3. 如图,四边形$ABCD$是平行四边形,$E$,$F$是对角线$BD$上两点,若$BE = DF$,试用两种不同的方法证明四边形$AECF$是平行四边形.
答案
方法一：利用对角线互相平分
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，BO=OD。
∵BE=DF，
∴BO-BE=OD-DF，即OE=OF。
∵AO=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
方法二：利用两组对边分别相等
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABE=∠CDF。
在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases} AB=CD \\ ∠ABE=∠CDF \\ BE=DF \end{cases}$，
∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF。
同理，AD=BC，AD//BC，∴∠ADF=∠CBE。
在△ADF和△CBE中，
$\begin{cases} AD=BC \\ ∠ADF=∠CBE \\ DF=BE \end{cases}$，
∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE。
∵AE=CF，AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，BO=OD。
∵BE=DF，
∴BO-BE=OD-DF，即OE=OF。
∵AO=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
方法二：利用两组对边分别相等
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABE=∠CDF。
在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases} AB=CD \\ ∠ABE=∠CDF \\ BE=DF \end{cases}$，
∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF。
同理，AD=BC，AD//BC，∴∠ADF=∠CBE。
在△ADF和△CBE中，
$\begin{cases} AD=BC \\ ∠ADF=∠CBE \\ DF=BE \end{cases}$，
∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE。
∵AE=CF，AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
三、多边形
1. 多边形的性质
(1)内角和定理:$n(n\geqslant 3)$边形的内角和等于⑭
(2)外角和定理:$n(n\geqslant 3)$边形的外角和等于⑮
(3)对角线:经过$n(n\geqslant 3)$边形的一个顶点可以作⑯
2. 正多边形的性质
(1)正$n$边形的各边相等,各角相等;
(2)正$n$边形的每一个内角的度数为⑱
(3)正$n$边形是⑳
1. 多边形的性质
(1)内角和定理:$n(n\geqslant 3)$边形的内角和等于⑭
$(n - 2)180{°}$（或 $(n - 2) × 180^{\circ}$）
;(2)外角和定理:$n(n\geqslant 3)$边形的外角和等于⑮
$360{°}$
;(3)对角线:经过$n(n\geqslant 3)$边形的一个顶点可以作⑯
$(n - 3)$
条对角线,它们将$n$边形分成$(n - 2)$个三角形,$n$边形的所有对角线条数为⑰$\frac{n(n - 3)}{2}$
.2. 正多边形的性质
(1)正$n$边形的各边相等,各角相等;
(2)正$n$边形的每一个内角的度数为⑱
$\frac{(n - 2)180{°}}{n}$
,每一个外角的度数为⑲$\frac{360{°}}{n}$
;(3)正$n$边形是⑳
轴
对称图形,有$n$条对称轴,当$n$为㉑偶
数时,它既是轴对称图形,又是㉒中心
对称图形.答案
⑭$(n - 2)180{°}$（或 $(n - 2) × 180^{\circ}$）；
⑮$360{°}$；
⑯$(n - 3)$；
⑰$\frac{n(n - 3)}{2}$；
⑱$\frac{(n - 2)180{°}}{n}$；
⑲$\frac{360{°}}{n}$；
⑳轴；
㉑偶；
㉒中心。
⑮$360{°}$；
⑯$(n - 3)$；
⑰$\frac{n(n - 3)}{2}$；
⑱$\frac{(n - 2)180{°}}{n}$；
⑲$\frac{360{°}}{n}$；
⑳轴；
㉑偶；
㉒中心。
解析
(1)内角和定理：
根据多边形内角和的公式，$n(n\geqslant 3)$边形的内角和等于$(n - 2) × 180^{\circ}$。
(2)外角和定理：
对于任何$n(n\geqslant 3)$边形，其外角和总是等于$360^{\circ}$。
(3)对角线：
从一个$n(n\geqslant 3)$边形的一个顶点出发，可以作$(n - 3)$条对角线（因为与该顶点相邻的2个顶点和该顶点自身不能作为对角线的终点）。
这些对角线将$n$边形分成$(n - 2)$个三角形。
$n$边形的所有对角线条数可以通过组合数学的知识计算，即从$n$个顶点中任选2个作为对角线的起点和终点，但每条对角线被计算了两次（两端都可以作为起点和终点），且与自身相邻的顶点不能构成对角线，所以对角线条数为$\frac{n(n - 3)}{2}$。
2.正多边形的性质：
(1)正$n$边形的各边相等，各角相等，这是正多边形的定义。
(2)正$n$边形的每一个内角的度数可以通过内角和公式计算，即$\frac{(n - 2) × 180^{\circ}}{n}$，每一个外角的度数则是$\frac{360^{\circ}}{n}$（因为正多边形的外角和为$360^{\circ}$，且每个外角相等）。
(3)正$n$边形是轴对称图形，有$n$条对称轴（每条都通过一个顶点和中心点）。
当$n$为偶数时，正$n$边形既是轴对称图形，又是中心对称图形（关于中心点对称）。
根据多边形内角和的公式，$n(n\geqslant 3)$边形的内角和等于$(n - 2) × 180^{\circ}$。
(2)外角和定理：
对于任何$n(n\geqslant 3)$边形，其外角和总是等于$360^{\circ}$。
(3)对角线：
从一个$n(n\geqslant 3)$边形的一个顶点出发，可以作$(n - 3)$条对角线（因为与该顶点相邻的2个顶点和该顶点自身不能作为对角线的终点）。
这些对角线将$n$边形分成$(n - 2)$个三角形。
$n$边形的所有对角线条数可以通过组合数学的知识计算，即从$n$个顶点中任选2个作为对角线的起点和终点，但每条对角线被计算了两次（两端都可以作为起点和终点），且与自身相邻的顶点不能构成对角线，所以对角线条数为$\frac{n(n - 3)}{2}$。
2.正多边形的性质：
(1)正$n$边形的各边相等，各角相等，这是正多边形的定义。
(2)正$n$边形的每一个内角的度数可以通过内角和公式计算，即$\frac{(n - 2) × 180^{\circ}}{n}$，每一个外角的度数则是$\frac{360^{\circ}}{n}$（因为正多边形的外角和为$360^{\circ}$，且每个外角相等）。
(3)正$n$边形是轴对称图形，有$n$条对称轴（每条都通过一个顶点和中心点）。
当$n$为偶数时，正$n$边形既是轴对称图形，又是中心对称图形（关于中心点对称）。
4. 已知一个正多边形的内角和是外角和的 2 倍.
(1)这个多边形是正
(2)这个正多边形的每一个内角是
(3)经过这个正多边形的一个顶点可以作
(4)这个正多边形
(1)这个多边形是正
六
边形;(2)这个正多边形的每一个内角是
120
$^{\circ}$,每一个外角是60
$^{\circ}$;(3)经过这个正多边形的一个顶点可以作
3
条对角线,对角线共有9
条;(4)这个正多边形
是
轴对称图形,是
中心对称图形. (填“是”或“不是”)答案
(1)设正多边形边数为$n$，
由正多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$，且外角和为$360^{\circ}$，
可得$(n - 2)×180^{\circ}=2×360^{\circ}$，
$n - 2 = 4$，
解得$n = 6$，
这个多边形是正六边形。
(2)每一个内角：$\frac{(6 - 2)×180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$，
每一个外角：$360^{\circ}÷6 = 60^{\circ}$，
这个正多边形每一个内角是$120$度，每一个外角是$60$度。
(3)经过一个顶点作对角线：$6 - 3 = 3$（条），
对角线总数：$\frac{6×(6 - 3)}{2}=9$（条），
经过这个正多边形一个顶点可以作$3$条对角线，对角线共有$9$条。
(4)这个正多边形是轴对称图形，是中心对称图形。
故答案为：(1)六；(2)$120$，$60$；(3)$3$，$9$；(4)是，是。
由正多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$，且外角和为$360^{\circ}$，
可得$(n - 2)×180^{\circ}=2×360^{\circ}$，
$n - 2 = 4$，
解得$n = 6$，
这个多边形是正六边形。
(2)每一个内角：$\frac{(6 - 2)×180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$，
每一个外角：$360^{\circ}÷6 = 60^{\circ}$，
这个正多边形每一个内角是$120$度，每一个外角是$60$度。
(3)经过一个顶点作对角线：$6 - 3 = 3$（条），
对角线总数：$\frac{6×(6 - 3)}{2}=9$（条），
经过这个正多边形一个顶点可以作$3$条对角线，对角线共有$9$条。
(4)这个正多边形是轴对称图形，是中心对称图形。
故答案为：(1)六；(2)$120$，$60$；(3)$3$，$9$；(4)是，是。
3. 梯形
答案
㉓平行
㉔$\frac{1}{2}(AD + BC)$
㉔$\frac{1}{2}(AD + BC)$
