登录
3.(2025·金华市金东区期末)某科技小组制作了甲、乙两个机器人,请阅读下列性能测试信息,完成相应任务。
| 性能信息 | 1.两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式；
2.标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分；
3.全速模式速度是标准模式速度的两倍 |
| --- | --- |
| 测试信息 | 实验1:测各模式速度
标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等
实验2:测五分钟(包括故障时间)所跑路程
信息一:甲、乙同时出发,同向
信息二:甲全程在标准模式下完成跑步
信息三:乙先在全速模式下跑步,1分钟后发生故障,用$a$分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了70米 |
| 任务 | 任务一:求基础模式和标准模式的速度
任务二:求实验2中机器人乙故障时长$a$的值
任务三:求实验2整个过程中第几分钟时,两个机器人之间的距离等于10米 |
| 性能信息 | 1.两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式；
2.标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分；
3.全速模式速度是标准模式速度的两倍 |
| --- | --- |
| 测试信息 | 实验1:测各模式速度
标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等
实验2:测五分钟(包括故障时间)所跑路程
信息一:甲、乙同时出发,同向
信息二:甲全程在标准模式下完成跑步
信息三:乙先在全速模式下跑步,1分钟后发生故障,用$a$分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了70米 |
| 任务 | 任务一:求基础模式和标准模式的速度
任务二:求实验2中机器人乙故障时长$a$的值
任务三:求实验2整个过程中第几分钟时,两个机器人之间的距离等于10米 |
答案
任务一 解:设基础模式的速度为x米/分,则标准模式的速度为(x+10)米/分。由题意,得$\frac{300}{x+10}=\frac{200}{x}$,解得x=20。经检验,x=20是原方程的解,且符合题意,所以x+10=20+10=30。答:基础模式的速度为20米/分,标准模式的速度为30米/分。
任务二 解:由题意,得$1+a+\frac{70}{20}=5$,解得a=0.5。答:实验2中机器人乙故障时长a的值为0.5。
任务三 解:设甲的运动时间为t分钟。当0＜t≤1时,30×2t-30t=10,解得$t=\frac{1}{3}$。当1＜t≤1.5时,30×2×1-30t=10,解得$t=\frac{5}{3}$(不符合题意,舍去)。当1.5＜t≤5时,|30×2×1+20(t-1.5)-30t|=10,即30-10t=10,或10t-30=10,解得t=2,或t=4。答:实验2整个过程中第$\frac{1}{3}$分钟或第2分钟或第4分钟时,两个机器人之间的距离等于10米。
任务二 解:由题意,得$1+a+\frac{70}{20}=5$,解得a=0.5。答:实验2中机器人乙故障时长a的值为0.5。
任务三 解:设甲的运动时间为t分钟。当0＜t≤1时,30×2t-30t=10,解得$t=\frac{1}{3}$。当1＜t≤1.5时,30×2×1-30t=10,解得$t=\frac{5}{3}$(不符合题意,舍去)。当1.5＜t≤5时,|30×2×1+20(t-1.5)-30t|=10,即30-10t=10,或10t-30=10,解得t=2,或t=4。答:实验2整个过程中第$\frac{1}{3}$分钟或第2分钟或第4分钟时,两个机器人之间的距离等于10米。
解析
【分析】
要解决这道题，分三个任务逐步分析：
1. 任务一：根据性能信息，设基础模式速度为未知数，利用实验1中“标准模式跑300米与基础模式跑200米时间相等”的条件，结合时间=路程/速度列分式方程，求解两种模式的速度。
2. 任务二：先确定基础模式速度（由任务一得出），再分析乙的运动过程：全速跑1分钟、故障a分钟、基础模式跑70米，总时间为5分钟，据此列一元一次方程求a。
3. 任务三：分三个时间段讨论甲、乙的运动状态（0＜t≤1时乙全速、1＜t≤1.5时乙故障、1.5＜t≤5时乙基础模式），根据“距离等于10米”的条件，列绝对值方程求解对应时间。
【解析】
任务一：设基础模式的速度为$x$米/分，则标准模式的速度为$(x+10)$米/分。
根据实验1的时间相等关系，列方程：$\frac{300}{x+10}=\frac{200}{x}$
交叉相乘得：$300x=200(x+10)$
化简：$300x=200x+2000$，解得$x=20$
经检验，$x=20$是原方程的解，且符合题意，因此标准模式速度为$20+10=30$米/分。
任务二：由任务一知基础模式速度为20米/分，乙跑70米的时间为$\frac{70}{20}=3.5$分钟。
根据总时间5分钟，列方程：$1+a+3.5=5$
解得：$a=0.5$
任务三：设甲的运动时间为$t$分钟，分情况讨论：
①当$0＜t≤1$时，乙全速模式速度为$30×2=60$米/分，甲速度30米/分，距离为$60t-30t=30t$，令$30t=10$，解得$t=\frac{1}{3}$，符合范围；
②当$1＜t≤1.5$时，乙故障停在原地，路程为$60×1=60$米，甲路程为$30t$，距离为$60-30t$，令$60-30t=10$，解得$t=\frac{5}{3}$，超出$1.5$，舍去；
③当$1.5＜t≤5$时，乙基础模式路程为$60+20(t-1.5)=30+20t$，甲路程为$30t$，距离为$|(30+20t)-30t|=|30-10t|$，令$|30-10t|=10$，解得$t=2$或$t=4$，均符合范围。
【答案】
任务一：基础模式速度为20米/分，标准模式速度为30米/分；任务二：$a=0.5$；任务三：第$\frac{1}{3}$分钟、第2分钟、第4分钟。
【知识点】
分式方程应用、一元一次方程应用、行程问题
【点评】
本题结合机器人跑步的不同模式，通过行程问题的分段讨论考查方程的应用，需理清各阶段的速度与时间关系，难度适中，需注意分段讨论的合理性。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，分三个任务逐步分析：
1. 任务一：根据性能信息，设基础模式速度为未知数，利用实验1中“标准模式跑300米与基础模式跑200米时间相等”的条件，结合时间=路程/速度列分式方程，求解两种模式的速度。
2. 任务二：先确定基础模式速度（由任务一得出），再分析乙的运动过程：全速跑1分钟、故障a分钟、基础模式跑70米，总时间为5分钟，据此列一元一次方程求a。
3. 任务三：分三个时间段讨论甲、乙的运动状态（0＜t≤1时乙全速、1＜t≤1.5时乙故障、1.5＜t≤5时乙基础模式），根据“距离等于10米”的条件，列绝对值方程求解对应时间。
【解析】
任务一：设基础模式的速度为$x$米/分，则标准模式的速度为$(x+10)$米/分。
根据实验1的时间相等关系，列方程：$\frac{300}{x+10}=\frac{200}{x}$
交叉相乘得：$300x=200(x+10)$
化简：$300x=200x+2000$，解得$x=20$
经检验，$x=20$是原方程的解，且符合题意，因此标准模式速度为$20+10=30$米/分。
任务二：由任务一知基础模式速度为20米/分，乙跑70米的时间为$\frac{70}{20}=3.5$分钟。
根据总时间5分钟，列方程：$1+a+3.5=5$
解得：$a=0.5$
任务三：设甲的运动时间为$t$分钟，分情况讨论：
①当$0＜t≤1$时，乙全速模式速度为$30×2=60$米/分，甲速度30米/分，距离为$60t-30t=30t$，令$30t=10$，解得$t=\frac{1}{3}$，符合范围；
②当$1＜t≤1.5$时，乙故障停在原地，路程为$60×1=60$米，甲路程为$30t$，距离为$60-30t$，令$60-30t=10$，解得$t=\frac{5}{3}$，超出$1.5$，舍去；
③当$1.5＜t≤5$时，乙基础模式路程为$60+20(t-1.5)=30+20t$，甲路程为$30t$，距离为$|(30+20t)-30t|=|30-10t|$，令$|30-10t|=10$，解得$t=2$或$t=4$，均符合范围。
【答案】
任务一：基础模式速度为20米/分，标准模式速度为30米/分；任务二：$a=0.5$；任务三：第$\frac{1}{3}$分钟、第2分钟、第4分钟。
【知识点】
分式方程应用、一元一次方程应用、行程问题
【点评】
本题结合机器人跑步的不同模式，通过行程问题的分段讨论考查方程的应用，需理清各阶段的速度与时间关系，难度适中，需注意分段讨论的合理性。
【难度系数】
0.5
