【变式2】已知函数$y= \frac{ax + 1}{x + 2}(a\in\mathbf{R})$,若该函数在区间$[a,+\infty)$上单调递减,且函数值不恒为负,求实数$a$的取值范围.

解:$y=\frac{ax + 1}{x + 2}=a+\frac{1 - 2a}{x + 2}$，$x\neq -2$.因为该函数在区间$[a,+\infty)$上单调递减，且函数值不恒为负，所以$\left\{\begin{array}{l} 1 - 2a＞0,\\ \frac{a^{2}+1}{a + 2}\geq0,\end{array}\right. $解得$-2 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$.故实数$a$的取值范围为$(-2,\frac{1}{2})$.

1.(教材改编题)函数$y = f(x)在[-2,+\infty)$上的图象如图所示,则此函数的最大值、最小值分别为 ()

A.3,0
B.3,1
C.3,无最小值
D.3,-2

1.C　由题图可知，函数$y = f(x)$在$[-2,0]$上单调递增，在$[0,+\infty)$上单调递减，所以函数$y = f(x)$在$x = 0$处取得最大值，最大值为$f(0)=3$，此函数无最小值.

2.已知函数$f(x)= x^2 - 3x + 2在区间[1,3]上的最大值为A$,最小值为$B$,则$A - B = $ ()
A.$\frac{9}{4}$
B.$\frac{7}{4}$
C.2
D.-2

2.A　因为抛物线$f(x)=x^{2}-3x + 2$的对称轴是$x=\frac{3}{2}$，所以$f(x)$在$[1,\frac{3}{2}]$上单调递减，在$[\frac{3}{2},3]$上单调递增，所以$f(x)_{min}=f(\frac{3}{2})=-\frac{1}{4}$.因为$f(3)=2$，$f(1)=0$，
　所以$f(x)_{max}=2$，所以$A = 2$，$B = -\frac{1}{4}$，
　所以$A - B=2-(-\frac{1}{4})=\frac{9}{4}$.

3.(多选)下列命题是真命题的是 ()
A.函数$f(x)= -2x - 3在[1,3]$上单调递减,最小值为-9
B.函数$f(x)= -\frac{2}{x}在[1,2]$上单调递增,最大值为-1
C.函数$f(x)= x^2 - 2x在[0,2]$上先增后减,最小值为0
D.函数$f(x)= \begin{cases}x,x\gt0,\\x^2,x\leq0\end{cases}的定义域是\mathbf{R}$,值域是$[0,+\infty)$

3.ABD　对于A，函数$f(x)=-2x - 3$在$[1,3]$上单调递减，最小值为$f(3)=-9$，故该选项正确；
　对于B，函数$f(x)=-\frac{2}{x}$在$[1,2]$上单调递增，最大值为$f(2)=-1$，故该选项正确；
　对于C，函数$f(x)=x^{2}-2x$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,2]$上单调递增，最小值为$f(1)=-1$，故该选项错误；
　对于D，函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l} x,x＞0,\\ x^{2},x\leq0\end{array}\right. $的定义域是$\mathbf{R}$，当$x＞0$时，$f(x)＞0$，当$x\leq0$时，$f(x)\geq0$，即值域是$[0,+\infty)$，故该选项正确.

4.函数$f(x)= -\frac{2}{x + 1},x\in[0,2]$的最大值为____.

4.$-\frac{2}{3}$　$\because$函数$f(x)=-\frac{2}{x + 1}$，$x\in[0,2]$，
　$\therefore$函数$f(x)$在$[0,2]$上单调递增，
　$\therefore f(x)$的最大值为$f(2)=-\frac{2}{2 + 1}=-\frac{2}{3}$.

5.若函数$y = ax + 1(a\neq0)在区间[1,3]$上的最大值为4,则实数$a$的值为____.

5.1　当$a＞0$时，函数$y = ax + 1$是增函数，若在区间$[1,3]$上的最大值为4，则$3a + 1 = 4$，解得$a = 1$；
　当$a＜0$时，函数$y = ax + 1$是减函数，若在区间$[1,3]$上的最大值为4，则$a + 1 = 4$，解得$a = 3$（舍去）.
　综上，实数$a$的值为1.

6.函数$f(x)= \frac{1}{1 - x(1 - x)}$的最大值是____.

6.$\frac{4}{3}$　$f(x)=\frac{1}{1 - x(1 - x)}=\frac{1}{1 - x + x^{2}}=\frac{1}{(x - \frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$.
　$\because (x - \frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}$，$\therefore 0＜\frac{1}{(x - \frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}\leq\frac{4}{3}$，
　$\therefore f(x)$的最大值是$\frac{4}{3}$.

7.已知函数$f(x)= x^2 + 2x - 2$.
(1)判断函数$f(x)在区间(-1,+\infty)$上的单调性,并用定义证明你的结论;
(2)求函数$f(x)在区间[2,4]$上的最大值和最小值.

7.解:(1)函数$f(x)$在区间$(-1,+\infty)$上单调递增.证明如下:
　设$x_1,x_2\in(-1,+\infty)$，且$x_1＜x_2$，
　则$f(x_1)-f(x_2)=x_1^{2}+2x_1 - 2 - x_2^{2}-2x_2 + 2=(x_1 - x_2)\cdot(x_1 + x_2 + 2)$.
　因为$x_1,x_2\in(-1,+\infty)$，且$x_1＜x_2$，
　所以$x_1 - x_2＜0$，$x_1 + x_2 + 2＞0$，
　所以$f(x_1)-f(x_2)＜0$，即$f(x_1)＜f(x_2)$，
　故函数$f(x)$在区间$(-1,+\infty)$上单调递增.
　(2)由(1)可知，该函数在区间$[2,4]$上单调递增，
　故$f(x)_{max}=f(4)=4^{2}+2\times4 - 2 = 22$，$f(x)_{min}=f(2)=2^{2}+2\times2 - 2 = 6$.