10. 已知$x^{\vert m\vert - 1}+(m + 2)y = 7是关于x$,$y$的二元一次方程,则$m = $。

2

因为方程是二元一次方程，所以x的次数为1，y的系数不为0。
对于x的次数：|m| - 1 = 1，解得|m| = 2，m = ±2。
对于y的系数：m + 2 ≠ 0，解得m ≠ -2。
综上，m = 2。

11. (1) 甲、乙两人同解方程组$\begin{cases}ax + 5y = 15\\4x - by = -2\end{cases} $,由于甲看错了方程中的$a$,得到方程组的解为$\begin{cases}x = -3\\y = -1\end{cases} $,乙看错了方程中的$b$,得到方程组的解为$\begin{cases}x = 5\\y = 4\end{cases} $,求$a^{2026}+(-\frac{1}{10}b)^{2025}$的值；
(2) 若方程组$\begin{cases}x - (c + 1)xy = 3\\x^{a - 2}-y^{b + 3}= 4\end{cases} 是关于x$,$y$的二元一次方程组,求代数式$a + b + c$的值。

(1) 甲看错$a$，将$\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}$代入$4x - by = -2$，得：$4×(-3)-b×(-1)=-2$，即$-12 + b=-2$，解得$b=10$。
乙看错$b$，将$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$代入$ax + 5y = 15$，得：$5a + 5×4=15$，即$5a + 20=15$，解得$a=-1$。
则$a^{2026}+(-\frac{1}{10}b)^{2025}=(-1)^{2026}+(-\frac{1}{10}×10)^{2025}=1+(-1)^{2025}=1-1=0$。
(2) 方程组为二元一次方程组，第一个方程含$xy$项，其系数需为$0$，即$c + 1=0$，解得$c=-1$。
第二个方程$x^{a - 2}-y^{b + 3}=4$中，$x$、$y$的次数均为$1$，则$a - 2=1$，$b + 3=1$，解得$a=3$，$b=-2$。
故$a + b + c=3+(-2)+(-1)=0$。
(1) $0$；(2) $0$

12. 关于$x$,$y的二元一次方程均可以变形为ax + by = c$的形式,其中$a$,$b$,$c均为常数且a\neq0$,$b\neq0$,规定：方程$ax + by = c$的“关联系数”记为$(a,b,c)$。
(1) 二元一次方程$4x - 3y = 5$的“关联系数”为；
(2) 已知关于$x$,$y$的二元一次方程的“关联系数”为$(2,-1,1)$,若$\begin{cases}x = m + n\\y = m + 5\end{cases} $为该方程的一组解,且$m$,$n$均为正整数,求$m$,$n$的值。

(1)
根据“关联系数”的定义，对于二元一次方程$4x - 3y = 5$，其“关联系数”为$(4, - 3,5)$。
(2)
因为二元一次方程的“关联系数”为$(2,-1,1)$，所以该二元一次方程为$2x - y = 1$。
把$\begin{cases}x = m + n\\y = m + 5\end{cases}$代入$2x - y = 1$中，得：
$2(m + n)-(m + 5)=1$
去括号得：$2m+2n - m - 5 = 1$
合并同类项得：$m+2n=6$
移项得：$m = 6 - 2n$
因为$m$，$n$均为正整数，所以$n\gt0$，$6 - 2n\gt0$，解得$0\lt n\lt3$。
当$n = 1$时，$m = 6 - 2×1 = 4$；
当$n = 2$时，$m = 6 - 2×2 = 2$；
当$n = 3$时，$m = 6 - 2×3 = 0$（不符合$m$是正整数，舍去）。
综上，$\begin{cases}m = 4\\n = 1\end{cases}$或$\begin{cases}m = 2\\n = 2\end{cases}$。