1. 甲、乙两人相距50千米,若同向而行,乙10小时可追上甲；若相向而行,经过2小时两人相遇. 设甲、乙两人每小时分别走了$x$千米、$y$千米,则可列出方程组是()
A.$\begin{cases}10x - 10y = 50 \\ 2x + 2y = 50\end{cases} $
B.$\begin{cases}10x + 10y = 50 \\ 2x + 2y = 50\end{cases} $
C.$\begin{cases}10y - 10x = 50 \\ 2x + 2y = 50\end{cases} $
D.$\begin{cases}10x - 10y = 50 \\ 2x - 2y = 50\end{cases} $

C

设甲每小时走 $x$ 千米，乙每小时走 $y$ 千米。
当同向而行时，乙10小时可追上甲，即乙比甲多走50千米，所以有方程：$10y - 10x = 50$。
当相向而行时，2小时后两人相遇，即两人共同走了50千米，所以有方程：$2x + 2y = 50$。
将以上两个方程组合，得到方程组：
$\begin{cases}10y - 10x = 50 \\2x + 2y = 50\end{cases}$

2. $A地至B地的航线长9750km$,一架飞机从$A地顺风飞往B地需要12.5h$,它逆风飞行同样的航线需要$13h$,则该飞机在无风时的平均速度是()
A.$720km/h$
B.$750km/h$
C.$765km/h$
D.$780km/h$

C

设飞机在无风时的平均速度为$x$km/h，风速为$y$km/h。根据题意可列方程组：$\begin{cases}12.5(x + y) = 9750 \\13(x - y) = 9750\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 765 \\y = 15\end{cases}$

3. 用19张白卡纸做包装盒,其中$x$张做侧面,$y$张做底面. 已知每张白卡纸可以做2个侧面,或做3个底面,如果5个侧面和2个底面做成一个包装盒,那么侧面和底面恰好配套,依题意列方程组为()
A.$\begin{cases}x + y = 19 \\ \dfrac{2y}{2} = \dfrac{3x}{5}\end{cases} $
B.$\begin{cases}x + y = 19 \\ \dfrac{2x}{2} = \dfrac{3y}{5}\end{cases} $
C.$\begin{cases}x + y = 19 \\ \dfrac{2y}{5} = \dfrac{3x}{2}\end{cases} $
D.$\begin{cases}x + y = 19 \\ \dfrac{2x}{5} = \dfrac{3y}{2}\end{cases} $

D

根据题意，总共有19张白卡纸，因此$x + y = 19$。
每张白卡纸做侧面可提供2个侧面，做底面可提供3个底面，因此侧面总数为$2x$，底面总数为$3y$。
根据配套要求，5个侧面和2个底面组成一个包装盒，因此侧面和底面的数量满足关系：$\frac{2x}{5} = \frac{3y}{2}$。
因此，方程组为：
$\begin{cases}x + y = 19 \\frac{2x}{5} = \frac{3y}{2}\end{cases}$

4. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题,其内容如下：九百九十九文钱,甜果苦果买一千,甜果九个十一文,苦果七个四文钱,试问甜苦果几个,又问各该几个钱？若设买甜果$x$个,买苦果$y$个,则下列关于$x$,$y$的二元一次方程组中符合题意的是()
A.$\begin{cases}x + y = 999 \\ \dfrac{11}{9}x + \dfrac{4}{7}y = 1000\end{cases} $
B.$\begin{cases}x + y = 1000 \\ \dfrac{9}{11}x + \dfrac{7}{4}y = 999\end{cases} $
C.$\begin{cases}x + y = 1000 \\ 9x + 28y = 999\end{cases} $
D.$\begin{cases}x + y = 1000 \\ \dfrac{11}{9}x + \dfrac{4}{7}y = 999\end{cases} $

D

根据题意，买甜果和苦果的总数为1000个，因此有方程 $x + y = 1000$。甜果每9个11文钱，所以买$x$个甜果需要$\frac{11}{9}x$文钱；苦果每7个4文钱，所以买$y$个苦果需要$\frac{4}{7}y$文钱。总钱数为999文，因此有方程 $\frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999$。
对比选项，发现这与选项D一致。

5. 某工程队共有27人,每人每天可挖土4方,或运土5方,为使挖出的土及时运走,应分配人挖土,人运土.

15，12。

设挖土的人数为 $x$ 人，运土的人数为 $y$ 人。
根据题意，工程队总人数为27人，可得方程：
$x + y = 27$，
每人每天挖土4方，每人每天运土5方，为使挖出的土及时运走，挖出的土总量应等于运走的土总量，可得方程：
$4x = 5y$，
将$4x = 5y$代入$x + y = 27$可得：
$\frac{5}{4}y + y = 27$，
$\frac{9}{4}y = 27$，
$y = 12 ÷ \frac{4}{9} × \frac{1}{1}$（此处为计算步骤的简化表达，实际应为$y = 27 ÷ \frac{9}{4} = 12$），
$y = 12$，
将 $y = 12$ 代入 $x + y = 27$ 得：
$x + 12 = 27$，
$x = 15$，
所以，应分配15人挖土，12人运土。

6. 哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步. 若两人同时同地反向出发,则4分钟后相遇；若两人同时同地同向出发,则40分钟后哥哥追上弟弟. 那么哥哥每分钟跑米.

55

设哥哥每分钟跑$x$米，弟弟每分钟跑$y$米。
反向出发时，4分钟相遇，路程和为400米，得方程：$4(x + y) = 400$，化简为$x + y = 100$；
同向出发时，40分钟哥哥追上弟弟，路程差为400米，得方程：$40(x - y) = 400$，化简为$x - y = 10$。
联立方程组$\begin{cases}x + y = 100 \\ x - y = 10\end{cases}$，两式相加得$2x = 110$，解得$x = 55$。

7. 一个两位数个位数字与十位数字的和为10,如果将个位数字与十位数字交换位置,得到新的两位数比原来的两位数大18,求原来的两位数.

设原来的两位数的十位数字为 $x$，个位数字为 $y$。
根据题意，列出以下方程组：
$\begin{cases}x + y = 10, \quad (1) \\10y + x - (10x + y) = 18. \quad (2)\end{cases}$
由(2)得：
$10y + x - 10x - y = 18$，
$9y - 9x = 18$，
$y - x = 2$，$y= x+2\quad (3)$，
将(3)代入(1)得：
$x +x+2 = 10$，
$2x = 8$，
$x = 4$，
将 $x = 4$ 代入(3)得：
$y =6$，
因此原来的两位数为 $10 × 4 + 6 = 46$。
答：原来的两位数是46。

8. 从$A地到B$地全程290千米,前一路段为国道,其余路段为高速公路. 已知一辆汽车从$A地开往B地一共行驶了3.5h$,汽车在国道上行驶的速度为$60km/h$,在高速公路上行驶的速度为$100km/h$. $A$,$B$两地间国道和高速公路各长多少千米？

设$A$，$B$两地间国道长为$x$千米，高速公路长为$y$千米。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 290, \\frac{x}{60} + \frac{y}{100} = 3.5.\end{cases}$
由$x + y = 290$可得$y=290-x$，
将$y=290-x$代入$\frac{x}{60} + \frac{y}{100} = 3.5$可得：
$\frac{x}{60} + \frac{290-x}{100} = 3.5$，
方程两边同时乘以$300$，得：
$5x+870-3x=1050$，
移项得：
$5x-3x=1050-870$，
合并同类项得：
$2x=180$，
系数化为$1$得：
$x=90$。
将$x=90$代入$y=290-x$可得：
$y=290-90=200$。
所以，原方程组的解为：
$\begin{cases}x = 90, \\y = 200.\end{cases}$
答：$A$，$B$两地间国道长为$90$千米，高速公路长为$200$千米。