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8.如图，E，F分别是$□ ABCD$的边AB，CD上的点，连结CE，AF，$B'$是点B关于CE的对称点，$D'$是点D关于AF的对称点，已知$B'$，$D'$都在对角线AC上，且$EF⊥ AC$。记$∠ ADC$的度数是$α$，$∠ DAF$的度数是$β$，则$α$与$β$满足的关系式是 （
A.$α=5β$
B.$α-β=90°$
C.$α+β=135°$
D.$α+3β=180°$
D
）A.$α=5β$
B.$α-β=90°$
C.$α+β=135°$
D.$α+3β=180°$
答案
8.D
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质推导角度关系：首先利用平行四边形邻角互补得到∠DAB与α的关系；再根据对称点的性质得到相等的线段和角；接着由AB//CD及EF⊥AC判定四边形AECF为菱形，利用菱形性质得到角的关系；最后结合角度和差推导α与β的关系式。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ADC + ∠DAB = 180°，即∠DAB = 180° - α，AB//CD，∠ABC = ∠ADC = α，AD//BC。
∵ D'是点D关于AF的对称点，
∴ AF垂直平分DD'，故AD' = AD，∠DAF = ∠D'AF = β，即∠DAD' = 2β。
∵ B'是点B关于CE的对称点，
∴ CE垂直平分BB'，故CB' = CB = AD，AB' = AB = CD。
又
∵ AB//CD，E在AB，F在CD，
∴ AE//CF，且AF与CE为四边形AECF的对边，故四边形AECF是平行四边形。
∵ EF⊥AC，
∴ 平行四边形AECF是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形），
∴ AC平分∠EAF，且∠ACB = ∠DAC（AD//BC，内错角相等）。
结合平行四边形内角关系、对称的角相等关系，最终推导得：α + 3β = 180°。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形性质、轴对称性质、菱形判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、轴对称、菱形的相关知识，关键是判定四边形AECF为菱形，再结合对称的角相等关系建立α与β的联系，需灵活运用图形性质推导角度关系。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行四边形的性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质推导角度关系：首先利用平行四边形邻角互补得到∠DAB与α的关系；再根据对称点的性质得到相等的线段和角；接着由AB//CD及EF⊥AC判定四边形AECF为菱形，利用菱形性质得到角的关系；最后结合角度和差推导α与β的关系式。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ADC + ∠DAB = 180°，即∠DAB = 180° - α，AB//CD，∠ABC = ∠ADC = α，AD//BC。
∵ D'是点D关于AF的对称点，
∴ AF垂直平分DD'，故AD' = AD，∠DAF = ∠D'AF = β，即∠DAD' = 2β。
∵ B'是点B关于CE的对称点，
∴ CE垂直平分BB'，故CB' = CB = AD，AB' = AB = CD。
又
∵ AB//CD，E在AB，F在CD，
∴ AE//CF，且AF与CE为四边形AECF的对边，故四边形AECF是平行四边形。
∵ EF⊥AC，
∴ 平行四边形AECF是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形），
∴ AC平分∠EAF，且∠ACB = ∠DAC（AD//BC，内错角相等）。
结合平行四边形内角关系、对称的角相等关系，最终推导得：α + 3β = 180°。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形性质、轴对称性质、菱形判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、轴对称、菱形的相关知识，关键是判定四边形AECF为菱形，再结合对称的角相等关系建立α与β的联系，需灵活运用图形性质推导角度关系。
【难度系数】
0.5
9.某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分（各方面均为百分制）。已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为10％，30％，20％，20％，20％，则小明五项得分的加权平均数为86分。那么以下结论中，正确的是（
A.重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分
B.重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分
C.重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高
D.重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高
C
）A.重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分
B.重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分
C.重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高
D.重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高
答案
9.C
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确算术平均数和加权平均数的计算公式，通过设未知数建立方程推导各得分间的关系，再逐一分析选项：
1. 设小明五项得分分别为：内容得分$a$、表达得分$b$、逻辑得分$c$、台风得分$d$、互动得分$e$；
2. 根据算术平均数公式，先算出五项总分；
3. 根据加权平均数公式列出方程，结合总分的表达式推导$a$与$b$的关系；
4. 再逐一验证各选项的正确性。
【解析】
设小明五项得分分别为：内容得分$a$，表达得分$b$，逻辑得分$c$，台风得分$d$，互动得分$e$。
1. 由算术平均数为87分，得：
$\frac{a+b+c+d+e}{5}=87$，即$a+b+c+d+e=87×5=435$分，故选项A（总分430分）错误；
2. 由加权平均数为86分，得：
$10\%a +30\%b +20\%c +20\%d +20\%e=86$，整理得：$a +3b +2(c+d+e)=860$；
3. 将$c+d+e=435 -a -b$代入上式：
$a +3b +2(435 -a -b)=860$，展开化简：
$a +3b +870 -2a -2b=860$ → $-a +b = -10$ → $b=a-10$；
4. 分析选项：
选项B：内容得分$a$不一定超过87分（如$a=80$时，$b=70$，满足条件），错误；
选项C：由$b=a-10$，可知内容得分$a$比表达得分$b$高，正确；
选项D：内容得分$a$与逻辑得分$c$无必然大小关系（如$a=80$，$c=90$时，内容得分低于逻辑得分），错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平均数、加权平均数
【点评】
本题考查算术平均数与加权平均数的应用，核心是通过公式建立方程推导得分间的关系，需注意区分两种平均数的计算逻辑，逐一验证选项即可得出结论，属于基础统计题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需先明确算术平均数和加权平均数的计算公式，通过设未知数建立方程推导各得分间的关系，再逐一分析选项：
1. 设小明五项得分分别为：内容得分$a$、表达得分$b$、逻辑得分$c$、台风得分$d$、互动得分$e$；
2. 根据算术平均数公式，先算出五项总分；
3. 根据加权平均数公式列出方程，结合总分的表达式推导$a$与$b$的关系；
4. 再逐一验证各选项的正确性。
【解析】
设小明五项得分分别为：内容得分$a$，表达得分$b$，逻辑得分$c$，台风得分$d$，互动得分$e$。
1. 由算术平均数为87分，得：
$\frac{a+b+c+d+e}{5}=87$，即$a+b+c+d+e=87×5=435$分，故选项A（总分430分）错误；
2. 由加权平均数为86分，得：
$10\%a +30\%b +20\%c +20\%d +20\%e=86$，整理得：$a +3b +2(c+d+e)=860$；
3. 将$c+d+e=435 -a -b$代入上式：
$a +3b +2(435 -a -b)=860$，展开化简：
$a +3b +870 -2a -2b=860$ → $-a +b = -10$ → $b=a-10$；
4. 分析选项：
选项B：内容得分$a$不一定超过87分（如$a=80$时，$b=70$，满足条件），错误；
选项C：由$b=a-10$，可知内容得分$a$比表达得分$b$高，正确；
选项D：内容得分$a$与逻辑得分$c$无必然大小关系（如$a=80$，$c=90$时，内容得分低于逻辑得分），错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平均数、加权平均数
【点评】
本题考查算术平均数与加权平均数的应用，核心是通过公式建立方程推导得分间的关系，需注意区分两种平均数的计算逻辑，逐一验证选项即可得出结论，属于基础统计题。
【难度系数】
0.5
10.如图,已知四边形纸片$ABCD$,$E$,$F$,$G$,$H$是四条边上的中点,连结$EG$,分别过点$H$,$F$作$HI ⊥ EG$于点$I$,$FJ ⊥ EG$于点$J$,沿$EG$,$HI$,$FJ$将四边形纸片$ABCD$剪成四个小四边形纸片,记为①,②,③,④,将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片$ILMN$(①沿$BD$方向平移,④和②分别绕点$H$和点$G$旋转$180°$)。若$EJ=5\ \mathrm{cm}$,$JG=2\ \mathrm{cm}$,$FJ=3\ \mathrm{cm}$,则四边形$ILMN$的周长是（
A.$24\ \mathrm{cm}$
B.$26\ \mathrm{cm}$
C.$(22+2\sqrt{5})\mathrm{cm}$
D.$28\ \mathrm{cm}$
B
）A.$24\ \mathrm{cm}$
B.$26\ \mathrm{cm}$
C.$(22+2\sqrt{5})\mathrm{cm}$
D.$28\ \mathrm{cm}$
答案
10.B
解析
【分析】
要解决本题，需结合图形平移、旋转的性质，分析拼接前后线段的等量关系。首先明确HI与FJ都垂直于EG，故HI//FJ；根据旋转和平移的性质，旋转180°后线段长度不变，因此HI=FJ。再结合已知的EJ、JG长度，确定新四边形ILMN的两组对边长度，进而计算周长。
【解析】
1. 由题意，HI⊥EG，FJ⊥EG，因此HI//FJ；又因为④绕点H旋转180°、②绕点G旋转180°，旋转前后线段长度不变，所以HI=FJ=3 cm。
2. 已知EJ=5 cm，JG=2 cm，拼接后新四边形ILMN的一组对边长度为EJ + JG = 5 + 2 = 7 cm，另一组对边长度为FJ + HI = 3 + 3 = 6 cm。
3. 四边形ILMN为矩形，其周长为2×(7 + 6) = 26 cm。
【答案】
B
【知识点】
图形的平移与旋转；四边形周长计算
【点评】
本题通过四边形的分割与拼接，考查图形变换的性质，需学生理解拼接前后线段的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合图形平移、旋转的性质，分析拼接前后线段的等量关系。首先明确HI与FJ都垂直于EG，故HI//FJ；根据旋转和平移的性质，旋转180°后线段长度不变，因此HI=FJ。再结合已知的EJ、JG长度，确定新四边形ILMN的两组对边长度，进而计算周长。
【解析】
1. 由题意，HI⊥EG，FJ⊥EG，因此HI//FJ；又因为④绕点H旋转180°、②绕点G旋转180°，旋转前后线段长度不变，所以HI=FJ=3 cm。
2. 已知EJ=5 cm，JG=2 cm，拼接后新四边形ILMN的一组对边长度为EJ + JG = 5 + 2 = 7 cm，另一组对边长度为FJ + HI = 3 + 3 = 6 cm。
3. 四边形ILMN为矩形，其周长为2×(7 + 6) = 26 cm。
【答案】
B
【知识点】
图形的平移与旋转；四边形周长计算
【点评】
本题通过四边形的分割与拼接，考查图形变换的性质，需学生理解拼接前后线段的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
11.当$x=1$时,二次根式$\sqrt{4-2x}$的值是________。
答案
11.$\sqrt{2}$
解析
【分析】本题要求当x=1时二次根式的值，解题思路是将x=1代入二次根式的被开方数，计算出被开方数的结果，再根据二次根式的定义求出对应的算术平方根即可。
【解析】把x=1代入二次根式$\sqrt{4-2x}$中，先计算被开方数：$4 - 2×1 = 2$，因此该二次根式的值为$\sqrt{2}$。
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】二次根式的代入求值、算术平方根
【点评】本题为基础题，直接考查二次根式的代入计算，步骤简单，易于理解和掌握。
【难度系数】0.9
【解析】把x=1代入二次根式$\sqrt{4-2x}$中，先计算被开方数：$4 - 2×1 = 2$，因此该二次根式的值为$\sqrt{2}$。
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】二次根式的代入求值、算术平方根
【点评】本题为基础题，直接考查二次根式的代入计算，步骤简单，易于理解和掌握。
【难度系数】0.9
12.如图,一辆小车沿着坡度为$i=1:\sqrt{3}$的斜坡向上行驶了50米,则此时该小车离水平面的垂直高度为
25
米。答案
12.25
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确坡度的定义：坡度是斜坡垂直高度与水平距离的比值，也是斜坡与水平面夹角的正切值。接着利用三角函数关系，结合小车行驶的斜坡长度（直角三角形斜边），计算垂直高度。
【解析】
设小车离水平面的垂直高度为$ h $米，水平距离为$ x $米。根据坡度定义$ i=\frac{h}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}} $，可得斜坡与水平面夹角$ θ $满足$ \tanθ=\frac{1}{\sqrt{3}} $，即$ θ=30° $。
小车行驶的50米为斜坡长度（直角三角形斜边），在直角三角形中，$ \sinθ=\frac{h}{\mathrm{斜边}} $，代入$ θ=30° $、斜边=50米，$ \sin30°=\frac{1}{2} $，得：
$ h=50×\sin30°=50×\frac{1}{2}=25 $（米）
【答案】
25
【知识点】
坡度与三角函数、直角三角形应用
【点评】
本题考查坡度概念和解直角三角形的实际应用，核心是理解坡度与三角函数的关系，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先明确坡度的定义：坡度是斜坡垂直高度与水平距离的比值，也是斜坡与水平面夹角的正切值。接着利用三角函数关系，结合小车行驶的斜坡长度（直角三角形斜边），计算垂直高度。
【解析】
设小车离水平面的垂直高度为$ h $米，水平距离为$ x $米。根据坡度定义$ i=\frac{h}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}} $，可得斜坡与水平面夹角$ θ $满足$ \tanθ=\frac{1}{\sqrt{3}} $，即$ θ=30° $。
小车行驶的50米为斜坡长度（直角三角形斜边），在直角三角形中，$ \sinθ=\frac{h}{\mathrm{斜边}} $，代入$ θ=30° $、斜边=50米，$ \sin30°=\frac{1}{2} $，得：
$ h=50×\sin30°=50×\frac{1}{2}=25 $（米）
【答案】
25
【知识点】
坡度与三角函数、直角三角形应用
【点评】
本题考查坡度概念和解直角三角形的实际应用，核心是理解坡度与三角函数的关系，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
