1. (教材练习变式)下列方程中是一元二次方程的是 （）

A.$x^{2}-1=0$
B.$y^{2}+x=1$
C.$2x+1=0$
D.$x+\dfrac{1}{x}=1$

1. A

【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需依据其定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。需逐一分析选项是否满足这三个条件（一个未知数、最高次数为2、整式方程）。
【解析】
根据一元二次方程的定义，逐一分析选项：
选项A：方程$x^2 -1=0$，只含未知数$x$，$x$的最高次数是2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；
选项B：方程$y^2 +x=1$，含有两个未知数$x$和$y$，属于二元方程，不符合；
选项C：方程$2x+1=0$，未知数$x$的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合；
选项D：方程$x+\dfrac{1}{x}=1$，分母中含有未知数$x$，不是整式方程，不符合。
综上，只有选项A是一元二次方程。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题为教材基础变式题，核心考查一元二次方程的定义，需准确把握“一个未知数、最高次数为2、整式方程”三个关键要素，是一元二次方程章节的基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8

2. 将一元二次方程 $3x^{2}-2=4x$ 化成一般形式后，则一次项的系数是 （）

A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$

2. C

【分析】要解决这个问题，需先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$bx$是一次项，$b$是一次项系数。解题时需将给定方程整理为一般形式，再提取一次项的系数，注意系数要包含符号。
【解析】一元二次方程的一般形式是$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），其中一次项系数是$b$。将原方程$3x^2 - 2 = 4x$移项，把含$x$的项移到方程左边，常数项移到右边，得到一般形式：$3x^2 - 4x - 2 = 0$。对比一般形式，一次项为$-4x$，因此一次项的系数是$-4$。
【答案】C
【知识点】一元二次方程一般形式，一次项系数
【点评】本题考查一元二次方程一般形式的转化，属于基础题，核心是掌握移项法则和一般形式的结构，需注意一次项系数要包含符号，避免忽略符号导致错误。
【难度系数】0.8

3. (2025·新疆)如图,小明在数学综合实践活动中,利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为$40\ \mathrm{m}^2$的矩形场地.设矩形的宽为$x\ \mathrm{m}$,根据题意可列方程 （）

A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-2x)=40$
D.$2x(24-x)=40$

3. A

【分析】首先观察图形，矩形场地的一边利用墙，因此围栏仅围成矩形的另外三边，即两个宽和一个长。已知矩形的宽为$x\ \mathrm{m}$，则两个宽的总长度为$2x\ \mathrm{m}$，结合围栏总长度为24m，可推导出矩形的长，再根据矩形面积公式即可列出方程，进而选出正确选项。
【解析】解：由图可知，矩形的一边靠墙，围栏长度24m对应两个宽和一个长。设宽为$x\ \mathrm{m}$，则长为$(24 - 2x)\ \mathrm{m}$，根据矩形面积=长×宽，结合面积为$40\ \mathrm{m}^2$，可得方程$x(24 - 2x)=40$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】本题是一元二次方程的基础应用题，核心是正确分析围栏的组成（利用墙时仅围三边），确定长和宽的表达式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7

4. 一元二次方程$3x(x-2)=4$的一般形式是,二次项系数是,一次项是,常数项是.

4. $3x^{2}-6x-4=0$ 3 $-6x$ $-4$

【分析】要解决这道题，需先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），解题时需先将原方程展开，再通过移项整理成一般形式，最后根据一般形式确定二次项系数、一次项和常数项。具体步骤：1. 展开原方程左边的乘积；2. 将常数项移到方程左边，使方程右边为0，得到一般形式；3. 对应一般形式找出二次项系数、一次项和常数项。
【解析】先展开原方程左边：$3x(x - 2) = 3x^2 - 6x$，再移项将右边的4移到左边，得到$3x^2 - 6x - 4 = 0$，这就是一元二次方程的一般形式。其中二次项为$3x^2$，故二次项系数是3；一次项是$-6x$；常数项是$-4$。
【答案】$3x^2 - 6x - 4 = 0$；3；$-6x$；$-4$
【知识点】一元二次方程的一般形式
【点评】本题考查一元二次方程一般形式的转化，属于基础题，关键是掌握移项时的符号变化，准确区分二次项系数、一次项和常数项的定义。
【难度系数】0.8

5. 若方程$(2-m)x^{|m|}-x+3=0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的值为。

5. $-2$ 解析：$\because (2-m)x^{|m|}-x+3=0$是关于$x$的一元二次方程，$\therefore 2-m≠0$且$|m|=2$，解得$m=-2$。

【分析】
要确定m的值，需依据一元二次方程的定义：一元二次方程需满足“只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0”三个核心条件。本题方程的最高次项为$(2 - m)x^{|m|}$，因此需同时满足“未知数次数$|m|=2$”和“二次项系数$2 - m ≠ 0$”，据此求解m。
【解析】
因为方程$(2 - m)x^{|m|} - x + 3 = 0$是关于$x$的一元二次方程，所以：
1. 未知数的最高次数为2，即$|m| = 2$，解得$m = 2$或$m = -2$；
2. 二次项系数不为0，即$2 - m ≠ 0$，解得$m ≠ 2$。
综合两个条件，取交集得$m = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的定义，解题关键是牢记“二次项系数不为0”的易错条件，避免遗漏导致错误，属于基础题型。
【难度系数】
0.6

6. (1)已知关于 $x$ 的方程 $x^2-mx-2=0$ 的一个根为 2,则 $m$ 的值为.
(2)若 $x=1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程的一个根,则这个一元二次方程可以是.

6. (1)1 解析：把$x=2$代入方程$x^2-mx-2=0$，得$4-2m-2=0$，解得$m=1$。
(2)$x^2-x=0$(答案不唯一)

【分析】
第(1)问：根据方程根的定义，方程的根代入方程等式成立，因此将已知根x=2代入方程，可得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值；第(2)问：根据一元二次方程根的定义，只要构造的一元二次方程满足x=1时方程左右两边相等即可，属于开放性题目，答案不唯一。
【解析】
(1) 因为x=2是方程$x^2 - mx -2=0$的根，将$x=2$代入方程得：
$2^2 - 2m -2 = 0$，化简得$2 - 2m = 0$，解得$m=1$。
(2) 一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若$x=1$是该方程的根，则代入得$a + b + c=0$；取$a=1$，$b=-1$，$c=0$，可得方程$x^2 -x=0$，答案不唯一，只要满足$a + b + c=0$的一元二次方程均可。
【答案】
(1)1；(2)$x^2 -x=0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的根；一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程根的基础应用，难度较低，核心是理解“方程的根满足方程”这一概念，代入求解即可；第二问为开放性题目，能考查学生对根的概念的灵活运用，培养发散思维。
【难度系数】
0.8

7. (1)已知两个连续正奇数的积是143,设其中较小的正奇数是$x$,可列方程为.
(2)在中考前,班级每位同学向其他同学赠送1件纪念品,结果互赠纪念品共1 260件,求该班级的学生数.设该班的学生有$x$人,可列方程为.
(3)某校6月份每天需要两名志愿者参与校园卫生巡查,九(1)班学生积极参与,考虑到所有的不同组合,共有78种组队可能.设九(1)班参加的学生有$x$人,根据题意列方程并化为一般形式为.

7. (1)$x(x+2)=143$
(2)$x(x-1)=1\ 260$
(3)$x^2-x-156=0$

【分析】
本题需根据每个小题的实际场景，明确对应数量关系后列方程：
(1) 连续正奇数的特点是相邻两数相差2，设较小的正奇数为x，则较大的为x+2，依据“两数积为143”列方程；
(2) 每位同学需向除自己外的其他同学赠纪念品，因此每人赠送$(x-1)$件，总赠送数为人数×每人赠送数，结合总件数列方程；
(3) 组队属于从x人中选2人的组合问题，组合数公式为$\frac{x(x-1)}{2}$，依据“组合数为78”列方程，再整理为一元二次方程的一般形式。
【解析】
(1) 设较小正奇数为$x$，则较大连续正奇数为$x+2$，由两数积为143，得方程：$x(x+2)=143$；
(2) 设班级有$x$人，每人赠送$(x-1)$件纪念品，总赠送数为$x(x-1)$，已知共1260件，得方程：$x(x-1)=1260$；
(3) 设九(1)班参加学生有$x$人，从$x$人中选2人的组合数为$\frac{x(x-1)}{2}$，由题意得$\frac{x(x-1)}{2}=78$，两边同乘2得$x^2 -x =156$，移项化为一般形式：$x^2 -x -156=0$。
【答案】
(1)$x(x+2)=143$；(2)$x(x-1)=1260$；(3)$x^2 -x -156=0$
【知识点】
一元二次方程应用、组合数计算、列代数式
【点评】
本题是一元二次方程在实际问题中的基础应用，分别考查连续数、互赠问题、组合问题的数量关系转化，需准确理解题意，区分排列与组合的应用场景，难度适中。
【难度系数】
0.3

8. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

8. 化成一般形式依次为：$3x^2-5x+1=0$，二次项系数3，一次项系数-5，常数项1；$x^2+x-8=0$，二次项系数1，一次项系数1，常数项-8；$-7x^2+4=0$，二次项系数-7，一次项系数0，常数项4。

【分析】
要解决该问题，需先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），解题思路是将给定的方程通过移项、去括号等操作整理为一般形式，再根据一般形式确定对应的二次项系数、一次项系数和常数项，移项时需注意各项符号的变化，展开多项式时要准确合并同类项。
【解析】
1. 对于方程$3x^2 = 5x - 1$：
移项将右边项移到左边，得到一般形式：$3x^2 - 5x + 1 = 0$；
对应二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为1。
2. 对于方程$(x + 2)(x - 1) = 6$：
先展开左边多项式：$x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$；
再移项将右边的6移到左边，合并同类项得一般形式：$x^2 + x - 8 = 0$；
对应二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-8。
3. 对于方程$4 - 7x^2 = 0$：
移项整理为一般形式：$-7x^2 + 0x + 4 = 0$；
对应二次项系数为-7，一次项系数为0，常数项为4。
【答案】
化成一般形式依次为：$3x^2 -5x +1=0$，二次项系数3，一次项系数-5，常数项1；$x^2 +x -8=0$，二次项系数1，一次项系数1，常数项-8；$-7x^2 +4=0$，二次项系数-7，一次项系数0，常数项4。
【知识点】
一元二次方程一般形式，多项式展开，移项变号
【点评】
本题考查一元二次方程一般形式的转化，属于基础题型，需掌握移项、去括号合并同类项的方法，注意一次项系数为0的情况易被忽略，是对基础运算能力的考察。
【难度系数】
0.7