11. (2025·温江)如图,在菱形ABCD中,AB= 2,∠B= 30°,P为AD边上一动点,将△PCD沿CP折叠得到△PCD',E为AB边上一点,BE= CE,则D'E的最小值为______。

11. $2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

12. (2023·双流)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,G,H分别是EC,FD的中点,连接GH.若AB= 6,BC= 10,则GH的长度为______。

12. $\frac{\sqrt{34}}{2}$

13. (2022·双流)如图,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,CE与BF交于点P,则DP的长度为______。

13. 4

14. (2023·武汉)如图,平面内三点A,B,C,AB= 4,AC= 3,以BC为对角线作正方形BDCE,连接AD,求AD的最大值。

14. [解]如图，将$△BDA$绕点 D 顺时针旋转$90^{\circ}$得到$△CDM$，连接 AM。 由旋转不变性可知：$AB=CM=4$，$DA=DM$。$∠ADM=∠ADC+∠CDM=∠ADC+∠BDA=∠BDC=90^{\circ}$，∴$△ADM$是等腰直角三角形，∴$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}AM$，∴当 AM 的值最大时，AD 的值最大。∵$AM≤AC+CM$，∴$AM≤7$，∴AM 的最大值为 7，∴AD 的最大值为$\frac{7\sqrt{2}}{2}$。

15. (2025·编写)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BC,垂足为E。
(1) 求证：OE= $\frac{1}{2}$CD。
(2) 若F是OD的中点,连接EF交OC于点G,连接AF。
① 求证：GE= GF；
② 若AF= EF,求证：四边形ABCD是正方形。

15. [证明](1)∵矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，∴O 是 BD 的中点。∵$OE⊥BC$，$DC⊥BC$，∴$OE// DC$，∴E 是 BC 的中点，∴OE 是$△BCD$的中位线，∴$OE=\frac{1}{2}CD$。(2)①如图 1，取 OB 的中点 H，连接 EH。∵E 是 BC 的中点，∴$EH// OC$。∵四边形 ABCD 为矩形，∴$OB=OD$。∵F 是线段 OD 的中点，$EH// OC$，∴$OF=OH$，∴$GE=GF$。 ②如图 2，过点 F 作$FM⊥BC$于点 M，连接 FC。∵$OE⊥BC$，∴$OE// FM// CD$。∵F 是线段 OD 的中点，∴M 是线段 EC 的中点，∴$FE=FC$。∵$AF=FE$，∴$AF=FC$。∵$OA=OC$，∴OF 所在直线是 AC 的垂直平分线，∴$DA=DC$，∴矩形 ABCD 为正方形。