1. (2024 河南,5) 下列不等式中, 与 $ -x ＞ 1 $ 组成的不等式组无解的是 (
A.$ x ＞ 2 $
B.$ x ＜ 0 $
C.$ x ＜ -2 $
D.$ x ＞ -3 $
A
)A.$ x ＞ 2 $
B.$ x ＜ 0 $
C.$ x ＜ -2 $
D.$ x ＞ -3 $
答案
A
解析
解不等式$-x＞1$，得$x＜-1$。
A. 不等式组为$\begin{cases}x＜-1 \\ x＞2\end{cases}$，无解；
B. 不等式组为$\begin{cases}x＜-1 \\ x＜0\end{cases}$，解集为$x＜-1$；
C. 不等式组为$\begin{cases}x＜-1 \\ x＜-2\end{cases}$，解集为$x＜-2$；
D. 不等式组为$\begin{cases}x＜-1 \\ x＞-3\end{cases}$，解集为$-3＜x＜-1$。
综上，与$-x＞1$组成的不等式组无解的是A。
A. 不等式组为$\begin{cases}x＜-1 \\ x＞2\end{cases}$，无解；
B. 不等式组为$\begin{cases}x＜-1 \\ x＜0\end{cases}$，解集为$x＜-1$；
C. 不等式组为$\begin{cases}x＜-1 \\ x＜-2\end{cases}$，解集为$x＜-2$；
D. 不等式组为$\begin{cases}x＜-1 \\ x＞-3\end{cases}$，解集为$-3＜x＜-1$。
综上，与$-x＞1$组成的不等式组无解的是A。
2. (2025 信阳一模) 不等式组 $ \begin{cases}x + 1 ＞ 0, \\ x - 1 \leq 0\end{cases}$ 的解集在数轴上表示正确的是 ()
答案
C
解析
解不等式$x + 1 ＞ 0$，得$x ＞ -1$；解不等式$x - 1 \leq 0$，得$x \leq 1$。所以不等式组的解集为$-1 ＜ x \leq 1$，在数轴上表示为从$-1$向右画空心圆圈，到$1$向左画实心圆点。
3. (2025 郑州一模) 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}x - 2 ＜ 3x - 6, \\ x ＜ a\end{cases}$ 无解, 则 $ a $ 的值可以是 ()
A.1
B.3
C.5
D.7
A.1
B.3
C.5
D.7
答案
A
解析
解不等式 $x - 2 \lt 3x - 6$，
移项得：$x-3x\lt -6+2$，
合并同类项得：$-2x \lt -4$，
系数化为$1$得：$x \gt 2$，
已知不等式组$\begin{cases}x - 2 \lt 3x - 6,\\x \lt a.\end{cases}$无解，
根据“大大小小找不到（无解）”的原则，即一个不等式解集为大于一个数，另一个不等式解集为小于一个比它小的数时，不等式组无解，
所以$a\leqslant 2$，
观察选项，只有$A$选项$1\lt 2$符合要求。
移项得：$x-3x\lt -6+2$，
合并同类项得：$-2x \lt -4$，
系数化为$1$得：$x \gt 2$，
已知不等式组$\begin{cases}x - 2 \lt 3x - 6,\\x \lt a.\end{cases}$无解，
根据“大大小小找不到（无解）”的原则，即一个不等式解集为大于一个数，另一个不等式解集为小于一个比它小的数时，不等式组无解，
所以$a\leqslant 2$，
观察选项，只有$A$选项$1\lt 2$符合要求。
4. (2025 北京) 解不等式组: $ \begin{cases} 2(x + 1) ＞ x - 1, ① \\ \frac{x + 5}{2} ＞ 3x. ② \end{cases} $
答案
$-3 ＜ x ＜ 1$
解析
解不等式①：$2(x + 1) ＞ x - 1$，去括号得$2x + 2 ＞ x - 1$，移项得$2x - x ＞ -1 - 2$，合并同类项得$x ＞ -3$；解不等式②：$\frac{x + 5}{2} ＞ 3x$，两边同乘2得$x + 5 ＞ 6x$，移项得$5 ＞ 6x - x$，合并同类项得$5 ＞ 5x$，两边同除以5得$x ＜ 1$；所以不等式组的解集为$-3 ＜ x ＜ 1$。
5. (2025 河南,20) 为助力乡村振兴, 支持惠农富农, 某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果. 已知 2 箱甲种苹果和 3 箱乙种苹果的售价之和为 440 元; 4 箱甲种苹果和 5 箱乙种苹果的售价之和为 800 元.
(1) 求甲、乙两种苹果每箱的售价.
(2) 某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共 12 箱, 且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数. 求该公司最少需花费多少元.
(1) 求甲、乙两种苹果每箱的售价.
(2) 某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共 12 箱, 且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数. 求该公司最少需花费多少元.
答案
【解析】：(1)设甲种苹果每箱售价为$x$元，乙种苹果每箱售价为$y$元，根据题意得：$\begin{cases}2x + 3y = 440 \\ 4x + 5y = 800\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 100 \\ y = 80\end{cases}$。
(2)设购买甲种苹果$m$箱，则购买乙种苹果$(12 - m)$箱，花费为$W$元。由题意得$12 - m \leq m$，解得$m \geq 6$。$W = 100m + 80(12 - m) = 20m + 960$，因为$20 ＞ 0$，所以$W$随$m$增大而增大，当$m = 6$时，$W$最小，$W = 20×6 + 960 = 1080$。
【答案】：(1)甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元；(2)1080元
(2)设购买甲种苹果$m$箱，则购买乙种苹果$(12 - m)$箱，花费为$W$元。由题意得$12 - m \leq m$，解得$m \geq 6$。$W = 100m + 80(12 - m) = 20m + 960$，因为$20 ＞ 0$，所以$W$随$m$增大而增大，当$m = 6$时，$W$最小，$W = 20×6 + 960 = 1080$。
【答案】：(1)甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元；(2)1080元
解析
6. (2023 河南,21) 某健身器材专卖店推出两种优惠活动, 并规定购物时只能选择其中一种.
活动一: 所购商品按原价打八折;
活动二: 所购商品按原价每满 300 元减 80 元.
(如: 所购商品原价为 300 元, 可减 80 元, 需付款 220 元; 所购商品原价为 770 元, 可减 160 元, 需付款 610 元)
(1) 购买一件原价为 450 元的健身器材时, 选择哪种活动更合算? 请说明理由.
(2) 购买一件原价在 500 元以下的健身器材时, 若选择活动一和选择活动二的付款金额相等, 求一件这种健身器材的原价.
(3) 购买一件原价在 900 元以下的健身器材时, 原价在什么范围内, 选择活动二比选择活动一更合算? 设一件这种健身器材的原价为 $ a $ 元, 请直接写出 $ a $ 的取值范围.
活动一: 所购商品按原价打八折;
活动二: 所购商品按原价每满 300 元减 80 元.
(如: 所购商品原价为 300 元, 可减 80 元, 需付款 220 元; 所购商品原价为 770 元, 可减 160 元, 需付款 610 元)
(1) 购买一件原价为 450 元的健身器材时, 选择哪种活动更合算? 请说明理由.
(2) 购买一件原价在 500 元以下的健身器材时, 若选择活动一和选择活动二的付款金额相等, 求一件这种健身器材的原价.
(3) 购买一件原价在 900 元以下的健身器材时, 原价在什么范围内, 选择活动二比选择活动一更合算? 设一件这种健身器材的原价为 $ a $ 元, 请直接写出 $ a $ 的取值范围.
答案
(1)活动一；(2)400元；(3)300≤a＜400或600≤a＜800
解析
(1) 活动一：450×0.8=360元；活动二：450-80=370元。因为360＜370，所以活动一更合算。
(2) 设原价为x元（300≤x＜500），则0.8x=x-80，解得x=400。
(3) 分情况讨论：①300≤a＜600时，a-80＜0.8a，解得a＜400，故300≤a＜400；②600≤a＜900时，a-160＜0.8a，解得a＜800，故600≤a＜800。综上，300≤a＜400或600≤a＜800。
(2) 设原价为x元（300≤x＜500），则0.8x=x-80，解得x=400。
(3) 分情况讨论：①300≤a＜600时，a-80＜0.8a，解得a＜400，故300≤a＜400；②600≤a＜900时，a-160＜0.8a，解得a＜800，故600≤a＜800。综上，300≤a＜400或600≤a＜800。
