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1. 二元一次方程$2x + y = 5$的正整数解有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
要找二元一次方程的正整数解，首先明确正整数解要求x、y均为大于0的整数。我们可以先将方程变形为用含x的式子表示y，因为x是正整数，所以从最小的正整数1开始依次取值代入，计算对应的y值，只要y也是正整数就是符合要求的解，直到算出的y值小于等于0就可以停止，最后统计符合条件的解的个数即可。
【解析】
解：将方程$2x+y=5$变形，得$y=5-2x$。
根据正整数的定义，x、y都必须是大于0的整数，我们从小到大代入正整数x验证：
①当$x=1$时，$y=5-2×1=3$，3是正整数，故$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$是方程的一个正整数解；
②当$x=2$时，$y=5-2×2=1$，1是正整数，故$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$是方程的一个正整数解；
③当$x=3$时，$y=5-2×3=-1$，-1是负数，不符合正整数要求，且当x取更大的正整数时，y的值会更小，均不符合要求。
综上，该方程的正整数解共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解；正整数的概念
【点评】
本题是二元一次方程正整数解类的基础题，解题的核心是根据正整数的限制条件，从小到大列举其中一个未知数的取值，代入验证另一个未知数是否符合要求，注意不要忽略“正整数”的限制，避免多算非正整数的解。
【难度系数】
0.8
要找二元一次方程的正整数解，首先明确正整数解要求x、y均为大于0的整数。我们可以先将方程变形为用含x的式子表示y，因为x是正整数，所以从最小的正整数1开始依次取值代入，计算对应的y值，只要y也是正整数就是符合要求的解，直到算出的y值小于等于0就可以停止，最后统计符合条件的解的个数即可。
【解析】
解：将方程$2x+y=5$变形，得$y=5-2x$。
根据正整数的定义，x、y都必须是大于0的整数，我们从小到大代入正整数x验证：
①当$x=1$时，$y=5-2×1=3$，3是正整数，故$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$是方程的一个正整数解；
②当$x=2$时，$y=5-2×2=1$，1是正整数，故$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$是方程的一个正整数解；
③当$x=3$时，$y=5-2×3=-1$，-1是负数，不符合正整数要求，且当x取更大的正整数时，y的值会更小，均不符合要求。
综上，该方程的正整数解共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解；正整数的概念
【点评】
本题是二元一次方程正整数解类的基础题，解题的核心是根据正整数的限制条件，从小到大列举其中一个未知数的取值，代入验证另一个未知数是否符合要求，注意不要忽略“正整数”的限制，避免多算非正整数的解。
【难度系数】
0.8
2.若关于$x,y$的方程$(m+1)x^{|m+2|}+9y=0$是二元一次方程，则$m=$
-3
。答案
2.$m=-3$
解析
【分析】
要解这道题，首先需明确二元一次方程的定义：含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。据此可得到两个约束条件：一是x的次数必须等于1，二是x的系数不能为0（若系数为0，方程仅含y一个未知数，不属于二元方程）。我们先根据次数要求列方程求出m的可能取值，再根据系数不为0的条件排除不符合的取值，就能得到正确的m值。
【解析】
解：
∵关于$x,y$的方程$(m+1)x^{|m+2|}+9y=0$是二元一次方程
∴根据二元一次方程的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 含未知数的项的次数为1：$|m+2|=1$
解绝对值方程可得：
$m+2=1$ 或 $m+2=-1$
解得$m=-1$ 或 $m=-3$
2. 含x项的系数不为0：$m+1≠0$，即$m≠-1$
综上，排除不符合要求的$m=-1$，可得$m=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 二元一次方程的定义
2. 绝对值方程求解
【点评】
本题是对二元一次方程概念的基础考查，解题时需注意二元一次方程要同时满足“含两个未知数”“未知数项的次数为1”“是整式方程”三个要求，容易遗漏未知数系数不为0的限制条件导致多解错误。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先需明确二元一次方程的定义：含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。据此可得到两个约束条件：一是x的次数必须等于1，二是x的系数不能为0（若系数为0，方程仅含y一个未知数，不属于二元方程）。我们先根据次数要求列方程求出m的可能取值，再根据系数不为0的条件排除不符合的取值，就能得到正确的m值。
【解析】
解：
∵关于$x,y$的方程$(m+1)x^{|m+2|}+9y=0$是二元一次方程
∴根据二元一次方程的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 含未知数的项的次数为1：$|m+2|=1$
解绝对值方程可得：
$m+2=1$ 或 $m+2=-1$
解得$m=-1$ 或 $m=-3$
2. 含x项的系数不为0：$m+1≠0$，即$m≠-1$
综上，排除不符合要求的$m=-1$，可得$m=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 二元一次方程的定义
2. 绝对值方程求解
【点评】
本题是对二元一次方程概念的基础考查，解题时需注意二元一次方程要同时满足“含两个未知数”“未知数项的次数为1”“是整式方程”三个要求，容易遗漏未知数系数不为0的限制条件导致多解错误。
【难度系数】
0.7
3.若$\begin{cases}x=a, \\ y=b\end{cases}$是方程$x - 3y = -3$的一个解，则代数式$5 - a + 3b$的值是 ______ 。
答案
3.8
解析
【分析】
首先根据二元一次方程解的定义，将解代入原方程，得到关于a、b的关系式；再观察所求代数式的结构，对代数式进行变形，将得到的a、b的关系式整体代入变形后的代数式，即可求出结果。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=a \\ y=b\end{cases}$是方程$x - 3y = -3$的一个解
∴ 将$x=a$，$y=b$代入方程得：$a - 3b = -3$
对代数式$5 - a + 3b$变形可得：
$5 - a + 3b = 5 - (a - 3b)$
将$a - 3b = -3$代入上式：
原式$= 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$
【答案】
8
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先利用方程的解的性质得到参数的关系，再通过整体代入的方法简化计算，不需要单独求解a、b的具体值，掌握整体代入思想能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先根据二元一次方程解的定义，将解代入原方程，得到关于a、b的关系式；再观察所求代数式的结构，对代数式进行变形，将得到的a、b的关系式整体代入变形后的代数式，即可求出结果。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=a \\ y=b\end{cases}$是方程$x - 3y = -3$的一个解
∴ 将$x=a$，$y=b$代入方程得：$a - 3b = -3$
对代数式$5 - a + 3b$变形可得：
$5 - a + 3b = 5 - (a - 3b)$
将$a - 3b = -3$代入上式：
原式$= 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$
【答案】
8
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先利用方程的解的性质得到参数的关系，再通过整体代入的方法简化计算，不需要单独求解a、b的具体值，掌握整体代入思想能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4.某学习小组共有y个学生，计划分成x个小组开展活动。若每组5人，则余下3人；若每组6人，则有一组少3人。根据题意，可列方程组为。
。
。
答案
4.$\begin{cases} y=5x+3, \\ y=6x-3 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先明确题目中的两个未知数：小组数$x$和学生总人数$y$，围绕总人数不变这一核心，对应两种分组规则提取等量关系：第一种分组下，总人数等于按每组5人分配的总人数加上余下的3人；第二种分组下，总人数等于按每组6人分配的总人数减去缺少的3人，最后将两个等量关系转化为方程并联立即可。
【解析】
根据题意可提取两个等量关系：
1. 每组5人时，总人数=5×小组数+剩余3人，代入未知数得方程：$y = 5x + 3$；
2. 每组6人时，总人数=6×小组数-缺少的3人，代入未知数得方程：$y = 6x - 3$；
将两个方程联立即为所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} y=5x+3 \\ y=6x-3 \end{cases}$
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题属于基础类应用题，解题的关键是抓住总人数不变的隐含条件，结合不同分组方式梳理数量关系建立等式，只要认真读题梳理信息就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目中的两个未知数：小组数$x$和学生总人数$y$，围绕总人数不变这一核心，对应两种分组规则提取等量关系：第一种分组下，总人数等于按每组5人分配的总人数加上余下的3人；第二种分组下，总人数等于按每组6人分配的总人数减去缺少的3人，最后将两个等量关系转化为方程并联立即可。
【解析】
根据题意可提取两个等量关系：
1. 每组5人时，总人数=5×小组数+剩余3人，代入未知数得方程：$y = 5x + 3$；
2. 每组6人时，总人数=6×小组数-缺少的3人，代入未知数得方程：$y = 6x - 3$；
将两个方程联立即为所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} y=5x+3 \\ y=6x-3 \end{cases}$
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题属于基础类应用题，解题的关键是抓住总人数不变的隐含条件，结合不同分组方式梳理数量关系建立等式，只要认真读题梳理信息就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
5. 已知关于$x,y$的方程$(2m-6)x^{n+1}+(n+2)y^{|m|-2}=0$是二元一次方程。
(1)求$m,n$的值。
(2)若$y=-2$,求$x$的值。
(1)求$m,n$的值。
(2)若$y=-2$,求$x$的值。
答案
(1)依题意，得 $n+1=1,|m|-2=1$，$2m-6≠0,n+2≠0$，所以 $m=-3,n=0$。
(2)原方程可化为 $-12x+2y=0$。当 $y=-2$ 时，$-12x-4=0$，解得 $x=-\dfrac{1}{3}$。
(2)原方程可化为 $-12x+2y=0$。当 $y=-2$ 时，$-12x-4=0$，解得 $x=-\dfrac{1}{3}$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程为二元一次方程。
(1)解题时先根据定义列条件：一是x、y的指数均为1，二是x、y的系数不能为0（否则会缺失未知数，不符合“二元”的要求），再分别求解方程和不等式即可得到m、n的值；
(2)将(1)中求得的m、n代入原方程，得到具体的二元一次方程，再把y=-2代入方程，即可将其转化为关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值。
【解析】
(1)根据二元一次方程的定义，可得：
$\begin{cases}n+1=1 \\|m|-2=1 \\2m-6≠0 \\n+2≠0\end{cases}$
解$n+1=1$，得$n=0$，代入$n+2≠0$验证，$0+2=2≠0$，符合要求；
解$|m|-2=1$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$，结合$2m-6≠0$即$m≠3$，可得$m=-3$。
(2)将$m=-3$，$n=0$代入原方程，得：
$(2×(-3)-6)x^{0+1}+(0+2)y^{|-3|-2}=0$，化简得$-12x+2y=0$。
把$y=-2$代入化简后的方程，得：
$-12x+2×(-2)=0$，即$-12x-4=0$，
移项得$-12x=4$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$m=-3,n=0$；(2)$x=-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
二元一次方程的定义；含绝对值的方程求解；一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查二元一次方程的概念辨析，解题的核心是准确把握二元一次方程的成立条件：既要满足含未知数的项的次数为1，也要保证两个未知数的系数均不为0，是对基础概念应用能力的考查，第二问为常规的代入求值问题，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程为二元一次方程。
(1)解题时先根据定义列条件：一是x、y的指数均为1，二是x、y的系数不能为0（否则会缺失未知数，不符合“二元”的要求），再分别求解方程和不等式即可得到m、n的值；
(2)将(1)中求得的m、n代入原方程，得到具体的二元一次方程，再把y=-2代入方程，即可将其转化为关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值。
【解析】
(1)根据二元一次方程的定义，可得：
$\begin{cases}n+1=1 \\|m|-2=1 \\2m-6≠0 \\n+2≠0\end{cases}$
解$n+1=1$，得$n=0$，代入$n+2≠0$验证，$0+2=2≠0$，符合要求；
解$|m|-2=1$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$，结合$2m-6≠0$即$m≠3$，可得$m=-3$。
(2)将$m=-3$，$n=0$代入原方程，得：
$(2×(-3)-6)x^{0+1}+(0+2)y^{|-3|-2}=0$，化简得$-12x+2y=0$。
把$y=-2$代入化简后的方程，得：
$-12x+2×(-2)=0$，即$-12x-4=0$，
移项得$-12x=4$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$m=-3,n=0$；(2)$x=-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
二元一次方程的定义；含绝对值的方程求解；一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查二元一次方程的概念辨析，解题的核心是准确把握二元一次方程的成立条件：既要满足含未知数的项的次数为1，也要保证两个未知数的系数均不为0，是对基础概念应用能力的考查，第二问为常规的代入求值问题，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
6.已知$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} 2x+(m-1)y=2, \\ nx+y=1 \end{cases}$的解，求$(m+n)^{2025}$的值。
答案
根据题意，得$\begin{cases} 2×2+m-1=2, \\ 2n+1=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=-1, \\ n=0 \end{cases}$。
所以$(m+n)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
解得$\begin{cases} m=-1, \\ n=0 \end{cases}$。
所以$(m+n)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
解析
【分析】
本题可根据二元一次方程组解的定义解题：方程组的解能使方程组中每个方程的左右两边相等，因此先将已知的$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入原方程组，即可得到关于m、n的一元一次方程，分别求解得到m、n的值后，再代入代数式$(m+n)^{2025}$计算即可。
【解析】
将$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入方程组$\begin{cases} 2x+(m-1)y=2, \\ nx+y=1 \end{cases}$，得：
$\begin{cases} 2×2+(m-1)×1=2, \\ 2n+1=1 \end{cases}$
解第一个方程：
$4 + m - 1 = 2$
$m + 3 = 2$
解得$m=-1$
解第二个方程：
$2n = 1 - 1$
$2n = 0$
解得$n=0$
将$m=-1$，$n=0$代入$(m+n)^{2025}$，得：
$(m+n)^{2025}=(-1+0)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解一元一次方程，有理数乘方运算
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是掌握二元一次方程组解的含义，通过代入法将含参数的方程组转化为一元一次方程求解，计算乘方时注意负数奇次幂的符号判断即可。
【难度系数】
0.85
本题可根据二元一次方程组解的定义解题：方程组的解能使方程组中每个方程的左右两边相等，因此先将已知的$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入原方程组，即可得到关于m、n的一元一次方程，分别求解得到m、n的值后，再代入代数式$(m+n)^{2025}$计算即可。
【解析】
将$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入方程组$\begin{cases} 2x+(m-1)y=2, \\ nx+y=1 \end{cases}$，得：
$\begin{cases} 2×2+(m-1)×1=2, \\ 2n+1=1 \end{cases}$
解第一个方程：
$4 + m - 1 = 2$
$m + 3 = 2$
解得$m=-1$
解第二个方程：
$2n = 1 - 1$
$2n = 0$
解得$n=0$
将$m=-1$，$n=0$代入$(m+n)^{2025}$，得：
$(m+n)^{2025}=(-1+0)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解一元一次方程，有理数乘方运算
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是掌握二元一次方程组解的含义，通过代入法将含参数的方程组转化为一元一次方程求解，计算乘方时注意负数奇次幂的符号判断即可。
【难度系数】
0.85
7. 提升题 若关于 $ x,y $ 的二元一次方程可化为 $ ax + y = b $ 的形式（$ a,b $ 是常数，且 $ a ≠ 0 $），则其中一对常数 $ a,b $ 被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为 $ (a,b) $。例如：二元一次方程 $ 3x - 2y = 1 $ 可化为 $ -\dfrac{3}{2}x + y = -\dfrac{1}{2} $，则二元一次方程 $ 3x - 2y = 1 $ 的“相伴系数对”为 $ ( -\dfrac{3}{2}, -\dfrac{1}{2} ) $。
(1) 二元一次方程 $ x + 3y = 0 $ 的“相伴系数对”为
(2) 已知 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = -11 \end{cases} $ 是关于 $ x,y $ 的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为 $ (-2k, k+3) $，求这个二元一次方程。
(1) 二元一次方程 $ x + 3y = 0 $ 的“相伴系数对”为
$( \dfrac{1}{3},0 )$
。(2) 已知 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = -11 \end{cases} $ 是关于 $ x,y $ 的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为 $ (-2k, k+3) $，求这个二元一次方程。
答案
(1)$( \dfrac{1}{3},0 )$
(2)解：因为方程的“相伴系数对”为$(-2k,k+3)$，所以该方程为$-2kx+y=k+3$。
因为$\begin{cases} x=3, \\ y=-11 \end{cases}$是该方程的一个解，
所以$-6k-11=k+3$。解得$k=-2$。
所以这个二元一次方程是$4x+y=1$。
(2)解：因为方程的“相伴系数对”为$(-2k,k+3)$，所以该方程为$-2kx+y=k+3$。
因为$\begin{cases} x=3, \\ y=-11 \end{cases}$是该方程的一个解，
所以$-6k-11=k+3$。解得$k=-2$。
所以这个二元一次方程是$4x+y=1$。
解析
【分析】
本题属于新定义类问题，解题核心是准确理解“相伴系数对”的定义：即把二元一次方程变形为“$ax+y=b$（$a≠0$）”的形式后，$x$的系数$a$和常数项$b$组成的数对就是该方程的相伴系数对。
(1) 求解第一问时，只需将给出的二元一次方程$x+3y=0$通过等式变形，把$y$的系数化为1，得到$ax+y=b$的形式，即可直接得到$a$和$b$的值，确定相伴系数对。
(2) 求解第二问时，先根据相伴系数对的定义写出对应的二元一次方程，再将已知的方程解代入方程，得到关于$k$的一元一次方程，求解出$k$的值后，再代回原表达式即可得到最终的二元一次方程。
【解析】
(1) 对二元一次方程$x+3y=0$进行变形：
等式两边同时除以3，得 $\dfrac{1}{3}x + y = 0$，
根据“相伴系数对”的定义，可得该方程的相伴系数对为 $(\dfrac{1}{3}, 0)$。
(2) 已知方程的“相伴系数对”为$(-2k, k+3)$，根据定义可得该二元一次方程为：
$-2kx + y = k + 3$
∵ $\begin{cases} x = 3 \\ y = -11 \end{cases}$ 是该方程的一个解，将其代入方程得：
$-2k × 3 + (-11) = k + 3$
即 $-6k -11 = k + 3$
移项合并同类项得：$-7k = 14$
解得：$k = -2$
将$k=-2$代入$-2kx + y = k + 3$，得：
$-2× (-2)x + y = -2 + 3$
化简得：$4x + y = 1$
【答案】
(1) $( \dfrac{1}{3},0 )$
(2) $4x + y = 1$
【知识点】
新定义问题，二元一次方程的变形，二元一次方程的解
【点评】
本题以新定义为载体考查二元一次方程的相关知识，解题的关键是正确理解新定义的含义，将新定义问题转化为常规的二元一次方程变形、代入求值问题，计算过程细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义类问题，解题核心是准确理解“相伴系数对”的定义：即把二元一次方程变形为“$ax+y=b$（$a≠0$）”的形式后，$x$的系数$a$和常数项$b$组成的数对就是该方程的相伴系数对。
(1) 求解第一问时，只需将给出的二元一次方程$x+3y=0$通过等式变形，把$y$的系数化为1，得到$ax+y=b$的形式，即可直接得到$a$和$b$的值，确定相伴系数对。
(2) 求解第二问时，先根据相伴系数对的定义写出对应的二元一次方程，再将已知的方程解代入方程，得到关于$k$的一元一次方程，求解出$k$的值后，再代回原表达式即可得到最终的二元一次方程。
【解析】
(1) 对二元一次方程$x+3y=0$进行变形：
等式两边同时除以3，得 $\dfrac{1}{3}x + y = 0$，
根据“相伴系数对”的定义，可得该方程的相伴系数对为 $(\dfrac{1}{3}, 0)$。
(2) 已知方程的“相伴系数对”为$(-2k, k+3)$，根据定义可得该二元一次方程为：
$-2kx + y = k + 3$
∵ $\begin{cases} x = 3 \\ y = -11 \end{cases}$ 是该方程的一个解，将其代入方程得：
$-2k × 3 + (-11) = k + 3$
即 $-6k -11 = k + 3$
移项合并同类项得：$-7k = 14$
解得：$k = -2$
将$k=-2$代入$-2kx + y = k + 3$，得：
$-2× (-2)x + y = -2 + 3$
化简得：$4x + y = 1$
【答案】
(1) $( \dfrac{1}{3},0 )$
(2) $4x + y = 1$
【知识点】
新定义问题，二元一次方程的变形，二元一次方程的解
【点评】
本题以新定义为载体考查二元一次方程的相关知识，解题的关键是正确理解新定义的含义，将新定义问题转化为常规的二元一次方程变形、代入求值问题，计算过程细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
