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[典例1]计算：
(1)$\dfrac{4x}{3y} · \dfrac{y}{2x^3}$；
(2)$\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{2}{x^2 -1}$；
(3)$\dfrac{x^2 -2xy + y^2}{x^2 +x} · \dfrac{x+1}{x^2 - y^2}$；
(4)$( \dfrac{-a}{3b} )^2 · ( \dfrac{3b}{-c} )^3 ÷ \dfrac{ab^2}{c^2}$；
(5)$( x -1 - \dfrac{8}{x+1} ) ÷ \dfrac{x^2 +6x +9}{x+1}$。
(1)$\dfrac{4x}{3y} · \dfrac{y}{2x^3}$；
(2)$\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{2}{x^2 -1}$；
(3)$\dfrac{x^2 -2xy + y^2}{x^2 +x} · \dfrac{x+1}{x^2 - y^2}$；
(4)$( \dfrac{-a}{3b} )^2 · ( \dfrac{3b}{-c} )^3 ÷ \dfrac{ab^2}{c^2}$；
(5)$( x -1 - \dfrac{8}{x+1} ) ÷ \dfrac{x^2 +6x +9}{x+1}$。
答案
解：
(1) 原式$=\dfrac{4x· y}{3y· 2x^3}=\dfrac{4xy}{6x^3y}=\dfrac{2}{3x^2}$
(2) 原式$=\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\dfrac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x-1+2}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}$
(3) 原式$=\dfrac{(x-y)^2}{x(x+1)}·\dfrac{x+1}{(x+y)(x-y)}$
$=\dfrac{x-y}{x(x+y)}=\dfrac{x-y}{x^2+xy}$
(4) 原式$=\dfrac{a^2}{9b^2}·\dfrac{-27b^3}{c^3}·\dfrac{c^2}{ab^2}$
$=-\dfrac{27a^2b^3c^2}{9ab^4c^3}=-\dfrac{3a}{bc}$
(5) 原式$=(\dfrac{x^2-1}{x+1}-\dfrac{8}{x+1})÷\dfrac{(x+3)^2}{x+1}$
$=\dfrac{x^2-9}{x+1}·\dfrac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+1}·\dfrac{x+1}{(x+3)^2}=\dfrac{x-3}{x+3}$
(1) 原式$=\dfrac{4x· y}{3y· 2x^3}=\dfrac{4xy}{6x^3y}=\dfrac{2}{3x^2}$
(2) 原式$=\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\dfrac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x-1+2}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}$
(3) 原式$=\dfrac{(x-y)^2}{x(x+1)}·\dfrac{x+1}{(x+y)(x-y)}$
$=\dfrac{x-y}{x(x+y)}=\dfrac{x-y}{x^2+xy}$
(4) 原式$=\dfrac{a^2}{9b^2}·\dfrac{-27b^3}{c^3}·\dfrac{c^2}{ab^2}$
$=-\dfrac{27a^2b^3c^2}{9ab^4c^3}=-\dfrac{3a}{bc}$
(5) 原式$=(\dfrac{x^2-1}{x+1}-\dfrac{8}{x+1})÷\dfrac{(x+3)^2}{x+1}$
$=\dfrac{x^2-9}{x+1}·\dfrac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+1}·\dfrac{x+1}{(x+3)^2}=\dfrac{x-3}{x+3}$
解析
【分析】
这是分式四则运算的基础题型，解题思路如下：
1. 分式乘法运算：遵循“分子乘分子作分子，分母乘分母作分母”的规则，运算前可先对分子、分母因式分解，能约分的先约分，最终结果化为最简分式；
2. 分式加减运算：异分母分式先对分母因式分解，找到最简公分母后通分化为同分母分式，再将分子相加减，最后约分得到最简结果；
3. 分式混合运算：先算乘方，再将除法转化为乘法运算，有括号时优先计算括号内的部分；括号内整式与分式相加减时，将整式看作分母为1的分式通分计算，全程要注意符号的正确处理。
【解析】
(1) 原式$=\dfrac{4x· y}{3y· 2x^3}=\dfrac{4xy}{6x^3y}=\dfrac{2}{3x^2}$
(2) 原式$=\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\dfrac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x-1+2}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}$
(3) 原式$=\dfrac{(x-y)^2}{x(x+1)}·\dfrac{x+1}{(x+y)(x-y)}$
$=\dfrac{x-y}{x(x+y)}=\dfrac{x-y}{x^2+xy}$
(4) 原式$=\dfrac{a^2}{9b^2}·\dfrac{-27b^3}{c^3}·\dfrac{c^2}{ab^2}$
$=-\dfrac{27a^2b^3c^2}{9ab^4c^3}=-\dfrac{3a}{bc}$
(5) 原式$=(\dfrac{x^2-1}{x+1}-\dfrac{8}{x+1})÷\dfrac{(x+3)^2}{x+1}$
$=\dfrac{x^2-9}{x+1}·\dfrac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+1}·\dfrac{x+1}{(x+3)^2}=\dfrac{x-3}{x+3}$
【答案】
(1)$\dfrac{2}{3x^2}$；(2)$\dfrac{1}{x-1}$；(3)$\dfrac{x-y}{x^2+xy}$；(4)$-\dfrac{3a}{bc}$；(5)$\dfrac{x-3}{x+3}$
【知识点】
1.分式的基本性质 2.分式的四则运算 3.因式分解
【点评】
本组题目是分式运算的核心基础题型，解题的关键是熟练掌握因式分解方法和分式运算规则，运算过程中要注意符号处理，最终结果必须化为最简分式，熟练掌握这类题目是后续学习分式化简求值、分式方程的重要基础。
【难度系数】
0.7
这是分式四则运算的基础题型，解题思路如下：
1. 分式乘法运算：遵循“分子乘分子作分子，分母乘分母作分母”的规则，运算前可先对分子、分母因式分解，能约分的先约分，最终结果化为最简分式；
2. 分式加减运算：异分母分式先对分母因式分解，找到最简公分母后通分化为同分母分式，再将分子相加减，最后约分得到最简结果；
3. 分式混合运算：先算乘方，再将除法转化为乘法运算，有括号时优先计算括号内的部分；括号内整式与分式相加减时，将整式看作分母为1的分式通分计算，全程要注意符号的正确处理。
【解析】
(1) 原式$=\dfrac{4x· y}{3y· 2x^3}=\dfrac{4xy}{6x^3y}=\dfrac{2}{3x^2}$
(2) 原式$=\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\dfrac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x-1+2}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}$
(3) 原式$=\dfrac{(x-y)^2}{x(x+1)}·\dfrac{x+1}{(x+y)(x-y)}$
$=\dfrac{x-y}{x(x+y)}=\dfrac{x-y}{x^2+xy}$
(4) 原式$=\dfrac{a^2}{9b^2}·\dfrac{-27b^3}{c^3}·\dfrac{c^2}{ab^2}$
$=-\dfrac{27a^2b^3c^2}{9ab^4c^3}=-\dfrac{3a}{bc}$
(5) 原式$=(\dfrac{x^2-1}{x+1}-\dfrac{8}{x+1})÷\dfrac{(x+3)^2}{x+1}$
$=\dfrac{x^2-9}{x+1}·\dfrac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+1}·\dfrac{x+1}{(x+3)^2}=\dfrac{x-3}{x+3}$
【答案】
(1)$\dfrac{2}{3x^2}$；(2)$\dfrac{1}{x-1}$；(3)$\dfrac{x-y}{x^2+xy}$；(4)$-\dfrac{3a}{bc}$；(5)$\dfrac{x-3}{x+3}$
【知识点】
1.分式的基本性质 2.分式的四则运算 3.因式分解
【点评】
本组题目是分式运算的核心基础题型，解题的关键是熟练掌握因式分解方法和分式运算规则，运算过程中要注意符号处理，最终结果必须化为最简分式，熟练掌握这类题目是后续学习分式化简求值、分式方程的重要基础。
【难度系数】
0.7
