8. 如图所示,某施工队利用滑轮组从水中提取物体,上升过程中物体始终不接触水底。已知物体质量为 $ 4 \, \text{t} $,体积为 $ 1 \, \text{m}^3 $。 $ (g $ 取 $ 10 \, \text{N/kg} $, $ \rho_{\text{水}} = 1.0 × 10^3 \, \text{kg/m}^3) $
(1) 物体完全浸没在水中时,求物体所受浮力的大小。
(2) 物体下表面与水面距离为 $ 3 \, \text{m} $ 时,求物体下表面所受水的压强。
(3) 若不计动滑轮的自重、绳重和摩擦,当浸没在水中的物体被匀速提升时,求电动机对绳子的拉力。
(4) 物体离开水面后,在电动机作用下匀速上升,若电动机功率为 $ 9 \, \text{kW} $,对绳子的拉力为 $ 1.5 × 10^4 \, \text{N} $,求物体上升的速度和滑轮组的机械效率。(机械效率精确到 $ 0.1\% $)

(1) 根据阿基米德原理，物体受到的浮力 $ F_{浮} = G_{排} = \rho_{水}V_{排}g = 1.0 \times 10^3\ \text{kg/m}^3 \times 1\ \text{m}^3 \times 10\ \text{N/kg} = 1 \times 10^4\ \text{N} $ (2) 物体下表面所受的压强 $ p = \rho_{水}gh = 1.0 \times 10^3\ \text{kg/m}^3 \times 10\ \text{N/kg} \times 3\ \text{m} = 3 \times 10^4\ \text{Pa} $ (3) 物体的质量 $ m = 4\ \text{t} = 4 \times 10^3\ \text{kg} $，物体所受的重力 $ G = mg = 4 \times 10^3\ \text{kg} \times 10\ \text{N/kg} = 4 \times 10^4\ \text{N} $；根据力的平衡，动滑轮对物体的拉力 $ F_1 = G - F_{浮} = 4 \times 10^4\ \text{N} - 1 \times 10^4\ \text{N} = 3 \times 10^4\ \text{N} $，绳子的有效段数为 $ 3 $，电动机对绳子的拉力 $ F_2 = \frac{F_1}{3} = \frac{3 \times 10^4\ \text{N}}{3} = 1 \times 10^4\ \text{N} $ (4) 由 $ P = \frac{W}{t} = \frac{Fs}{t} = Fv $，电动机拉动绳子的速度为 $ v_{绳} = \frac{P}{F} = \frac{9 \times 10^3\ \text{W}}{1.5 \times 10^4\ \text{N}} = 0.6\ \text{m/s} $，物体上升的速度为 $ v = \frac{1}{3}v_{绳} = \frac{1}{3} \times 0.6\ \text{m/s} = 0.2\ \text{m/s} $，滑轮组的机械效率为 $ \eta = \frac{W_{有}}{W_{总}} = \frac{Gh}{Fs} = \frac{Gh}{3Fh} = \frac{G}{3F} = \frac{4 \times 10^4\ \text{N}}{3 \times 1.5 \times 10^4\ \text{N}} \approx 0.889 = 88.9\% $

9. 科研人员为了研究“物品均匀投放下水的方法”建立如图模型：轻质杠杆 $ AB $ 两端用轻绳悬挂着两个完全相同的正方体物品甲和乙,甲、乙的边长均为 $ a $,密度均为 $ \rho $($ \rho $ 大于水的密度 $ \rho_{\text{水}} $),杠杆放在可移动支点 $ P $ 上,物品乙放在水平地面上。起初,物品甲下表面无限接近水面(刚好不被水打湿)。计时开始 $ (t = 0) $,上推活塞,使水面以速度 $ v $ 匀速上升直到物品甲刚好完全被水淹没,停止计时(不计物品甲在水中相对运动的阻力)。上述过程中通过移动支点 $ P $ 维持 $ BD $ 绳中拉力恒为乙重力的 $ 0.6 $ 倍,且杠杆始终水平。 $ (g $ 为已知量) 求：
(1) 物品乙对地面的压强。
(2) $ t = 0 $ 时, $ BP : PA $ 为多少？
(3) 物品甲完全被水淹没时, $ BP : PA $ 为多少？
(4) 任意时刻 $ t $ 时, $ BP : PA $ 与 $ t $ 的关系式。

(1) 由题知， $ BD $ 绳中拉力恒为乙重力的 $ 0.6 $ 倍，根据力的平衡条件可得，物品乙对地面的压力 $ F = G - F_{拉} = G - 0.6G = 0.4G = 0.4\rho ga^3 $，物品乙对地面的压强 $ p = \frac{F}{S} = 0.4\rho ga $ (2) $ t = 0 $ 时，物品甲不受浮力，由题知 $ B $ 端受到向下的拉力为 $ 0.6G $，根据杠杆的平衡条件可得 $ G \times PA = 0.6G \times BP $，所以 $ \frac{BP}{PA} = \frac{G}{0.6G} = \frac{5}{3} $ (3) 物品甲完全被水淹没时，物品甲受到的浮力 $ F_{浮} = \rho_{水}gV_{排} = \rho_{水}ga^3 $，作用在杠杆 $ A $ 端的拉力 $ F_A = G - F_{浮} = \rho ga^3 - \rho_{水}ga^3 $，根据杠杆的平衡条件可得 $ F_A \times PA = F_B \times BP $，故 $ \frac{BP}{PA} = \frac{F_A}{F_B} = \frac{\rho ga^3 - \rho_{水}ga^3}{0.6\rho ga^3} = \frac{\rho - \rho_{水}}{0.6\rho} = \frac{5(\rho - \rho_{水})}{3\rho} $ (4) 使水面以速度 $ v $ 匀速上升直到物品甲刚好完全被水淹没， $ t $ 时间水面上升的高度为 $ h = vt $，则物体甲排开水的体积 $ V_{排} = vta^2 $，物体甲受到的浮力 $ F_{浮} = \rho_{水}gV_{排} = \rho_{水}gvta^2 $，作用在杠杆 $ A $ 端的拉力为 $ F_A = G - F_{浮} = \rho ga^3 - \rho_{水}gvta^2 $，根据杠杆的平衡条件可得 $ F_A \times PA = F_B \times BP $，故 $ \frac{BP}{PA} = \frac{F_A}{F_B} = \frac{\rho ga^3 - \rho_{水}gvta^2}{0.6\rho ga^3} = \frac{\rho a - \rho_{水}vt}{0.6\rho a} = \frac{5(\rho a - \rho_{水}vt)}{3\rho a} $