9.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点分别是$A(-2,0),B(0,-2),C(2,0),D(0,2)$,求证:四边形ABCD是正方形。

证明:$\because A(-2,0),B(0,-2),$
$\therefore OA=2,OB=2。$
$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{2}。$
同理$AD=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{2},DC=2\sqrt{2}。$
$\therefore AB=BC=CD=DA。$
$\therefore$ 四边形ABCD为菱形。
易得$BD=AC,$
$\therefore$ 四边形ABCD是正方形。

10.【数学应用】在综合实践活动中，同学们对学校的一个正方形花园ABCD进行测量并规划使用。如图，点E，F处是它的两个门，且$DE=CF$，要修建两条直路$AF$，$BE$，$AF$与$BE$相交于点$O$（两个门$E$，$F$的大小忽略不计）。
(1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系？请判断并说明理由。
(2)同学们测得$AD=4\ \mathrm{m}$，$AE=3\ \mathrm{m}$，根据实际需要，某小组同学想在四边形$OBCF$地上再修一条$2.5\ \mathrm{m}$长的直路，这条直路的一端在门$F$处，另一端$P$在已经修建好的路段$OB$或花园的边界$BC$上，并且另一端$P$与点$B$处的距离不少于$1.5\ \mathrm{m}$，请问能否修建成这样的直路？若能，求出能修建几条；若不能，请说明理由。

(1) 这两条路等长，它们的位置关系是互相垂直。
理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD=CD，∠BAE=∠D=90°。
∵DE=CF，
∴AD-DE=CD-CF。
∴AE=DF。
在△BAE和△ADF中，
∵ BA = AD，∠BAE = ∠D = 90°，AE=DF，
∴△BAE≌△ADF(SAS)。
∴BE=AF，∠ABE=∠DAF。
∵∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，
∴∠BAO+∠ABE=90°。
∴∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABE)=90°，即AF⊥BE。
∴道路AF与BE等长，且它们互相垂直。
(2) 能修建成一条这样的直路，且点P在边界BC上。
理由：
∵AD=AB=CD=4 m，AE=3 m，
∴CF=DE=1 m。
在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=$\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{m})$。
由(1)得AF=BE=5 m，AF⊥BE。
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE· OA=\frac{1}{2}AB· AE$。
∴$OA=\frac{AB· AE}{BE}=\frac{3×4}{5}=2.4(\mathrm{m})$。
∴OF=AF-OA=5-2.4=2.6(m)。
根据“垂线段最短”得点F到路段OB的最短距离为2.6 m。
∴路段OB上不存在点P到点F的距离等于2.5 m。
∴点P不在路段OB上。
设点P在边界BC上，
在Rt△PCF中，由勾股定理，得PC=$\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}(\mathrm{m})$。
∴$BP=BC-PC=(4-\frac{\sqrt{21}}{2})\mathrm{m}$。
∵$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞4-\frac{\sqrt{25}}{2}$，
∴$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞1.5$。
∴点P符合题意，
即能修建成一条这样的直路。