登录
基础知识·预习
问题1 同圆或等圆中,同一条弧所对的圆心角与圆周角有何数量关系?
问题2 直径所对的圆周角的度数是多少?如何进行证明?
问题3 你能用一个三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗?如何操作?
问题1 同圆或等圆中,同一条弧所对的圆心角与圆周角有何数量关系?
问题2 直径所对的圆周角的度数是多少?如何进行证明?
问题3 你能用一个三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗?如何操作?
答案
解：
问题1
同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即同一条弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
问题2
直径所对的圆周角的度数为90°。
证明：设⊙O中，AB为直径，点C是⊙O上异于A、B的任意一点。
∵ AB是直径，
∴ 弧AB所对的圆心角∠AOB=180°，
由圆周角定理可得，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×180°=90°$。
问题3
可以用一个三角尺确定圆形纸片的圆心，操作方法如下：
1. 将三角尺的直角顶点放在圆形纸片的圆周上，标记出三角尺两条直角边与圆周的两个交点，连接这两个交点，得到圆形纸片的一条直径；
2. 更换三角尺直角顶点在圆周上的位置，重复上述操作，得到另一条与第一条不重合的直径；
3. 两条直径的交点就是该圆形纸片的圆心。
问题1
同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即同一条弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
问题2
直径所对的圆周角的度数为90°。
证明：设⊙O中，AB为直径，点C是⊙O上异于A、B的任意一点。
∵ AB是直径，
∴ 弧AB所对的圆心角∠AOB=180°，
由圆周角定理可得，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×180°=90°$。
问题3
可以用一个三角尺确定圆形纸片的圆心，操作方法如下：
1. 将三角尺的直角顶点放在圆形纸片的圆周上，标记出三角尺两条直角边与圆周的两个交点，连接这两个交点，得到圆形纸片的一条直径；
2. 更换三角尺直角顶点在圆周上的位置，重复上述操作，得到另一条与第一条不重合的直径；
3. 两条直径的交点就是该圆形纸片的圆心。
解析
【分析】
这三个问题均围绕圆周角定理及其推论的基础内容设置，解题思路如下：1. 问题1考查圆周角定理的核心内容，首先明确前提是同圆或等圆中，再梳理同一条弧对应的圆心角与圆周角的数量关系即可；2. 问题2考查圆周角定理的推论，首先回忆直径对应的弧是半圆，半圆所对的圆心角为180°，再结合圆周角定理即可推导得出直径所对圆周角的度数，证明时先构造出圆、直径和圆周上的任意点，按逻辑逐步推导即可；3. 问题3是定理的实际应用，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”这一推论，用三角尺的直角构造出两条不重合的直径，两条直径的交点就是圆心，据此梳理操作步骤即可。
【解析】
问题1
同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即同一条弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
问题2
直径所对的圆周角的度数为90°。
证明：设⊙O中，AB为直径，点C是⊙O上异于A、B的任意一点。
∵ AB是直径，
∴ 弧AB所对的圆心角∠AOB=180°，
由圆周角定理可得，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×180°=90°$。
问题3
可以用一个三角尺确定圆形纸片的圆心，操作方法如下：
1. 将三角尺的直角顶点放在圆形纸片的圆周上，标记出三角尺两条直角边与圆周的两个交点，连接这两个交点，得到圆形纸片的一条直径；
2. 更换三角尺直角顶点在圆周上的位置，重复上述操作，得到另一条与第一条不重合的直径；
3. 两条直径的交点就是该圆形纸片的圆心。
【答案】
问题1：同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即同一条弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
问题2：直径所对的圆周角的度数为90°，证明过程见解析。
问题3：可以确定，操作方法见解析。
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角的性质，圆心确定方法
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，围绕核心定理及推论设置，既考查了基础概念的识记与推导，又考查了定理在实际操作中的应用，有助于学生理解知识的本质，提升知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.8
这三个问题均围绕圆周角定理及其推论的基础内容设置，解题思路如下：1. 问题1考查圆周角定理的核心内容，首先明确前提是同圆或等圆中，再梳理同一条弧对应的圆心角与圆周角的数量关系即可；2. 问题2考查圆周角定理的推论，首先回忆直径对应的弧是半圆，半圆所对的圆心角为180°，再结合圆周角定理即可推导得出直径所对圆周角的度数，证明时先构造出圆、直径和圆周上的任意点，按逻辑逐步推导即可；3. 问题3是定理的实际应用，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”这一推论，用三角尺的直角构造出两条不重合的直径，两条直径的交点就是圆心，据此梳理操作步骤即可。
【解析】
问题1
同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即同一条弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
问题2
直径所对的圆周角的度数为90°。
证明：设⊙O中，AB为直径，点C是⊙O上异于A、B的任意一点。
∵ AB是直径，
∴ 弧AB所对的圆心角∠AOB=180°，
由圆周角定理可得，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×180°=90°$。
问题3
可以用一个三角尺确定圆形纸片的圆心，操作方法如下：
1. 将三角尺的直角顶点放在圆形纸片的圆周上，标记出三角尺两条直角边与圆周的两个交点，连接这两个交点，得到圆形纸片的一条直径；
2. 更换三角尺直角顶点在圆周上的位置，重复上述操作，得到另一条与第一条不重合的直径；
3. 两条直径的交点就是该圆形纸片的圆心。
【答案】
问题1：同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即同一条弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
问题2：直径所对的圆周角的度数为90°，证明过程见解析。
问题3：可以确定，操作方法见解析。
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角的性质，圆心确定方法
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，围绕核心定理及推论设置，既考查了基础概念的识记与推导，又考查了定理在实际操作中的应用，有助于学生理解知识的本质，提升知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】如图，AB 是$\odot O$的弦，OA，OC 是$\odot O$的半径，且$OC ⊥ AB$，垂足为 D，连接 CB，$∠ ABC=30°$，$AB=2\sqrt{3}$。
(1)求证:$OA// BC$.
(2)求$\odot O$的半径长.
思路导引 (1)先根据圆周角定理求出$∠ AOC$的度数，再根据$OC ⊥ AB$得到$∠ ADO=90°$，进而求出$∠ OAD$的度数，最后根据“内错角相等，两直线平行”证明$OA// BC$.
$OA// BC$.
(2)先根据垂径定理得到 AD 的长，再根据勾股定理求出$\odot O$的半径长.
(1)【证明】$\because ∠ ABC=30°$,
$\therefore ∠ AOC=60°$.
$\because OC ⊥ AB$,
$\therefore ∠ ADO=90°$.
$\therefore ∠ OAB=180°-∠ ADO-∠ AOC=30°$.
又$∠ ABC=30°$,
$\therefore ∠ OAB=∠ ABC$.
$\therefore OA// BC$.
(2)【解】$\because OC ⊥ AB$,
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
由(1)知，$∠ OAB=30°$，$∠ ADO=90°$,
$\therefore OD=\frac{1}{2}OA$.
设 OA 的长为$x$，则 OD 的长为$\frac{1}{2}x$.
根据勾股定理，得$AD^2+OD^2=OA^2$,
即$(\sqrt{3})^2+(\frac{1}{2}x)^2=x^2$.
解得$x_1=2$，$x_2=-2$(不合题意，舍去).
$\therefore \odot O$的半径长为 2.
规律方法 解决与圆有关的问题时，关键在于分析圆心角、圆周角、直径、半径、弦和弧之间的关系，利用垂径定理、圆周角定理、勾股定理等进行求解或证明.
(1)求证:$OA// BC$.
(2)求$\odot O$的半径长.
思路导引 (1)先根据圆周角定理求出$∠ AOC$的度数，再根据$OC ⊥ AB$得到$∠ ADO=90°$，进而求出$∠ OAD$的度数，最后根据“内错角相等，两直线平行”证明$OA// BC$.
$OA// BC$.
(2)先根据垂径定理得到 AD 的长，再根据勾股定理求出$\odot O$的半径长.
(1)【证明】$\because ∠ ABC=30°$,
$\therefore ∠ AOC=60°$.
$\because OC ⊥ AB$,
$\therefore ∠ ADO=90°$.
$\therefore ∠ OAB=180°-∠ ADO-∠ AOC=30°$.
又$∠ ABC=30°$,
$\therefore ∠ OAB=∠ ABC$.
$\therefore OA// BC$.
(2)【解】$\because OC ⊥ AB$,
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
由(1)知，$∠ OAB=30°$，$∠ ADO=90°$,
$\therefore OD=\frac{1}{2}OA$.
设 OA 的长为$x$，则 OD 的长为$\frac{1}{2}x$.
根据勾股定理，得$AD^2+OD^2=OA^2$,
即$(\sqrt{3})^2+(\frac{1}{2}x)^2=x^2$.
解得$x_1=2$，$x_2=-2$(不合题意，舍去).
$\therefore \odot O$的半径长为 2.
规律方法 解决与圆有关的问题时，关键在于分析圆心角、圆周角、直径、半径、弦和弧之间的关系，利用垂径定理、圆周角定理、勾股定理等进行求解或证明.
答案
证明：
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°。
∵OC⊥AB，
∴∠ADO=90°。
∴∠OAB=180°-∠ADO-∠AOC=30°。
又∵∠ABC=30°，
∴∠OAB=∠ABC。
∴OA//BC。
解：
∵OC⊥AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
由(1)知，∠OAB=30°，∠ADO=90°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA。
设OA的长为x，则OD的长为$\frac{1}{2}x$。
根据勾股定理，得$AD^2+OD^2=OA^2$，
即$(\sqrt{3})^2+(\frac{1}{2}x)^2=x^2$。
解得$x_1=2$，$x_2=-2$（不合题意，舍去）。
∴⊙O的半径长为2。
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°。
∵OC⊥AB，
∴∠ADO=90°。
∴∠OAB=180°-∠ADO-∠AOC=30°。
又∵∠ABC=30°，
∴∠OAB=∠ABC。
∴OA//BC。
解：
∵OC⊥AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
由(1)知，∠OAB=30°，∠ADO=90°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA。
设OA的长为x，则OD的长为$\frac{1}{2}x$。
根据勾股定理，得$AD^2+OD^2=OA^2$，
即$(\sqrt{3})^2+(\frac{1}{2}x)^2=x^2$。
解得$x_1=2$，$x_2=-2$（不合题意，舍去）。
∴⊙O的半径长为2。
解析
【分析】
(1)要证明OA//BC，可通过证明内错角∠OAB=∠ABC实现：首先根据圆周角定理，同弧AC所对的圆心角∠AOC是圆周角∠ABC的2倍，结合已知∠ABC=30°可得∠AOC=60°；再由OC⊥AB得△ADO是直角三角形，利用三角形内角和可求出∠OAB=30°，即可得∠OAB=∠ABC，进而证明平行。
(2)求圆的半径可借助直角三角形勾股定理求解：先根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，得出AD的长度；再由(1)知∠OAB=30°，可得直角边OD是斜边OA的一半，设半径OA为x，将AD、OD用含x的式子表示后代入勾股定理公式，解方程即可求出半径长度，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
(1)证明：
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°。
∵OC⊥AB，
∴∠ADO=90°。
∴∠OAB=180°-∠ADO-∠AOC=180°-90°-60°=30°。
又
∵∠ABC=30°，
∴∠OAB=∠ABC，
∴OA//BC。
(2)解：
∵OC⊥AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
由(1)知∠OAB=30°，∠ADO=90°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA。
设OA的长为x，则OD的长为$\frac{1}{2}x$，
根据勾股定理，得$AD^2+OD^2=OA^2$，
即$(\sqrt{3})^2+(\frac{1}{2}x)^2=x^2$，
整理得$3+\frac{1}{4}x^2=x^2$，即$\frac{3}{4}x^2=3$，
解得$x_1=2$，$x_2=-2$（半径长度为正，不合题意，舍去）。
∴⊙O的半径长为2。
【答案】
(1)OA//BC，证明成立；
(2)⊙O的半径长为2。
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题型，将圆的相关性质与平行线判定、直角三角形性质、方程思想结合考查，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、垂径定理的应用条件，理清角度、线段之间的数量关系，是圆章节的常规考法。
【难度系数】
0.7
(1)要证明OA//BC，可通过证明内错角∠OAB=∠ABC实现：首先根据圆周角定理，同弧AC所对的圆心角∠AOC是圆周角∠ABC的2倍，结合已知∠ABC=30°可得∠AOC=60°；再由OC⊥AB得△ADO是直角三角形，利用三角形内角和可求出∠OAB=30°，即可得∠OAB=∠ABC，进而证明平行。
(2)求圆的半径可借助直角三角形勾股定理求解：先根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，得出AD的长度；再由(1)知∠OAB=30°，可得直角边OD是斜边OA的一半，设半径OA为x，将AD、OD用含x的式子表示后代入勾股定理公式，解方程即可求出半径长度，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
(1)证明：
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°。
∵OC⊥AB，
∴∠ADO=90°。
∴∠OAB=180°-∠ADO-∠AOC=180°-90°-60°=30°。
又
∵∠ABC=30°，
∴∠OAB=∠ABC，
∴OA//BC。
(2)解：
∵OC⊥AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
由(1)知∠OAB=30°，∠ADO=90°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA。
设OA的长为x，则OD的长为$\frac{1}{2}x$，
根据勾股定理，得$AD^2+OD^2=OA^2$，
即$(\sqrt{3})^2+(\frac{1}{2}x)^2=x^2$，
整理得$3+\frac{1}{4}x^2=x^2$，即$\frac{3}{4}x^2=3$，
解得$x_1=2$，$x_2=-2$（半径长度为正，不合题意，舍去）。
∴⊙O的半径长为2。
【答案】
(1)OA//BC，证明成立；
(2)⊙O的半径长为2。
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题型，将圆的相关性质与平行线判定、直角三角形性质、方程思想结合考查，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、垂径定理的应用条件，理清角度、线段之间的数量关系，是圆章节的常规考法。
【难度系数】
0.7
