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10. 新素养 抽象能力 定义:$[a,b]$为反比例函数
$y=\dfrac{a}{bx}(ab≠0,a,b为实数)$的“相关数”.已
知反比例函数$y=\dfrac{k_{1}}{x}$的“相关数”为$[m,m+$
$2]$,反比例函数$y=\dfrac{k_{2}}{x}$的“相关数”为$[m+1,$
$m+3]$,且$m＞0$,则$k_{1}$与$k_{2}$之间的大小关
系是
$y=\dfrac{a}{bx}(ab≠0,a,b为实数)$的“相关数”.已
知反比例函数$y=\dfrac{k_{1}}{x}$的“相关数”为$[m,m+$
$2]$,反比例函数$y=\dfrac{k_{2}}{x}$的“相关数”为$[m+1,$
$m+3]$,且$m＞0$,则$k_{1}$与$k_{2}$之间的大小关
系是
$k_1＜k_2$
.答案
10. $k_1＜k_2$ 解析:由题意,得$\begin{cases} k_1=\dfrac{m}{m+2}, \\ k_2=\dfrac{m+1}{m+3}, \end{cases}$所以 $k_1 - k_2 = \dfrac{m}{m+2}-\dfrac{m+1}{m+3}=-\dfrac{2}{(m+2)(m+3)}$. 因为 $m＞0$,所以 $(m+2)(m+3)＞0$,所以 $-\dfrac{2}{(m+2)(m+3)}＜0$,所以 $k_1 - k_2＜0$,即 $k_1＜k_2$.
11. 已知函数 $y=(5m-3)x^{2-n}+(m+n).$
（1）当 $m,n$ 为何值时，此函数为一次函数？
（2）当 $m,n$ 为何值时，此函数为正比例函数？
（3）当 $m,n$ 为何值时，此函数为反比例函数？
（1）当 $m,n$ 为何值时，此函数为一次函数？
（2）当 $m,n$ 为何值时，此函数为正比例函数？
（3）当 $m,n$ 为何值时，此函数为反比例函数？
答案
11. (1) 由题意,得 $5m-3≠0,2-n=1$,解得 $m≠\dfrac{3}{5}$,
$n=1$,所以当 $m≠\dfrac{3}{5},n=1$ 时,此函数为一次函数.
(2) 由题意,得 $5m-3≠0,2-n=1$,且 $m+n=0$,解得 $m=-1,n=1$,所以当 $m=-1,n=1$ 时,此函数为正比例函数.
(3) 由题意,得 $5m-3≠0,2-n=-1$,且 $m+n=0$,解得 $m=-3,n=3$,所以当 $m=-3,n=3$ 时,此函数为反比例函数.
$n=1$,所以当 $m≠\dfrac{3}{5},n=1$ 时,此函数为一次函数.
(2) 由题意,得 $5m-3≠0,2-n=1$,且 $m+n=0$,解得 $m=-1,n=1$,所以当 $m=-1,n=1$ 时,此函数为正比例函数.
(3) 由题意,得 $5m-3≠0,2-n=-1$,且 $m+n=0$,解得 $m=-3,n=3$,所以当 $m=-3,n=3$ 时,此函数为反比例函数.
12. (2026·江苏无锡期末)已知 $y=y_1-y_2$，$y_1$ 与 $x$ 成正比例，$y_2$ 与 $x+3$ 成反比例，当$x=0$ 时，$y=-2$；当 $x=3$ 时，$y=2$. 求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式.
答案
12. 由题意,设 $y_1=k_1x,y_2=\dfrac{k_2}{x+3}$. 因为 $y=y_1-y_2$,所以 $y=k_1x-\dfrac{k_2}{x+3}$. 又当 $x=0$ 时, $y=-2$; 当 $x=3$ 时, $y=2$,所以$\begin{cases} -\dfrac{k_2}{3}=-2, \\ 3k_1-\dfrac{k_2}{6}=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k_1=1, \\ k_2=6. \end{cases}$故 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=x-\dfrac{6}{x+3}$.
13. 亮点原创 已知$\dfrac{1}{x^{2}}$与$y$成正比例，$\dfrac{1}{y}$与$z$成反比例. 若当$x=2$时，$z=4$，则当$z=9$时，$x$的值为（
A.$\dfrac{4}{3}$
B.$-\dfrac{4}{3}$
C.$\pm\dfrac{4}{3}$
D.$\pm\dfrac{3}{4}$
C
）A.$\dfrac{4}{3}$
B.$-\dfrac{4}{3}$
C.$\pm\dfrac{4}{3}$
D.$\pm\dfrac{3}{4}$
答案
13. C 解析:因为$\dfrac{1}{x^2}$与 $y$ 成正比例,$\dfrac{1}{y}$ 与 $z$ 成反比例,所以可设$\dfrac{1}{x^2}=k_1y,\dfrac{1}{y}=\dfrac{k_2}{z}$,且 $k_1,k_2$ 为不等于 0 的常数,则 $z=\dfrac{k_2}{k_1x^2}$. 又当 $x=2$ 时, $z=4$,所以 $4=\dfrac{k_2}{4k_1}$,即$\dfrac{k_2}{k_1}=16$,所以 $z=\dfrac{16}{x^2}$. 当 $z=9$ 时,$9=\dfrac{16}{x^2}$,解得 $x=\pm\dfrac{4}{3}$. 经检验,$x=\pm\dfrac{4}{3}$ 是原方程的解.
14. 已知函数:$y=\dfrac{1}{2x},y=\dfrac{1}{x},y=\dfrac{1}{x^{2}}.$当$0＜ x＜ 1$时,函数值$y$较小的函数是
$y=\dfrac{1}{2x}$
.答案
14. $y=\dfrac{1}{2x}$ 解析:当 $0＜x＜1$ 时,$\dfrac{1}{2x}-\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{2x}＜0$,
$\dfrac{1}{x}＞1$,所以 $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{x}(1-\dfrac{1}{x})＜0$,则 $\dfrac{1}{2x}＜\dfrac{1}{x}＜\dfrac{1}{x^2}$,所以当 $0＜x＜1$ 时,函数值 $y$ 较小的函数是 $y=\dfrac{1}{2x}$.
$\dfrac{1}{x}＞1$,所以 $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{x}(1-\dfrac{1}{x})＜0$,则 $\dfrac{1}{2x}＜\dfrac{1}{x}＜\dfrac{1}{x^2}$,所以当 $0＜x＜1$ 时,函数值 $y$ 较小的函数是 $y=\dfrac{1}{2x}$.
15. 在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4 cm时，它的另一条对角线长为12 cm.
(1) 设菱形的两条对角线的长分别为x cm，y cm，求y关于x的函数表达式. 该函数是反比例函数吗？如果是，那么请指出反比例系数；
(2) 若其中一个菱形的一条对角线的长为6 cm，求该菱形的边长.
(1) 设菱形的两条对角线的长分别为x cm，y cm，求y关于x的函数表达式. 该函数是反比例函数吗？如果是，那么请指出反比例系数；
(2) 若其中一个菱形的一条对角线的长为6 cm，求该菱形的边长.
答案
15. (1) 由题意,得 $\dfrac{1}{2}xy=\dfrac{1}{2}×4×12$,即 $y=\dfrac{48}{x}$,且 $x＞0$. 故该函数是反比例函数,且反比例系数为 48.
(2) 在 $y=\dfrac{48}{x}$ 中,令 $x=6$,得 $y=8$,所以该菱形两条对角线的长分别为 6 cm,8 cm. 又菱形的对角线互相垂直平分,所以该菱形的边长为 $\sqrt{(\dfrac{6}{2})^2+(\dfrac{8}{2})^2}=5(\mathrm{cm})$.
(2) 在 $y=\dfrac{48}{x}$ 中,令 $x=6$,得 $y=8$,所以该菱形两条对角线的长分别为 6 cm,8 cm. 又菱形的对角线互相垂直平分,所以该菱形的边长为 $\sqrt{(\dfrac{6}{2})^2+(\dfrac{8}{2})^2}=5(\mathrm{cm})$.
