB=13$里，$BC=14$里，$AC=15$里，则$ABC$的面积是（
A.80 平方里
B.82 平方里
C.84 平方里
D.86 平方里
C
）.A.80 平方里
B.82 平方里
C.84 平方里
D.86 平方里
答案
1. C 解析:如图,过点 A 作AD⊥BC于点D.
设BD=x里,则CD=(14−x)里,
在Rt△ABD中,AD²=13²−x²,
在Rt△ADC中,AD²=15²−(14−x)²,
∴13²−x²=15²−(14−x)²,解得x=5,
∴AD²=13²−5²=144,
∴AD=12里,
∴S△ABC=1/2 BC·AD=1/2×14×12=84(平方里).故选C.
解析
【分析】
已知三角形三边长度求面积，缺少对应的高，我们可以通过作高将普通三角形转化为熟悉的直角三角形，利用勾股定理求解。具体思路：过点A作BC边上的高AD，将△ABC分为两个直角三角形，AD是两个直角三角形的公共边，设BD的长度为x里，那么CD的长度就是(14-x)里，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD的平方，根据AD平方相等列方程求出x的值，再计算高AD的长度，最后代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图。
设BD=x里，则CD=BC-BD=(14−x)里。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2−BD^2=13^2−x^2$，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2−CD^2=15^2−(14−x)^2$，
所以可得方程：$13^2−x^2=15^2−(14−x)^2$，
展开计算：$169 - x^2 = 225 - (196 - 28x + x^2)$，
化简后解得$x=5$。
将$x=5$代入$AD^2=13^2−5^2=144$，得$AD=12$里（长度为正）。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84$（平方里）。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，列方程求解，三角形面积计算
【点评】
这道题以我国古代数学典籍中的问题为背景，考查勾股定理的实际应用，解题核心是通过作高实现斜三角形到直角三角形的转化，利用公共边建立等量关系列方程，是勾股定理应用的典型题型，能很好地锻炼学生的转化思维和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
已知三角形三边长度求面积，缺少对应的高，我们可以通过作高将普通三角形转化为熟悉的直角三角形，利用勾股定理求解。具体思路：过点A作BC边上的高AD，将△ABC分为两个直角三角形，AD是两个直角三角形的公共边，设BD的长度为x里，那么CD的长度就是(14-x)里，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD的平方，根据AD平方相等列方程求出x的值，再计算高AD的长度，最后代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图
。设BD=x里，则CD=BC-BD=(14−x)里。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2−BD^2=13^2−x^2$，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2−CD^2=15^2−(14−x)^2$，
所以可得方程：$13^2−x^2=15^2−(14−x)^2$，
展开计算：$169 - x^2 = 225 - (196 - 28x + x^2)$，
化简后解得$x=5$。
将$x=5$代入$AD^2=13^2−5^2=144$，得$AD=12$里（长度为正）。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84$（平方里）。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，列方程求解，三角形面积计算
【点评】
这道题以我国古代数学典籍中的问题为背景，考查勾股定理的实际应用，解题核心是通过作高实现斜三角形到直角三角形的转化，利用公共边建立等量关系列方程，是勾股定理应用的典型题型，能很好地锻炼学生的转化思维和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图,某人划船横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点 C 偏离欲到达点 B 25 m,结果他在水中实际划了 65 m,求该河流的宽度.
答案
2. 60 m.
解析
【分析】
由图可知AB垂直于BC，因此△ABC是直角三角形，∠B为直角。题目中实际划行距离对应斜边AC=65m，偏离距离对应直角边BC=25m，河流宽度对应待求直角边AB，属于已知直角三角形斜边和一条直角边求另一条直角边的问题，可直接用勾股定理求解。
【解析】
解：根据题意，△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，
已知AC=65m，BC=25m，
由勾股定理得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
因此$AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{65^2 - 25^2}=\sqrt{4225 - 625}=\sqrt{3600}=60(\mathrm{m})$。
【答案】
60 m
【知识点】
勾股定理，实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是从实际场景中抽象出直角三角形模型，找准各边对应的实际数量，代入公式计算即可，难度较低，主要考查学生的建模意识和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
由图可知AB垂直于BC，因此△ABC是直角三角形，∠B为直角。题目中实际划行距离对应斜边AC=65m，偏离距离对应直角边BC=25m，河流宽度对应待求直角边AB，属于已知直角三角形斜边和一条直角边求另一条直角边的问题，可直接用勾股定理求解。
【解析】
解：根据题意，△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，
已知AC=65m，BC=25m，
由勾股定理得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
因此$AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{65^2 - 25^2}=\sqrt{4225 - 625}=\sqrt{3600}=60(\mathrm{m})$。
【答案】
60 m
【知识点】
勾股定理，实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是从实际场景中抽象出直角三角形模型，找准各边对应的实际数量，代入公式计算即可，难度较低，主要考查学生的建模意识和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
3. 从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？
答案
3. 如图,设旗杆高度为AC=h米,
则绳子长为AB=(h+2)米,
BC=8米,根据勾股定理,得
h²+8²=(h+2)²,
解得h=15.
故旗杆的高度为15米.
解析
【分析】
解决本题首先要把实际问题转化为直角三角形的几何问题：旗杆垂直于地面，因此旗杆、地面、拉直的绳子恰好构成直角三角形，其中旗杆和地面为两条直角边，绳子为斜边。我们可以设旗杆高度为未知数，根据“绳子垂到地面还多2米”用含未知数的式子表示斜边（绳子）的长度，再结合已知的绳子下端到旗杆底部的距离，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设旗杆高度为$AC=h$米，
由题意得，绳子长为斜边$AB=(h+2)$米，绳子下端距离旗杆底部$BC=8$米，
$\because ∠ C=90°$，$△ ABC$是直角三角形，根据勾股定理可得：
$h^2+8^2=(h+2)^2$
展开并整理方程：
$h^2+64=h^2+4h+4$
消去$h^2$得：$4h=60$
解得$h=15$
【答案】
故旗杆的高度为15米.
【知识点】
勾股定理，勾股定理的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型基础应用，核心是将实际场景抽象为直角三角形模型，结合方程思想求解，解题时注意找准直角三角形的各边对应关系即可。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要把实际问题转化为直角三角形的几何问题：旗杆垂直于地面，因此旗杆、地面、拉直的绳子恰好构成直角三角形，其中旗杆和地面为两条直角边，绳子为斜边。我们可以设旗杆高度为未知数，根据“绳子垂到地面还多2米”用含未知数的式子表示斜边（绳子）的长度，再结合已知的绳子下端到旗杆底部的距离，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设旗杆高度为$AC=h$米，
由题意得，绳子长为斜边$AB=(h+2)$米，绳子下端距离旗杆底部$BC=8$米，
$\because ∠ C=90°$，$△ ABC$是直角三角形，根据勾股定理可得：
$h^2+8^2=(h+2)^2$
展开并整理方程：
$h^2+64=h^2+4h+4$
消去$h^2$得：$4h=60$
解得$h=15$
【答案】
故旗杆的高度为15米.
【知识点】
勾股定理，勾股定理的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型基础应用，核心是将实际场景抽象为直角三角形模型，结合方程思想求解，解题时注意找准直角三角形的各边对应关系即可。
【难度系数】
0.8
[构建勾股定理模型]如图,一只蚂蚁从长、宽都是30 cm,高是80 cm的长方体纸箱的点A沿纸箱爬到点B,求它所行的最短路线的长.
答案
【全解】情况一:如图(1),在Rt△ABC中,
AC=30×2=60(cm),BC=80 cm,
∴AB²=AC²+BC²=60²+80²=10 000,
∴AB=100 cm.
情况二:如图(2),在Rt△ABC中,AC=30 cm,BC=110 cm,
∴AB=10√130 cm＞100 cm.
故最短路线长为100 cm.
【方法精解】要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的做法,就是将长方体的侧面展开,然后利用“两点之间,线段最短”解答.蚂蚁实际上是在长方体的半个侧面内爬行,如果将这半个侧面展开如图所示,得到矩形 ACBD,根据“两点之间,线段最短”,所求的最短路程就是半个侧面展开图长方形对角线AB之长.
解析
【分析】
要解决长方体表面两点的最短路径问题，需先将立体图形的侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径是展开后对应两点的线段长，再结合勾股定理计算线段长度。由于长方体侧面存在两种不同的展开方式，需要分别计算两种展开方式下的线段长度，比较后得到的较小值就是最短路线长。
【解析】
将长方体的侧面展开，分两种情况计算AB的长度：
情况一：如图(1)，在Rt△ABC中，$AC=30×2=60\ \mathrm{cm}$，$BC=80\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=60^2+80^2=10000$，
∴$AB=\sqrt{10000}=100\ \mathrm{cm}$。
情况二：如图(2)，在Rt△ABC中，$AC=30\ \mathrm{cm}$，$BC=80+30=110\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理得：$AB^2=30^2+110^2=13000$，
∴$AB=\sqrt{13000}=10\sqrt{130}\ \mathrm{cm}$，显然$10\sqrt{130}＞100\ \mathrm{cm}$。
对比两种计算结果，100cm为更小的路径长度。
【答案】
它所行的最短路线的长为100 cm。
【知识点】
勾股定理的应用，长方体侧面展开，两点之间线段最短
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，核心是将立体问题转化为平面几何问题求解，解题时要注意分类讨论所有可能的侧面展开方式，避免漏算导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要解决长方体表面两点的最短路径问题，需先将立体图形的侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径是展开后对应两点的线段长，再结合勾股定理计算线段长度。由于长方体侧面存在两种不同的展开方式，需要分别计算两种展开方式下的线段长度，比较后得到的较小值就是最短路线长。
【解析】
将长方体的侧面展开，分两种情况计算AB的长度：
情况一：如图(1)，在Rt△ABC中，$AC=30×2=60\ \mathrm{cm}$，$BC=80\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=60^2+80^2=10000$，
∴$AB=\sqrt{10000}=100\ \mathrm{cm}$。
情况二：如图(2)，在Rt△ABC中，$AC=30\ \mathrm{cm}$，$BC=80+30=110\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理得：$AB^2=30^2+110^2=13000$，
∴$AB=\sqrt{13000}=10\sqrt{130}\ \mathrm{cm}$，显然$10\sqrt{130}＞100\ \mathrm{cm}$。
对比两种计算结果，100cm为更小的路径长度。
【答案】
它所行的最短路线的长为100 cm。
【知识点】
勾股定理的应用，长方体侧面展开，两点之间线段最短
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，核心是将立体问题转化为平面几何问题求解，解题时要注意分类讨论所有可能的侧面展开方式，避免漏算导致结果错误。
【难度系数】
0.7
