例2 已知二次函数$y = x^{2}+bx$的图象经过点$A(-2,0)$,求这个二次函数的解析式.

$y=x^{2}+2x$

将点$A(-2,0)$代入$y=x^{2}+bx$，得$0=(-2)^{2}+b×(-2)$，即$0=4 - 2b$，解得$b=2$，所以二次函数解析式为$y=x^{2}+2x$。

变式 已知二次函数$y = -x^{2}+2x + c(c ＞ 0)$的图象与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,且$OA = 2OB$,求这个二次函数的解析式.

$y=-x^2 + 2x + \frac{5}{4}$

将$x = 0$代入$y = -x^{2} + 2x + c$，得$y = c$，所以$B(0,c)$，则$OB = c$。
由$OA = 2OB$，可得$OA = 2c$，所以$A(2c,0)$。
把$A(2c,0)$代入$y = -x^{2} + 2x + c$，得$-(2c)^{2}+2× 2c + c = 0$，即$-4c^{2}+4c + c = 0$，$-4c^{2}+5c = 0$，$c( - 4c + 5)=0$。
解得$c_1 = 0$（因为$c\gt0$，舍去），$c_2=\frac{5}{4}$（或$1.25$等价形式） 。
所以二次函数解析式为$y = -x^{2}+2x+\frac{5}{4}$。

例3 已知二次函数$y = ax^{2}-2x + c$的图象经过点$A(-2,0),B(3,0)$,求这个二次函数的解析式.

$y = 2x^{2}-2x - 12$

因为二次函数$y = ax^{2}-2x + c$的图象经过点$A(-2,0)$，$B(3,0)$，将点$A$代入函数得：$0 = a(-2)^{2}-2(-2) + c$，即$4a + 4 + c = 0$；将点$B$代入函数得：$0 = a(3)^{2}-2(3) + c$，即$9a - 6 + c = 0$。联立方程组$\begin{cases}4a + c = -4\\9a + c = 6\end{cases}$，两式相减得$5a = 10$，解得$a = 2$，将$a = 2$代入$4a + c = -4$，得$8 + c = -4$，解得$c = -12$，所以二次函数解析式为$y = 2x^{2}-2x - 12$。

例4 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象经过点$A(0,3)$,顶点为$B(3,4)$,求这个二次函数的解析式.

$y=-\dfrac{1}{9}x^{2}+\dfrac{2}{3}x + 3$

因为二次函数顶点为$B(3,4)$，设其解析式为$y = a(x - 3)^2+4$。又因为图象经过点$A(0,3)$，将$x = 0$，$y = 3$代入得$3=a(0 - 3)^2+4$，即$3 = 9a+4$，解得$a=-\dfrac{1}{9}$。所以二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{9}(x - 3)^2 + 4$，展开得$y=-\dfrac{1}{9}x^{2}+\dfrac{2}{3}x + 3$。