9. 对于下列命题:①若$a>b$,则$a^{2}>b^{2}$;②在锐角三角形中,任意两个内角和一定大于第三个内角;③无论$x$取什么值,代数式$x^{2}-2x + 2$的值都不小于1;④在同一平面内,有两两相交的3条直线,这些相交直线构成的所有角中,至少有一个角小于$61^{\circ}$。其中,为真命题的是
②③④
。(填序号)答案
②③④
解析
①假命题,反例:a=1,b=-2时,a>b但a²=1<b²=4;②真命题,锐角三角形中任意两内角和=180°-第三个内角,因第三个内角<90°,故180°-第三个内角>90°>第三个内角;③真命题,x²-2x+2=(x-1)²+1≥1;④真命题,反证法:假设所有角≥61°,3条直线两两相交形成的角总和为360°(交于一点时6个角),6×61°=366°>360°,矛盾,故至少有一个角<61°。
10. 证明“全等三角形的对应角平分线相等”。命题证明应有四个步骤:画出图形,写出已知、求证及证明过程,把下列证明补充完整。
图形:如图所示;
已知:如图,
求证:

图形:如图所示;
已知:如图,
△ABC≌△A'B'C',点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'分别是对应顶点,BD是∠ABC的平分线,B'D'是∠A'B'C'的平分线
;求证:
BD=B'D'
。答案
已知:△ABC≌△A'B'C',点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'分别是对应顶点,BD是∠ABC的平分线,B'D'是∠A'B'C'的平分线。
求证:BD=B'D'。
证明:∵△ABC≌△A'B'C',
∴∠ABC=∠A'B'C',AB=A'B',∠A=∠A'。
∵BD平分∠ABC,B'D'平分∠A'B'C',
∴∠ABD=1/2∠ABC,∠A'B'D'=1/2∠A'B'C',
∴∠ABD=∠A'B'D'。
在△ABD和△A'B'D'中,
∠A=∠A',
AB=A'B',
∠ABD=∠A'B'D',
∴△ABD≌△A'B'D'(ASA),
∴BD=B'D'。
求证:BD=B'D'。
证明:∵△ABC≌△A'B'C',
∴∠ABC=∠A'B'C',AB=A'B',∠A=∠A'。
∵BD平分∠ABC,B'D'平分∠A'B'C',
∴∠ABD=1/2∠ABC,∠A'B'D'=1/2∠A'B'C',
∴∠ABD=∠A'B'D'。
在△ABD和△A'B'D'中,
∠A=∠A',
AB=A'B',
∠ABD=∠A'B'D',
∴△ABD≌△A'B'D'(ASA),
∴BD=B'D'。
11. 如图,$\angle ABC的两边分别平行于\angle DEF$的两边,且$\angle ABC = 30^{\circ}$。
(1)$\angle 1= $
(2)观察$\angle 1$,$\angle 2分别与\angle ABC$有怎样的关系,请你归纳出一个真命题;
(3)已知$\angle\alpha的两边分别平行于\angle\beta$的两边,且$\angle\alpha = 35^{\circ}$,利用(2)中的命题,可得$\angle\beta=$

(1)$\angle 1= $
$30^{\circ}$
,$\angle 2= $$150^{\circ}$
;(2)观察$\angle 1$,$\angle 2分别与\angle ABC$有怎样的关系,请你归纳出一个真命题;
(3)已知$\angle\alpha的两边分别平行于\angle\beta$的两边,且$\angle\alpha = 35^{\circ}$,利用(2)中的命题,可得$\angle\beta=$
$35^{\circ}$或$145^{\circ}$
。答案
(1)
对于图1,因为$AB// DE$,$BC// EF$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,根据两直线平行,同位角相等,可得$\angle 1=\angle BGD$,又因为$\angle BGD$与$\angle ABC$是同位角,所以$\angle 1 = 30^{\circ}$;
对于图2,因为$AB// DE$,所以$\angle BGE=\angle ABC = 30^{\circ}$,又因为$BC// EF$,所以$\angle 2+\angle BGE = 180^{\circ}$,则$\angle 2=150^{\circ}$。
故$\angle 1 = 30^{\circ}$,$\angle 2 = 150^{\circ}$。
(2)如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。
(3)根据(2)中的结论,因为$\angle\alpha$的两边分别平行于$\angle\beta$的两边,所以$\angle\beta = 35^{\circ}$或$\angle\beta = 145^{\circ}$。
故答案依次为:(1)$30^{\circ}$;$150^{\circ}$;(3)$35^{\circ}$或$145^{\circ}$。
对于图1,因为$AB// DE$,$BC// EF$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,根据两直线平行,同位角相等,可得$\angle 1=\angle BGD$,又因为$\angle BGD$与$\angle ABC$是同位角,所以$\angle 1 = 30^{\circ}$;
对于图2,因为$AB// DE$,所以$\angle BGE=\angle ABC = 30^{\circ}$,又因为$BC// EF$,所以$\angle 2+\angle BGE = 180^{\circ}$,则$\angle 2=150^{\circ}$。
故$\angle 1 = 30^{\circ}$,$\angle 2 = 150^{\circ}$。
(2)如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。
(3)根据(2)中的结论,因为$\angle\alpha$的两边分别平行于$\angle\beta$的两边,所以$\angle\beta = 35^{\circ}$或$\angle\beta = 145^{\circ}$。
故答案依次为:(1)$30^{\circ}$;$150^{\circ}$;(3)$35^{\circ}$或$145^{\circ}$。
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