10. (2022·泸州)如图,直线$y = -\frac{3}{2}x + b与反比例函数y = \frac{12}{x}的图象相交于点A$,$B$,已知点$A$的纵坐标为6。
(1)求$b$的值；
(2)若$C是x$轴上一点,且$\triangle ABC$的面积为3,求点$C$的坐标。

(1)∵点A在反比例函数y = $\frac{12}{x}$上，且点A的纵坐标为6，∴点A(2,6)。∵直线y = −$\frac{3}{2}$x + b经过点A，∴6 = −$\frac{3}{2}$×2 + b，∴b = 9。
(2)如图，设直线AB与x轴的交点为D。由题易得点D(6,0)。由题意可得$\begin{cases} y = -\frac{3}{2}x + 9 \\ y = \frac{12}{x} \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 2 \\ y = 6 \end{cases}$或$\begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases}$，∴点B(4,3)。∵$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ACD} - S_{\triangle BCD}$，∴3 = $\frac{1}{2}CD$×(6 - 3)，∴CD = 2，∴C(4,0)或C(8,0)。

11. (2025·编写)若函数$y = \frac{2 - b}{x}与y = 2x$的图象没有交点,则$b$的取值范围是______。

b＞2

12. (2025·编写)如图,直线$y = -x + 3与坐标轴分别相交于A$,$B$两点,以$AB为边作矩形ABCD$,$AB = 3AD$,双曲线$y = \frac{k}{x}在第一象限经过C$,$D$两点,则$k$的值

是____。

4

13. (2025·编写)如图,点$A(-2,2)在反比例函数y = \frac{k}{x}$的图象上,点$M在x$轴的正半轴上,点$N在y$轴的负半轴上,且$OM = ON = 5$。点$P(x,y)是线段MN$上一动点,过点$A$,$P分别作x$轴的垂线,垂足分别为$D$,$E$,连接$OA$,$OP$。当$S_{\triangle OAD} ＜ S_{\triangle OPE}$时,$x$的取值范围是______。

1＜x＜4

14. (2024·眉山)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y = kx + b的图象与反比例函数y = \frac{m}{x}(x ＞ 0)的图象交于点A(1,6)$,$B(n,2)$,与$x$轴、$y轴分别交于C$,$D$两点。
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点$P在y$轴上,当$\triangle PAB$的周长最小时,请直接写出点$P$的坐标；
(3)将直线$AB向下平移a个单位长度后与x$轴、$y轴分别交于点E$,$F$,当$EF = \frac{1}{2}AB$时,求$a$的值。

(1)∵一次函数y = kx + b与反比例函数y = $\frac{m}{x}$(x＞0)的图象交于点A(1,6)，B(n,2)，∴$\frac{m}{1} = 6$，∴m = 6，∴该反比例函数的解析式为y = $\frac{6}{x}$。∴2 = $\frac{6}{n}$，解得n = 3，∴B(3,2)。将点A(1,6)，B(3,2)代入一次函数的解析式，得$\begin{cases} k + b = 6 \\ 3k + b = 2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = -2 \\ b = 8 \end{cases}$，∴该一次函数的解析式为y = -2x + 8。
(2)如图，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于点P，则此时$\triangle PAB$的周长最小。

∵A(1,6)，∴A'(−1,6)。设直线BA'的解析式为y = mx + c，则有$\begin{cases} -m + c = 6 \\ 3m + c = 2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m = -1 \\ c = 5 \end{cases}$，∴直线BA'的解析式为y = -x + 5。当x = 0时，y = 5，∴点P的坐标为(0,5)。
(3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于点E,F，∴直线EF的解析式为y = -2x + 8 - a，∴E($\frac{8 - a}{2}$,0)，F(0,8 - a)。∵EF = $\frac{1}{2}$AB，∴$\sqrt{(\frac{8 - a}{2})^2 + (8 - a)^2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{(1 - 3)^2 + (6 - 2)^2}$，解得a = 6或a = 10。