(3) 如图 3，点 $ A $ 在反比例函数 $ y = -\frac{16}{x}(x ＜ 0) $ 的图象上，过点 $ A $ 作 $ AB // y $ 轴交反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＜ 0,x ＜ 0) $ 的图象于点 $ B $，$ C $ 为 $ y $ 轴上一点，连接 $ AC,BC $. 若 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ 3 $，则 $ k $ 的值为
-10
.答案
-10
1. 设$A$点坐标为$(m,n)$（$m\lt0$）：
因为点$A(m,n)$在反比例函数$y = -\frac{16}{x}(x\lt0)$的图象上，所以把$x = m$，$y = n$代入$y = -\frac{16}{x}$，可得$n=-\frac{16}{m}$，即$mn=-16$。
因为$AB// y$轴，且点$B$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\lt0,x\lt0)$的图象上，$A$、$B$横坐标相同，所以$B$点坐标为$(m,\frac{k}{m})$。
那么$AB$的长度为$\vert n - \frac{k}{m}\vert$，又因为$n = -\frac{16}{m}$，所以$AB=\vert-\frac{16}{m}-\frac{k}{m}\vert=\vert\frac{-16 - k}{m}\vert$，由于$m\lt0$，$k\lt0$，则$AB=\frac{-16 - k}{m}$（$-16 - k\gt0$）。
点$C$到$AB$的距离（$AB$与$y$轴平行，点$C$在$y$轴上）为$\vert m\vert=-m$（$m\lt0$）。
2. 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
已知$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB×\vert m\vert$，且$S_{\triangle ABC}=3$。
把$AB = \frac{-16 - k}{m}$，$\vert m\vert=-m$代入面积公式可得：
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\frac{-16 - k}{m}×(-m)$。
化简$\frac{1}{2}×\frac{-16 - k}{m}×(-m)$，$\frac{1}{2}×(-16 - k)×(-1)$。
因为$S_{\triangle ABC}=3$，所以$\frac{1}{2}×(16 + k)=3$。
解方程：
方程两边同时乘以$2$得$16 + k = 6$。
移项可得$k=6 - 16$。
所以$k=-10$。
1. 设$A$点坐标为$(m,n)$（$m\lt0$）：
因为点$A(m,n)$在反比例函数$y = -\frac{16}{x}(x\lt0)$的图象上，所以把$x = m$，$y = n$代入$y = -\frac{16}{x}$，可得$n=-\frac{16}{m}$，即$mn=-16$。
因为$AB// y$轴，且点$B$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\lt0,x\lt0)$的图象上，$A$、$B$横坐标相同，所以$B$点坐标为$(m,\frac{k}{m})$。
那么$AB$的长度为$\vert n - \frac{k}{m}\vert$，又因为$n = -\frac{16}{m}$，所以$AB=\vert-\frac{16}{m}-\frac{k}{m}\vert=\vert\frac{-16 - k}{m}\vert$，由于$m\lt0$，$k\lt0$，则$AB=\frac{-16 - k}{m}$（$-16 - k\gt0$）。
点$C$到$AB$的距离（$AB$与$y$轴平行，点$C$在$y$轴上）为$\vert m\vert=-m$（$m\lt0$）。
2. 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
已知$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB×\vert m\vert$，且$S_{\triangle ABC}=3$。
把$AB = \frac{-16 - k}{m}$，$\vert m\vert=-m$代入面积公式可得：
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\frac{-16 - k}{m}×(-m)$。
化简$\frac{1}{2}×\frac{-16 - k}{m}×(-m)$，$\frac{1}{2}×(-16 - k)×(-1)$。
因为$S_{\triangle ABC}=3$，所以$\frac{1}{2}×(16 + k)=3$。
解方程：
方程两边同时乘以$2$得$16 + k = 6$。
移项可得$k=6 - 16$。
所以$k=-10$。
(4) 如图 4，正方形 $ ABCD $ 的顶点 $ A,C $ 在反比例函数 $ y = \frac{6}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上，顶点 $ B $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0) $ 的图象上，$ AB // x $ 轴. 若正方形 $ ABCD $ 的面积为 $ 25 $，则 $ k $ 的值是
36
.答案
36
1. 设$A(a,\frac{6}{a})$：
因为正方形$ABCD$的面积为$25$，根据正方形面积公式$S = s^{2}$（$s$为边长），所以正方形边长$AB = 5$。
又因为$AB// x$轴，$AB = 5$，所以$B(a + 5,\frac{6}{a})$，$C(a + 5,\frac{6}{a}-5)$。
2. 由于点$C$在$y=\frac{6}{x}(x\gt0)$上：
把$C(a + 5,\frac{6}{a}-5)$代入$y=\frac{6}{x}$，可得$(a + 5)(\frac{6}{a}-5)=6$。
展开式子：
根据多项式乘法法则$(m + n)(p+q)=mp+mq+np+nq$，这里$m = a$，$n = 5$，$p=\frac{6}{a}$，$q=-5$，则$a×\frac{6}{a}-5a+5×\frac{6}{a}-25 = 6$。
化简得$6-5a+\frac{30}{a}-25 = 6$。
移项得$-5a+\frac{30}{a}-25 = 0$，两边同时乘以$a$（$a\gt0$）得$-5a^{2}-25a + 30 = 0$。
两边同时除以$-5$得$a^{2}+5a - 6 = 0$。
分解因式：
根据$x^{2}+(m + n)x+mn=(x + m)(x + n)$，对于$a^{2}+5a - 6$，其中$m = 6$，$n=-1$，则$(a + 6)(a - 1)=0$。
解得$a_{1}=1$，$a_{2}=-6$（因为$a\gt0$，舍去$a_{2}=-6$）。
3. 求$k$的值：
当$a = 1$时，$B$点坐标为$(a + 5,\frac{6}{a})$，即$B(6,6)$。
因为点$B$在$y=\frac{k}{x}(k\gt0,x\gt0)$上，把$x = 6$，$y = 6$代入$y=\frac{k}{x}$，根据$k=xy$，可得$k=6×6=36$。
所以$k$的值是$36$。
1. 设$A(a,\frac{6}{a})$：
因为正方形$ABCD$的面积为$25$，根据正方形面积公式$S = s^{2}$（$s$为边长），所以正方形边长$AB = 5$。
又因为$AB// x$轴，$AB = 5$，所以$B(a + 5,\frac{6}{a})$，$C(a + 5,\frac{6}{a}-5)$。
2. 由于点$C$在$y=\frac{6}{x}(x\gt0)$上：
把$C(a + 5,\frac{6}{a}-5)$代入$y=\frac{6}{x}$，可得$(a + 5)(\frac{6}{a}-5)=6$。
展开式子：
根据多项式乘法法则$(m + n)(p+q)=mp+mq+np+nq$，这里$m = a$，$n = 5$，$p=\frac{6}{a}$，$q=-5$，则$a×\frac{6}{a}-5a+5×\frac{6}{a}-25 = 6$。
化简得$6-5a+\frac{30}{a}-25 = 6$。
移项得$-5a+\frac{30}{a}-25 = 0$，两边同时乘以$a$（$a\gt0$）得$-5a^{2}-25a + 30 = 0$。
两边同时除以$-5$得$a^{2}+5a - 6 = 0$。
分解因式：
根据$x^{2}+(m + n)x+mn=(x + m)(x + n)$，对于$a^{2}+5a - 6$，其中$m = 6$，$n=-1$，则$(a + 6)(a - 1)=0$。
解得$a_{1}=1$，$a_{2}=-6$（因为$a\gt0$，舍去$a_{2}=-6$）。
3. 求$k$的值：
当$a = 1$时，$B$点坐标为$(a + 5,\frac{6}{a})$，即$B(6,6)$。
因为点$B$在$y=\frac{k}{x}(k\gt0,x\gt0)$上，把$x = 6$，$y = 6$代入$y=\frac{k}{x}$，根据$k=xy$，可得$k=6×6=36$。
所以$k$的值是$36$。
1.(2025 安阳一模)点 $ P(1,-4) $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象上，则该函数图象一定经过点(
A.$ (2,2) $
B.$ (4,1) $
C.$ (-1,-4) $
D.$ (-2,2) $
D
)A.$ (2,2) $
B.$ (4,1) $
C.$ (-1,-4) $
D.$ (-2,2) $
答案
D
解析
因为点$P(1,-4)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以将$x=1$，$y=-4$代入可得$-4 = \frac{k}{1}$，解得$k=-4$，则函数解析式为$y = -\frac{4}{x}$。
分别验证各选项：
A选项：$x=2$时，$y=-\frac{4}{2}=-2\neq2$，不经过。
B选项：$x=4$时，$y=-\frac{4}{4}=-1\neq1$，不经过。
C选项：$x=-1$时，$y=-\frac{4}{-1}=4\neq-4$，不经过。
D选项：$x=-2$时，$y=-\frac{4}{-2}=2$，经过。
分别验证各选项：
A选项：$x=2$时，$y=-\frac{4}{2}=-2\neq2$，不经过。
B选项：$x=4$时，$y=-\frac{4}{4}=-1\neq1$，不经过。
C选项：$x=-1$时，$y=-\frac{4}{-1}=4\neq-4$，不经过。
D选项：$x=-2$时，$y=-\frac{4}{-2}=2$，经过。
2.(2020 河南，6)若点 $ A(-1,y_1) $，$ B(2,y_2) $，$ C(3,y_3) $ 在反比例函数 $ y = -\frac{6}{x} $ 的图象上，则 $ y_1,y_2,y_3 $ 的大小关系是(
A.$ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $
B.$ y_2 ＞ y_3 ＞ y_1 $
C.$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $
D.$ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $
C
)A.$ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $
B.$ y_2 ＞ y_3 ＞ y_1 $
C.$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $
D.$ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $
答案
C
解析
点 $ A(-1, y_1) $ 在反比例函数 $ y = -\frac{6}{x} $ 上，
所以 $ y_1 = -\frac{6}{-1} = 6 $。
点 $ B(2, y_2) $ 在反比例函数 $ y = -\frac{6}{x} $ 上，
所以 $ y_2 = -\frac{6}{2} = -3 $。
点 $ C(3, y_3) $ 在反比例函数 $ y = -\frac{6}{x} $ 上，
所以 $ y_3 = -\frac{6}{3} = -2 $。
通过比较 $ y_1, y_2, y_3 $ 的值，可以得出：
$ y_1 = 6 $， $ y_3 = -2 $， $ y_2 = -3 $，
所以 $ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $。
所以 $ y_1 = -\frac{6}{-1} = 6 $。
点 $ B(2, y_2) $ 在反比例函数 $ y = -\frac{6}{x} $ 上，
所以 $ y_2 = -\frac{6}{2} = -3 $。
点 $ C(3, y_3) $ 在反比例函数 $ y = -\frac{6}{x} $ 上，
所以 $ y_3 = -\frac{6}{3} = -2 $。
通过比较 $ y_1, y_2, y_3 $ 的值，可以得出：
$ y_1 = 6 $， $ y_3 = -2 $， $ y_2 = -3 $，
所以 $ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $。
3.(2025 郑州模拟)如图，在平面直角坐标系中，菱形 $ ABCD $ 的顶点 $ A,D $ 都在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0) $ 的图象上，顶点 $ B,C $ 分别在 $ y $ 轴的正半轴、$ x $ 轴的正半轴上，对角线 $ BD // x $ 轴. 若菱形 $ ABCD $ 的面积为 $ 6 $，则 $ k $ 的值为(
A.$ 3 $
B.$ 12 $
C.$ -6 $
D.$ 6 $
D
)A.$ 3 $
B.$ 12 $
C.$ -6 $
D.$ 6 $
答案
D
解析
设B(0,b)，C(c,0)，b＞0，c＞0。∵BD//x轴，B(0,b)，∴设D(d,b)，D在y=k/x上，故b=k/d，得k=bd。
菱形对角线互相平分，BD中点为(d/2,b)，AC中点亦为(d/2,b)。设A(a,e)，C(c,0)，则AC中点((a+c)/2,e/2)=(d/2,b)，故a+c=d且e=2b。A(a,2b)在y=k/x上，得2b=k/a，即k=2ab。
由a+c=d及k=bd=2ab，得d=2a，c=a。AC长为2b，BD长为2a，菱形面积=(AC·BD)/2=(2b·2a)/2=2ab=6，故ab=3。则k=2ab=6。
菱形对角线互相平分，BD中点为(d/2,b)，AC中点亦为(d/2,b)。设A(a,e)，C(c,0)，则AC中点((a+c)/2,e/2)=(d/2,b)，故a+c=d且e=2b。A(a,2b)在y=k/x上，得2b=k/a，即k=2ab。
由a+c=d及k=bd=2ab，得d=2a，c=a。AC长为2b，BD长为2a，菱形面积=(AC·BD)/2=(2b·2a)/2=2ab=6，故ab=3。则k=2ab=6。
4.(2025 驻马店三模)已知第一象限内的点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0) $ 的图象上，点 $ A $ 关于 $ x $ 轴的对称点为 $ A' $，$ B $ 为 $ y $ 轴上任意一点. 若 $ \triangle ABA' $ 的面积为 $ 6 $，则 $ k $ 的值为(
A.$ -3 $
B.$ 3 $
C.$ -6 $
D.$ 6 $
D
)A.$ -3 $
B.$ 3 $
C.$ -6 $
D.$ 6 $
答案
D
解析
设点$A$的坐标为$(x,\frac{k}{x})$，因为点$A$关于$x$轴的对称点为$A'$，所以$A'$的坐标为$(x,-\frac{k}{x})$。
则$AA'$的长度为$\vert\frac{k}{x}-(-\frac{k}{x})\vert=\vert\frac{2k}{x}\vert$，点$B$为$y$轴上任意一点，所以$\triangle ABA'$中$AA'$边上的高为$x$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，可得${S}_{\triangle AB{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}×\vert\frac{2k}{x}\vert× x = 6$，即$\vert k\vert = 6$。
又因为点$A$在第一象限，反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\neq0,x\gt0)$中$k\gt0$，所以$k = 6$。
则$AA'$的长度为$\vert\frac{k}{x}-(-\frac{k}{x})\vert=\vert\frac{2k}{x}\vert$，点$B$为$y$轴上任意一点，所以$\triangle ABA'$中$AA'$边上的高为$x$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，可得${S}_{\triangle AB{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}×\vert\frac{2k}{x}\vert× x = 6$，即$\vert k\vert = 6$。
又因为点$A$在第一象限，反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\neq0,x\gt0)$中$k\gt0$，所以$k = 6$。
5.(2025 驻马店三模)如图 1，取一根长 $ 120 \, \mathrm{cm} $ 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 $ O $ 并将其吊起来. 在中点 $ O $ 的左侧距离中点 $ O $ $ 30 \, \mathrm{cm} $ 处挂一个重 $ 10 \, \mathrm{N} $ 的物体，在中点 $ O $ 右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉(忽略弹簧测力计自重)，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点 $ O $ 的距离 $ L $(单位：$ \mathrm{cm} $)与弹簧测力计的示数 $ F $(单位：$ \mathrm{N} $)的关系符合图 2 的反比例函数. 下列说法错误的是(
A.$ F $ 随 $ L $ 的增大而减小
B.当 $ L = 30 \, \mathrm{cm} $ 时，$ F = 10 \, \mathrm{N} $
C.若原物体重量增加 $ 5 \, \mathrm{N} $，木杆保持水平时，$ F $ 与 $ L $ 的关系式为 $ F = \frac{350}{L} $
D.若弹簧测力计的示数 $ F $ 不超过 $ 10 \, \mathrm{N} $，则 $ L $ 的取值范围是 $ 30 \, \mathrm{cm} \leq L \leq 60 \, \mathrm{cm} $
C
)A.$ F $ 随 $ L $ 的增大而减小
B.当 $ L = 30 \, \mathrm{cm} $ 时，$ F = 10 \, \mathrm{N} $
C.若原物体重量增加 $ 5 \, \mathrm{N} $，木杆保持水平时，$ F $ 与 $ L $ 的关系式为 $ F = \frac{350}{L} $
D.若弹簧测力计的示数 $ F $ 不超过 $ 10 \, \mathrm{N} $，则 $ L $ 的取值范围是 $ 30 \, \mathrm{cm} \leq L \leq 60 \, \mathrm{cm} $
答案
C
解析
由杠杆平衡条件，左侧阻力×阻力臂=右侧动力×动力臂。原物体重10N，阻力臂30cm，故10×30=F×L，得F=300/L。
A. F=300/L，k=300＞0，F随L增大而减小，正确；
B. 当L=30cm时，F=300/30=10N，正确；
C. 物体增重5N后为15N，15×30=F×L，得F=450/L≠350/L，错误；
D. F≤10N时，300/L≤10，L≥30cm，木杆右侧最大L=60cm，故30cm≤L≤60cm，正确。
A. F=300/L，k=300＞0，F随L增大而减小，正确；
B. 当L=30cm时，F=300/30=10N，正确；
C. 物体增重5N后为15N，15×30=F×L，得F=450/L≠350/L，错误；
D. F≤10N时，300/L≤10，L≥30cm，木杆右侧最大L=60cm，故30cm≤L≤60cm，正确。
