例2 如图 1，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，以$AB$为直径的$\odot O$分别与$BC$，$AC$相交于点$D$，$F$，$DE$是$\odot O$的切线，交$AC$于点$E$.
(1)求证：$DE⊥ AC$；
(2)求证：$\angle BAC=2\angle CDE$；
(3)若$\sin\angle BAD=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$DE=\sqrt{5}$，求$\odot O$的直径；
(4)如图 2，连接$OD$，$DF$，当$AC=4CE$时，判断四边形$AODF$的形状，并证明你的结论.
(1)求证：$DE⊥ AC$；
(2)求证：$\angle BAC=2\angle CDE$；
(3)若$\sin\angle BAD=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$DE=\sqrt{5}$，求$\odot O$的直径；
(4)如图 2，连接$OD$，$DF$，当$AC=4CE$时，判断四边形$AODF$的形状，并证明你的结论.
答案
(1)见解析；(2)见解析；(3)5√5/2；(4)菱形，见解析
解析
(1)连接OD，∵DE是⊙O切线，∴OD⊥DE。∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，∴∠ODB=∠C，∴OD//AC，∴DE⊥AC。
(2)∵DE⊥AC，∴∠CDE+∠C=90°。∵AB=AC，∴∠BAC=180°-2∠C，∴∠C=(180°-∠BAC)/2。代入得∠CDE+(180°-∠BAC)/2=90°，化简得∠BAC=2∠CDE。
(3)设AB=5k，∵sin∠BAD=BD/AB=√5/5，∴BD=√5k，AD=√(AB²-BD²)=2√5k。∵AB=AC，AD⊥BC，∴DC=BD=√5k。由△CDE∽△CAD（∠C=∠C，∠CDE=∠CAD），得DE/AD=DC/AC，即√5/(2√5k)=√5k/(5k)，解得k=√5/2，∴AB=5k=5√5/2，即直径为5√5/2。
(4)四边形AODF是菱形。证明：设AC=4CE=4x，则CE=x，AE=3x。∵OD//AC（同垂直于DE），OD=OA=2x。∵AB是直径，∠AFB=90°，DE⊥AC，∴BF//DE，∴CE/CF=CD/CB=1/2，CF=2x，AF=AC-CF=2x。∵OD=AF=2x且OD//AF，∴四边形AODF是平行四边形，又OA=OD，∴为菱形。
(2)∵DE⊥AC，∴∠CDE+∠C=90°。∵AB=AC，∴∠BAC=180°-2∠C，∴∠C=(180°-∠BAC)/2。代入得∠CDE+(180°-∠BAC)/2=90°，化简得∠BAC=2∠CDE。
(3)设AB=5k，∵sin∠BAD=BD/AB=√5/5，∴BD=√5k，AD=√(AB²-BD²)=2√5k。∵AB=AC，AD⊥BC，∴DC=BD=√5k。由△CDE∽△CAD（∠C=∠C，∠CDE=∠CAD），得DE/AD=DC/AC，即√5/(2√5k)=√5k/(5k)，解得k=√5/2，∴AB=5k=5√5/2，即直径为5√5/2。
(4)四边形AODF是菱形。证明：设AC=4CE=4x，则CE=x，AE=3x。∵OD//AC（同垂直于DE），OD=OA=2x。∵AB是直径，∠AFB=90°，DE⊥AC，∴BF//DE，∴CE/CF=CD/CB=1/2，CF=2x，AF=AC-CF=2x。∵OD=AF=2x且OD//AF，∴四边形AODF是平行四边形，又OA=OD，∴为菱形。
