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1. 按一定规律排列的单项式：$5a$，$8a^2$，$11a^3$，$14a^4$，$···$. 按此规律排列的第$n$个单项式为________.(用含$a$和$n$的代数式表示)
答案
$(3n+2)a^n$
解析
【分析】
要确定第n个单项式，我们可以把单项式拆成系数和含字母的部分分别找规律：①先看系数：给出的系数依次是5、8、11、14，观察发现每个系数都比前一个大3，结合序号n对应可知：第1个的系数是5=3×1+2，第2个的系数是8=3×2+2，第3个的系数是11=3×3+2，以此类推就能得到第n个的系数表达式；②再看字母部分：第1个单项式中a的次数是1，第2个是2，第3个是3，可得第n个单项式中a的次数就是n；最后把两部分规律组合起来就是第n个单项式。
【解析】
我们逐个分析已知单项式和对应序号的关系：
第1个单项式：$5a=(3×1+2)a^1$
第2个单项式：$8a^2=(3×2+2)a^2$
第3个单项式：$11a^3=(3×3+2)a^3$
第4个单项式：$14a^4=(3×4+2)a^4$
……
按照这个规律，第n个单项式的系数为$3n+2$，字母部分为$a^n$，因此第n个单项式为$(3n+2)a^n$。
【答案】
$(3n+2)a^n$
【知识点】
单项式的结构；规律探究；列代数式
【点评】
本题是典型的代数式规律探究题，解题的核心是将复杂的单项式拆分为系数、字母次数两个独立部分分别寻找对应序号的规律，再合并得到通用表达式，能有效锻炼观察和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
要确定第n个单项式，我们可以把单项式拆成系数和含字母的部分分别找规律：①先看系数：给出的系数依次是5、8、11、14，观察发现每个系数都比前一个大3，结合序号n对应可知：第1个的系数是5=3×1+2，第2个的系数是8=3×2+2，第3个的系数是11=3×3+2，以此类推就能得到第n个的系数表达式；②再看字母部分：第1个单项式中a的次数是1，第2个是2，第3个是3，可得第n个单项式中a的次数就是n；最后把两部分规律组合起来就是第n个单项式。
【解析】
我们逐个分析已知单项式和对应序号的关系：
第1个单项式：$5a=(3×1+2)a^1$
第2个单项式：$8a^2=(3×2+2)a^2$
第3个单项式：$11a^3=(3×3+2)a^3$
第4个单项式：$14a^4=(3×4+2)a^4$
……
按照这个规律，第n个单项式的系数为$3n+2$，字母部分为$a^n$，因此第n个单项式为$(3n+2)a^n$。
【答案】
$(3n+2)a^n$
【知识点】
单项式的结构；规律探究；列代数式
【点评】
本题是典型的代数式规律探究题，解题的核心是将复杂的单项式拆分为系数、字母次数两个独立部分分别寻找对应序号的规律，再合并得到通用表达式，能有效锻炼观察和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
2.有$n$个依次排列的整式,第一项是$a^2(a≠0)$,第二项是$a^2+2a+1$,用第二项减第一项,将所得的差记为$b_1$,将$b_1$与2的和记为$b_2$,第二项与$b_2$的和是第三项,然后将$b_2$与2的和记为$b_3$,第三项与$b_3$的和是第四项…….
(1)$b_2=$
(2)第四项与第五项之和的一次项系数为
(1)$b_2=$
$2a+3$
;(用含$a$的代数式表示)(2)第四项与第五项之和的一次项系数为
$14$
.答案
2. (1) $2a+3$ (2) $14$
解析
【分析】
（1）求解$b_2$需先根据定义计算$b_1$：$b_1$是第二项减第一项，先算出$b_1$的代数式，再根据“$b_2$是$b_1$与2的和”即可求出$b_2$。（2）求解第四项与第五项之和的一次项系数，需按照题目给出的递推规则，依次算出$b_3$、第三项、$b_4$、第四项、第五项，再将第四项和第五项相加，合并同类项后找到一次项的系数即可。
【解析】
(1) 由题意得：
第一项为$a^2$，第二项为$a^2+2a+1$，
$b_1 = 第二项 - 第一项 = (a^2+2a+1) - a^2 = 2a+1$，
又因为$b_2 = b_1 + 2$，
所以$b_2 = (2a+1) + 2 = 2a+3$。
(2) 依次计算各整式：
第三项 = 第二项 + $b_2$ = $(a^2+2a+1) + (2a+3) = a^2 + 4a + 4$，
$b_3 = b_2 + 2 = (2a+3) + 2 = 2a+5$，
第四项 = 第三项 + $b_3$ = $(a^2+4a+4) + (2a+5) = a^2 + 6a + 9$，
$b_4 = b_3 + 2 = (2a+5) + 2 = 2a+7$，
第五项 = 第四项 + $b_4$ = $(a^2+6a+9) + (2a+7) = a^2 + 8a + 16$，
第四项与第五项之和为：
$(a^2 + 6a + 9) + (a^2 + 8a + 16) = 2a^2 + 14a + 25$，
所以一次项系数为14。
【答案】
(1) $2a+3$；(2) $14$
【知识点】
整式的加减运算；规律探究；合并同类项
【点评】
本题核心考查对递推规则的理解和整式加减的运算能力，只要严格按照题目给出的步骤依次计算，注意合并同类项时系数计算准确，就能顺利得到结果。
【难度系数】
0.7
（1）求解$b_2$需先根据定义计算$b_1$：$b_1$是第二项减第一项，先算出$b_1$的代数式，再根据“$b_2$是$b_1$与2的和”即可求出$b_2$。（2）求解第四项与第五项之和的一次项系数，需按照题目给出的递推规则，依次算出$b_3$、第三项、$b_4$、第四项、第五项，再将第四项和第五项相加，合并同类项后找到一次项的系数即可。
【解析】
(1) 由题意得：
第一项为$a^2$，第二项为$a^2+2a+1$，
$b_1 = 第二项 - 第一项 = (a^2+2a+1) - a^2 = 2a+1$，
又因为$b_2 = b_1 + 2$，
所以$b_2 = (2a+1) + 2 = 2a+3$。
(2) 依次计算各整式：
第三项 = 第二项 + $b_2$ = $(a^2+2a+1) + (2a+3) = a^2 + 4a + 4$，
$b_3 = b_2 + 2 = (2a+3) + 2 = 2a+5$，
第四项 = 第三项 + $b_3$ = $(a^2+4a+4) + (2a+5) = a^2 + 6a + 9$，
$b_4 = b_3 + 2 = (2a+5) + 2 = 2a+7$，
第五项 = 第四项 + $b_4$ = $(a^2+6a+9) + (2a+7) = a^2 + 8a + 16$，
第四项与第五项之和为：
$(a^2 + 6a + 9) + (a^2 + 8a + 16) = 2a^2 + 14a + 25$，
所以一次项系数为14。
【答案】
(1) $2a+3$；(2) $14$
【知识点】
整式的加减运算；规律探究；合并同类项
【点评】
本题核心考查对递推规则的理解和整式加减的运算能力，只要严格按照题目给出的步骤依次计算，注意合并同类项时系数计算准确，就能顺利得到结果。
【难度系数】
0.7
3.(2026重庆九龙坡区期末)下列图形都是由正方形按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有8个正方形,第②个图形中一共有15个正方形,第③个图形中一共有22个正方形……,按此规律排列,第⑥个图形中正方形的个数为 (
A.50
B.48
C.43
D.40
C
)A.50
B.48
C.43
D.40
答案
3. C 解析 观察题图,第①个图形中有8个正方形,第②个图形中有8+7=15(个)正方形,第③个图形中有8+7×2=22(个)正方形,……,第$n$个图形中有8+7(n-1)=(7n+1)个正方形. 当n=6时,7n+1=7×6+1=43. 故选 C.
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时先梳理已知条件：第①个图形有8个正方形，第②个有15个，第③个有22个。首先计算相邻两个图形的正方形数量差，可发现后一个图形总比前一个多7个正方形，属于固定增量的规律。接下来推导第n个图形的正方形数量通用表达式，最后将n=6代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
观察图形的数量变化规律：
第①个图形中正方形的个数：$8$；
第②个图形中正方形的个数：$8+7=15$；
第③个图形中正方形的个数：$8+7× 2=22$；
……
由此可得，第$n$个图形中正方形的个数为：$8+7(n-1)=7n+1$；
当$n=6$时，代入表达式计算：$7×6+1=43$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；整式化简；代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题型，解题核心是通过观察已知图形的数量变化特征，总结出通用的数量表达式，再代入对应序数求解，能够很好地考查学生的观察能力与归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题时先梳理已知条件：第①个图形有8个正方形，第②个有15个，第③个有22个。首先计算相邻两个图形的正方形数量差，可发现后一个图形总比前一个多7个正方形，属于固定增量的规律。接下来推导第n个图形的正方形数量通用表达式，最后将n=6代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
观察图形的数量变化规律：
第①个图形中正方形的个数：$8$；
第②个图形中正方形的个数：$8+7=15$；
第③个图形中正方形的个数：$8+7× 2=22$；
……
由此可得，第$n$个图形中正方形的个数为：$8+7(n-1)=7n+1$；
当$n=6$时，代入表达式计算：$7×6+1=43$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；整式化简；代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题型，解题核心是通过观察已知图形的数量变化特征，总结出通用的数量表达式，再代入对应序数求解，能够很好地考查学生的观察能力与归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
4.(2026湖南岳阳岳阳楼区期末)如图,现有若干片相同的拼图,其凸出的部分是直径为6 cm的圆的一半,4片拼图紧密拼成一排时的长度为47 cm,则5片拼图紧密拼成一排时的长度为
$58$
cm,n片拼图紧密拼成一排时的长度为$(11n+3)$
(用含n的代数式表示)cm.答案
4. 58; $(11n+3)$ 解析 因为$(47-3)÷4=11(\mathrm{cm})$,所以1片拼图的长度为$1×11+3=14(\mathrm{cm})$,2片拼图紧密拼成一排时的长度为$2×11+3=25(\mathrm{cm})$,3片拼图紧密拼成一排时的长度为$3×11+3=36(\mathrm{cm})$,……,n片拼图紧密拼成一排时的长度为$(11n+3)\mathrm{cm}$. 当$n=5$时,$11n+3=11×5+3=58(\mathrm{cm})$,即5张拼图紧密拼成一排时的长度为58 cm.
解析
【分析】
首先观察拼图的拼接特点：相邻两片拼图拼接时，凸出的半圆和凹进的半圆会重合，因此每多拼1片拼图，总长度增加的量是固定的，属于线性规律探究题。我们可以先结合已知的4片拼图总长47cm的条件，找到总长度和拼图数量之间的关系，推导通用的代数式，再代入数值计算5片拼图的长度即可。
【解析】
解：观察图形可知，半圆直径为6cm，因此最右端凸出的半圆的半径为$6÷2=3\mathrm{cm}$，这部分是总长度里固定不变的常量。
已知4片拼图总长47cm，除去固定的3cm，剩余长度平均到每片的增量为：$(47-3)÷4=11\mathrm{cm}$，即每增加1片拼图，总长度增加11cm。
因此n片拼图紧密拼成一排的长度为：$11n + 3$（单位：cm）。
当$n=5$时，代入表达式得总长度为：$11×5 + 3 = 58\mathrm{cm}$。
【答案】
58；$(11n+3)$
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题是典型的图形拼接类规律探究题，解题核心是区分总长度中固定不变的部分和随拼图数量变化的部分，考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
首先观察拼图的拼接特点：相邻两片拼图拼接时，凸出的半圆和凹进的半圆会重合，因此每多拼1片拼图，总长度增加的量是固定的，属于线性规律探究题。我们可以先结合已知的4片拼图总长47cm的条件，找到总长度和拼图数量之间的关系，推导通用的代数式，再代入数值计算5片拼图的长度即可。
【解析】
解：观察图形可知，半圆直径为6cm，因此最右端凸出的半圆的半径为$6÷2=3\mathrm{cm}$，这部分是总长度里固定不变的常量。
已知4片拼图总长47cm，除去固定的3cm，剩余长度平均到每片的增量为：$(47-3)÷4=11\mathrm{cm}$，即每增加1片拼图，总长度增加11cm。
因此n片拼图紧密拼成一排的长度为：$11n + 3$（单位：cm）。
当$n=5$时，代入表达式得总长度为：$11×5 + 3 = 58\mathrm{cm}$。
【答案】
58；$(11n+3)$
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题是典型的图形拼接类规律探究题，解题核心是区分总长度中固定不变的部分和随拼图数量变化的部分，考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
5. 将长方形区域分割成三角形的过程是在长方形内取一定数量的点,连同长方形的4个顶点,逐步连接这些点,并保证所有连线不再相交产生新的点,直到长方形内所有区域都变成三角形. 如图1,当长方形内有1个点时,可分得4个三角形;如图2,当长方形内有2个点时,可分得6个三角形(不计被分割的三角形). 当长方形内有36个点时,可分得
$74$
个三角形. 答案
5. 74 启发与线索 观察可得当长方形内有$n$个点时,可分得$(2n+2)$个三角形.
解析
【分析】
我们采用从特殊到一般的思路解题：首先整理已知条件：①当长方形内有1个点时，分得4个三角形；②当长方形内有2个点时，分得6个三角形。观察两组数据的对应关系可发现，每增加1个内部点，三角形个数就增加2个，由此可推导n个内部点对应的三角形个数公式，最后将n=36代入公式计算即可。
【解析】
解：根据题意整理已知数据：
当长方形内点的个数$n=1$时，三角形个数为$4=2×1+2$；
当长方形内点的个数$n=2$时，三角形个数为$6=2×2+2$；
由此可总结规律：当长方形内有$n$个点时，分得的三角形个数为$2n+2$。
当$n=36$时，三角形个数$=2×36+2=74$。
【答案】
74
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题型，核心是通过已知的特殊情况归纳出通用的数量关系，解题时要重点观察数量随点数变化的增量特征，再代入对应数值求解即可。
【难度系数】
0.7
我们采用从特殊到一般的思路解题：首先整理已知条件：①当长方形内有1个点时，分得4个三角形；②当长方形内有2个点时，分得6个三角形。观察两组数据的对应关系可发现，每增加1个内部点，三角形个数就增加2个，由此可推导n个内部点对应的三角形个数公式，最后将n=36代入公式计算即可。
【解析】
解：根据题意整理已知数据：
当长方形内点的个数$n=1$时，三角形个数为$4=2×1+2$；
当长方形内点的个数$n=2$时，三角形个数为$6=2×2+2$；
由此可总结规律：当长方形内有$n$个点时，分得的三角形个数为$2n+2$。
当$n=36$时，三角形个数$=2×36+2=74$。
【答案】
74
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题型，核心是通过已知的特殊情况归纳出通用的数量关系，解题时要重点观察数量随点数变化的增量特征，再代入对应数值求解即可。
【难度系数】
0.7
6.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的.
观察可得，a的值为
观察可得，a的值为
$9$
，b的值为$10$
，x的值为$69$
.答案
6. 9; 10; 69
解析
【分析】
解决本题可分三步找规律：①先观察左上角和右上角数字的关系：前4个表格右上角数字依次为12、18、24、30，可发现右上角数字=6×(左上角数字+1)，结合最后一个表格右上角为60，即可求出a的值；②再观察左上角和左下角数字的关系：每个表格左下角数字都比左上角数字大1，由此可求b的值；③最后观察右下角数字和其他位置的关系：前4个表格右下角数字均等于右上角数字加左上角数字，代入数值即可求出x的值。每找到一个规律要先验证是否符合所有已知表格，避免规律错误。
【解析】
1. 求a的值：
观察前4个表格右上角的数字：
第1个：$12=6×(1+1)$，第2个：$18=6×(2+1)$，第3个：$24=6×(3+1)$，第4个：$30=6×(4+1)$
可得规律：右上角数字$=6×($左上角数字$+1)$
已知最后一个表格右上角为60，左上角为a，列方程得：
$6(a+1)=60$
解得$a=9$
2. 求b的值：
观察前4个表格左下角的数字：2、3、4、5，分别比对应左上角的1、2、3、4大1
可得规律：左下角数字$=$左上角数字$+1$
所以$b=a+1=9+1=10$
3. 求x的值：
观察前4个表格右下角的数字：
第1个：$13=12+1$，第2个：$20=18+2$，第3个：$27=24+3$，第4个：$34=30+4$
可得规律：右下角数字$=$右上角数字$+$左上角数字
所以$x=60+a=60+9=69$
【答案】
9；10；69
【知识点】
数字规律探索；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于表格类规律探究题，解题的核心是分位置观察数字变化特点，找到不同位置数字间的运算关系，注意总结出规律后要先用已知的表格验证规律的正确性，再代入求解未知量。
【难度系数】
0.7
解决本题可分三步找规律：①先观察左上角和右上角数字的关系：前4个表格右上角数字依次为12、18、24、30，可发现右上角数字=6×(左上角数字+1)，结合最后一个表格右上角为60，即可求出a的值；②再观察左上角和左下角数字的关系：每个表格左下角数字都比左上角数字大1，由此可求b的值；③最后观察右下角数字和其他位置的关系：前4个表格右下角数字均等于右上角数字加左上角数字，代入数值即可求出x的值。每找到一个规律要先验证是否符合所有已知表格，避免规律错误。
【解析】
1. 求a的值：
观察前4个表格右上角的数字：
第1个：$12=6×(1+1)$，第2个：$18=6×(2+1)$，第3个：$24=6×(3+1)$，第4个：$30=6×(4+1)$
可得规律：右上角数字$=6×($左上角数字$+1)$
已知最后一个表格右上角为60，左上角为a，列方程得：
$6(a+1)=60$
解得$a=9$
2. 求b的值：
观察前4个表格左下角的数字：2、3、4、5，分别比对应左上角的1、2、3、4大1
可得规律：左下角数字$=$左上角数字$+1$
所以$b=a+1=9+1=10$
3. 求x的值：
观察前4个表格右下角的数字：
第1个：$13=12+1$，第2个：$20=18+2$，第3个：$27=24+3$，第4个：$34=30+4$
可得规律：右下角数字$=$右上角数字$+$左上角数字
所以$x=60+a=60+9=69$
【答案】
9；10；69
【知识点】
数字规律探索；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于表格类规律探究题，解题的核心是分位置观察数字变化特点，找到不同位置数字间的运算关系，注意总结出规律后要先用已知的表格验证规律的正确性，再代入求解未知量。
【难度系数】
0.7
7. (2025湖南永州道县期中)一些自然数按一定的规律排列如下：
从排列规律可知,99排在第
从排列规律可知,99排在第
$2$
行第$10$
列.答案
7. 2; 10 解析 由题表得每列的第1行的数是列数的平方,每列的第2行的数是列数的平方减1. 因为$99=10^2-1$,所以99排在第2行第10列.
解析
【分析】
要确定99的位置，首先观察数表的排列规律：先看第1行的数字，第1列第1行是1=1²，第2列第1行是4=2²，第3列第1行是9=3²，可推出第n列的第1行的数为n的平方；再观察同一列的数字，第2行的数比同列第1行的数小1。接下来找和99最接近的平方数：比99大的最小平方数是10²=100，100在第1行第10列，那么99就是100减1，对应就是第2行第10列。
【解析】
解：观察数表可得规律：
① 第n列第1行的数为$\boldsymbol{n^2}$；
② 同一列中，第2行的数 = 同列第1行的数 - 1。
已知$10^2=100$，可知100排在第1行第10列，
则$100-1=99$，对应排在第2行第10列。
【答案】
2；10
【知识点】
数表规律探究，平方数的特征
【点评】
本题需要学生通过观察归纳出数表的排列规律，核心是先找到第一行数字和列数的平方关系，再结合同列数字的变化规律即可快速解题，侧重对观察归纳能力的考查。
【难度系数】
0.7
要确定99的位置，首先观察数表的排列规律：先看第1行的数字，第1列第1行是1=1²，第2列第1行是4=2²，第3列第1行是9=3²，可推出第n列的第1行的数为n的平方；再观察同一列的数字，第2行的数比同列第1行的数小1。接下来找和99最接近的平方数：比99大的最小平方数是10²=100，100在第1行第10列，那么99就是100减1，对应就是第2行第10列。
【解析】
解：观察数表可得规律：
① 第n列第1行的数为$\boldsymbol{n^2}$；
② 同一列中，第2行的数 = 同列第1行的数 - 1。
已知$10^2=100$，可知100排在第1行第10列，
则$100-1=99$，对应排在第2行第10列。
【答案】
2；10
【知识点】
数表规律探究，平方数的特征
【点评】
本题需要学生通过观察归纳出数表的排列规律，核心是先找到第一行数字和列数的平方关系，再结合同列数字的变化规律即可快速解题，侧重对观察归纳能力的考查。
【难度系数】
0.7
