5. (2025 信阳一模)如图,等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4,面积是 18,腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC,AB 边于点 E,F. D 为 BC 边的中点,M 为线段 EF 上一动点,则△CDM 周长的最小值为 (
A.10
B.11
C.12
D.13
B
)A.10
B.11
C.12
D.13
答案
B
解析
∵△ABC是等腰三角形，D为BC中点，BC=4，∴CD=2，AD⊥BC（三线合一）。
∵S△ABC=18，BC=4，∴1/2×BC×AD=18，即1/2×4×AD=18，解得AD=9。
∵EF是AC的垂直平分线，∴EF上任意点M满足MA=MC（垂直平分线性质）。
△CDM周长=CD+DM+MC=2+DM+MA，要使周长最小，需DM+MA最小。
∵M在EF上，MA+DM最小值为AD（两点之间线段最短），∴DM+MA=AD=9。
∴△CDM周长最小值=2+9=11。
∵S△ABC=18，BC=4，∴1/2×BC×AD=18，即1/2×4×AD=18，解得AD=9。
∵EF是AC的垂直平分线，∴EF上任意点M满足MA=MC（垂直平分线性质）。
△CDM周长=CD+DM+MC=2+DM+MA，要使周长最小，需DM+MA最小。
∵M在EF上，MA+DM最小值为AD（两点之间线段最短），∴DM+MA=AD=9。
∴△CDM周长最小值=2+9=11。
6. 如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上,延长 CB 至点 F,使 BF = DE,连接 AE,AF 和 EF,取 EF 的中点 H,连接 AH 并延长,交 BC 于点 G. 若 BG = 1.5,CG = 1,则 DE 的长为 (
A.$\frac{15}{8}$
B.$\frac{5}{8}$
C.4
D.$\frac{9}{2}$
B
)A.$\frac{15}{8}$
B.$\frac{5}{8}$
C.4
D.$\frac{9}{2}$
答案
B
解析
设正方形边长为$a$，$DE=x$，则$BF=x$。以$A$为原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴建立坐标系，得$A(0,0)$，$B(a,0)$，$C(a,a)$，$D(0,a)$，$E(x,a)$，$F(a,-x)$。$H$为$EF$中点，坐标为$\left(\frac{a+x}{2},\frac{a-x}{2}\right)$。直线$AH$方程为$y=\frac{a-x}{a+x}x$，与$BC(x=a)$交于$G\left(a,\frac{a(a-x)}{a+x}\right)$。由$BG=1.5$，$CG=1$，得$a=BG+CG=2.5=\frac{5}{2}$。代入$BG=\frac{a(a-x)}{a+x}=\frac{3}{2}$，解得$x=\frac{5}{8}$。
7. 如图,在菱形 ABCD 中,∠BCD = 120°,点 E 为 AB 的中点,以 E 为圆心,AE 长为半径画弧交 BD 于点 F,交 BC 于点 G,若 BD = 4$\sqrt{3}$,则图中阴影部分的面积为
2√3 - 2π/3
.答案
2√3 - 2π/3
解析
在菱形ABCD中，∠BCD=120°，则∠ABC=60°，对角线BD=4√3，互相垂直平分于点O，故BO=2√3。在Rt△BOC中，∠OBC=30°，设OC=x，则BC=2x，由BO=√3x=2√3得x=2，故BC=4，即菱形边长为4。
点E为AB中点，AE=2，以E为圆心，2为半径画弧。建立坐标系，菱形顶点坐标：A(2,0)，B(0,2√3)，C(-2,0)，D(0,-2√3)，E(1,√3)。圆E方程：(x-1)²+(y-√3)²=4。
求交点F（BD上，x=0）：代入得y=0或2√3（B点），故F(0,0)。求交点G（BC上，BC方程y=√3x+2√3）：联立圆方程解得G(-1,√3)。
向量EF=(-1,-√3)，EG=(-2,0)，夹角∠FEG=60°，扇形FEG面积=60/360·π·2²=2π/3。△EFG为等边三角形，面积=√3。
△BFG面积：B(0,2√3)，F(0,0)，G(-1,√3)，面积=1/2·BF·|x_G|=√3。阴影面积=△BFG面积 - (扇形FEG面积 - △EFG面积)=√3 - (2π/3 - √3)=2√3 - 2π/3。
点E为AB中点，AE=2，以E为圆心，2为半径画弧。建立坐标系，菱形顶点坐标：A(2,0)，B(0,2√3)，C(-2,0)，D(0,-2√3)，E(1,√3)。圆E方程：(x-1)²+(y-√3)²=4。
求交点F（BD上，x=0）：代入得y=0或2√3（B点），故F(0,0)。求交点G（BC上，BC方程y=√3x+2√3）：联立圆方程解得G(-1,√3)。
向量EF=(-1,-√3)，EG=(-2,0)，夹角∠FEG=60°，扇形FEG面积=60/360·π·2²=2π/3。△EFG为等边三角形，面积=√3。
△BFG面积：B(0,2√3)，F(0,0)，G(-1,√3)，面积=1/2·BF·|x_G|=√3。阴影面积=△BFG面积 - (扇形FEG面积 - △EFG面积)=√3 - (2π/3 - √3)=2√3 - 2π/3。
8. (2025 郑州二模)如图,在△ABC 中,AB = AC,⊙O 是△ABC 的外接圆,过点 A 作⊙O 的切线 AM,在 AM 上截取 AD = BC,连接 CD 交⊙O 于点 F.
(1)判断四边形 ABCD 的形状,并说明理由;
(2)连接 AF,若⊙O 的半径为 5,AB = 4$\sqrt{5}$,求 AF 的长.
(1)判断四边形 ABCD 的形状,并说明理由;
(2)连接 AF,若⊙O 的半径为 5,AB = 4$\sqrt{5}$,求 AF 的长.
答案
(1)平行四边形；(2)40/9
解析
(1)四边形ABCD是平行四边形。理由：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。∵AM是⊙O的切线，∴∠MAC=∠ABC（弦切角定理），∴∠MAC=∠ACB，∴AD//BC。又∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。
(2)连接AO并延长交BC于点E，∵AB=AC，∴AE⊥BC，BE=EC。设BE=EC=x，AE=h，⊙O半径R=5，OA=5，OE=|h - 5|。在Rt△ABE中，AB²=AE² + BE²，即(4√5)²=h² + x²=80①。在Rt△OBE中，OB²=OE² + BE²，即5²=(h - 5)² + x²=25②。① - ②得80 - 25=h² - (h - 5)²，55=10h - 25，10h=80，h=8。则x²=80 - 64=16，x=4，∴BC=2x=8，AD=BC=8。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4√5，AD//BC。∵AM是切线，∴∠DAF=∠ACF（弦切角定理）。又∠AFD=∠CFA（公共角），∴△ADF∽△CAF，∴AD/CA=AF/CF，AF²=DF·CF。设AF=y，CF=z，则DF=4√5 - z。由AD/CA=8/(4√5)=2/√5=AF/CF=y/z，得z=(√5/2)y。又AF²=y²=DF·CF=(4√5 - z)z，代入z=(√5/2)y，得y²=(4√5 - (√5/2)y)(√5/2 y)=10y - (5/4)y²，整理得(9/4)y²=10y，解得y=40/9（y=0舍去）。
(2)连接AO并延长交BC于点E，∵AB=AC，∴AE⊥BC，BE=EC。设BE=EC=x，AE=h，⊙O半径R=5，OA=5，OE=|h - 5|。在Rt△ABE中，AB²=AE² + BE²，即(4√5)²=h² + x²=80①。在Rt△OBE中，OB²=OE² + BE²，即5²=(h - 5)² + x²=25②。① - ②得80 - 25=h² - (h - 5)²，55=10h - 25，10h=80，h=8。则x²=80 - 64=16，x=4，∴BC=2x=8，AD=BC=8。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4√5，AD//BC。∵AM是切线，∴∠DAF=∠ACF（弦切角定理）。又∠AFD=∠CFA（公共角），∴△ADF∽△CAF，∴AD/CA=AF/CF，AF²=DF·CF。设AF=y，CF=z，则DF=4√5 - z。由AD/CA=8/(4√5)=2/√5=AF/CF=y/z，得z=(√5/2)y。又AF²=y²=DF·CF=(4√5 - z)z，代入z=(√5/2)y，得y²=(4√5 - (√5/2)y)(√5/2 y)=10y - (5/4)y²，整理得(9/4)y²=10y，解得y=40/9（y=0舍去）。
9. (2025 信阳二模)如图,在四边形 ABCD 中,AB // CD,E 为 BC 的中点,且 AE ⊥ DE,延长 DE,交 AB 的延长线于点 F. 若 AB = 9,CD = 4,则 AD 的长为 (
A.11
B.12
C.13
D.14
C
)A.11
B.12
C.13
D.14
答案
C
解析
∵AB//CD，∴∠CDE=∠F，∠DCE=∠FBE。
∵E为BC中点，∴BE=CE。
在△CDE和△BFE中，∠CDE=∠F，∠DCE=∠FBE，BE=CE，∴△CDE≌△BFE（AAS）。
∴DE=FE，BF=CD=4。
∴AF=AB+BF=9+4=13。
∵AE⊥DE，DE=FE，∴AE垂直平分DF。
∴AD=AF=13。
∵E为BC中点，∴BE=CE。
在△CDE和△BFE中，∠CDE=∠F，∠DCE=∠FBE，BE=CE，∴△CDE≌△BFE（AAS）。
∴DE=FE，BF=CD=4。
∴AF=AB+BF=9+4=13。
∵AE⊥DE，DE=FE，∴AE垂直平分DF。
∴AD=AF=13。
10. (2025 郑州四模)如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 E 是 AD 的中点,连接 BE,与 AC 相交于点 F,过点 F 作 AD 的平行线交 AB 于点 G,若 FG = 2,则 BC 的长是 (
A.6
B.5
C.8
D.4
A
)A.6
B.5
C.8
D.4
答案
A
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//BC。
∵E是AD中点，∴AE=½AD=½BC。
∵AD//BC，∴△AFE∽△CFB，相似比为AE/BC=1/2，∴AF/FC=1/2，即AF/AC=1/3。
∵FG//AD，AD//BC，∴FG//BC，∴△AFG∽△ACB，相似比为AF/AC=1/3。
∵FG=2，∴FG/BC=1/3，即2/BC=1/3，解得BC=6。
