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7. 若关于$ x $的不等式$(2m - n)x + m - 5n ＞ 0$的解集为$ x ＜ \dfrac{10}{7} $，则关于$ x $的不等式$ mx ＞ n $的解集为（
A.$ x ＞ \dfrac{3}{5} $
B.$ x ＜ \dfrac{3}{5} $
C.$ x ＜ \dfrac{5}{3} $
D.$ x ＞ \dfrac{5}{3} $
B
）.A.$ x ＞ \dfrac{3}{5} $
B.$ x ＜ \dfrac{3}{5} $
C.$ x ＜ \dfrac{5}{3} $
D.$ x ＞ \dfrac{5}{3} $
答案
B 【点拨】本题考查不等式的解集.
【解析】$(2m-n)x + m -5n ＞0$,$\therefore (2m-n)x ＞5n -m$.$\because$ 关于$x$的不等式$(2m-n)x + m -5n ＞0$的解集为$x ＜ \dfrac{10}{7}$,$\therefore 2m-n ＜0$,且$x ＜ \dfrac{5n -m}{2m -n}$,$\therefore \dfrac{5n -m}{2m -n} = \dfrac{10}{7}$,整理得$n = \dfrac{3}{5}m$,把$n = \dfrac{3}{5}m$代入$2m-n ＜0$,得$2m - \dfrac{3}{5}m ＜0$,解得$m ＜0$.$\because mx ＞n$,$\therefore mx ＞ \dfrac{3}{5}m$,$\therefore x ＜ \dfrac{3}{5}$,即关于$x$的不等式$mx ＞n$的解集是$x ＜ \dfrac{3}{5}$. 故选B.
【解析】$(2m-n)x + m -5n ＞0$,$\therefore (2m-n)x ＞5n -m$.$\because$ 关于$x$的不等式$(2m-n)x + m -5n ＞0$的解集为$x ＜ \dfrac{10}{7}$,$\therefore 2m-n ＜0$,且$x ＜ \dfrac{5n -m}{2m -n}$,$\therefore \dfrac{5n -m}{2m -n} = \dfrac{10}{7}$,整理得$n = \dfrac{3}{5}m$,把$n = \dfrac{3}{5}m$代入$2m-n ＜0$,得$2m - \dfrac{3}{5}m ＜0$,解得$m ＜0$.$\because mx ＞n$,$\therefore mx ＞ \dfrac{3}{5}m$,$\therefore x ＜ \dfrac{3}{5}$,即关于$x$的不等式$mx ＞n$的解集是$x ＜ \dfrac{3}{5}$. 故选B.
8. 若整数 $ x,y,z $ 满足 $ xy + yz + zx = 1 $，则 $ (1 + x^2)(1 + y^2)(1 + z^2) $ 可能取到的值为（
A.16 900
B.17 900
C.18 900
D.以上结论都不对
A
）.A.16 900
B.17 900
C.18 900
D.以上结论都不对
答案
A 【点拨】本题考查代数式的变形及值的估算.
【解析】$\because$ 整数$x,y,z$满足$xy + yz + zx =1$,$\therefore 1 + x^{2} = xy + yz + zx + x^{2} = (x+y)(x+z)$,$1 + y^{2} = xy + yz + zx + y^{2} = (x+y)(y+z)$,$1 + z^{2} = xy + yz + zx + z^{2} = (y+z)(x+z)$,则$(1+x^{2})(1+y^{2})(1+z^{2}) = [(x+y)(x+z)(y+z)]^{2}$.$\because x,y,z$为整数,$\therefore (1+x^{2})(1+y^{2})(1+z^{2})$为平方数,$16\ 900 = 130 × 130$,为平方数,而17 900,18 900都不是平方数. 故选A.
【解析】$\because$ 整数$x,y,z$满足$xy + yz + zx =1$,$\therefore 1 + x^{2} = xy + yz + zx + x^{2} = (x+y)(x+z)$,$1 + y^{2} = xy + yz + zx + y^{2} = (x+y)(y+z)$,$1 + z^{2} = xy + yz + zx + z^{2} = (y+z)(x+z)$,则$(1+x^{2})(1+y^{2})(1+z^{2}) = [(x+y)(x+z)(y+z)]^{2}$.$\because x,y,z$为整数,$\therefore (1+x^{2})(1+y^{2})(1+z^{2})$为平方数,$16\ 900 = 130 × 130$,为平方数,而17 900,18 900都不是平方数. 故选A.
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
9. 2024 年我国 GDP 总量超 130 万亿元,将“130 万亿”用科学记数法表示为
9. 2024 年我国 GDP 总量超 130 万亿元,将“130 万亿”用科学记数法表示为
$1.3 × 10^{14}$
.答案
$1.3 × 10^{14}$ 【点拨】本题考查科学记数法.
【解析】130 万亿 = 130 000 000 000 000 = $1.3 × 10^{14}$. 故答案为$1.3 × 10^{14}$.
【解析】130 万亿 = 130 000 000 000 000 = $1.3 × 10^{14}$. 故答案为$1.3 × 10^{14}$.
10. 方程组$\begin{cases} x - 2y = 2, \\ 2x + y = 4 \end{cases}$的解是________.
答案
$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$ 【点拨】本题考查解二元一次方程组.
【解析】$\begin{cases} x - 2y = 2,① \\ 2x + y = 4,② \end{cases}$ ① + ② ×2,得$5x=10$. 解得$x=2$. 将$x=2$代入①,得$2-2y=2$. 解得$y=0$. 则方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$. 故答案为$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$.
【解析】$\begin{cases} x - 2y = 2,① \\ 2x + y = 4,② \end{cases}$ ① + ② ×2,得$5x=10$. 解得$x=2$. 将$x=2$代入①,得$2-2y=2$. 解得$y=0$. 则方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$. 故答案为$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$.
11. 不等式$2x ＜ 3x + 3$的解集为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
$x ＞ -3$ 【点拨】本题考查解一元一次不等式.
【解析】$2x ＜ 3x +3$,解得$x ＞ -3$. 故答案为$x ＞ -3$.
【解析】$2x ＜ 3x +3$,解得$x ＞ -3$. 故答案为$x ＞ -3$.
12. 若$ a^m = 4, a^n = 16 $，则$ a^{3m - n} = \_\_\_\_\_\_ $.
答案
4 【点拨】本题考查幂的乘方与同底数幂的乘法,解题的关键是对相应的运算法则的灵活运用.
【解析】$\because a^m =4,a^n=16$,$\therefore a^{3m-n}=a^{3m}÷ a^n=(a^m)^3÷ a^n=4^3÷16=4$. 故答案为4.
【解析】$\because a^m =4,a^n=16$,$\therefore a^{3m-n}=a^{3m}÷ a^n=(a^m)^3÷ a^n=4^3÷16=4$. 故答案为4.
13. 如图,三角形 $ABC$ 中, $∠ ABC = 90°$,将三角形 $ABC$ 沿 $AB$ 方向移动 $3\ \mathrm{cm}$ 至三角形 $DEF$ 的位置,此时测得 $GC = 6\ \mathrm{cm}$,$EF = 12\ \mathrm{cm}$,则阴影部分的面积为 $\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$.
答案
27 【点拨】本题考查平移的性质,熟练掌握平移的性质是解题的关键.
【解析】因为三角形$ABC$沿$AB$方向移动3 cm至三角形$DEF$的位置,由平移的性质知,$EF=BC=12\ \mathrm{cm}$,$BE=3\ \mathrm{cm}$,所以$BG=BC-CG=12-6=6(\mathrm{cm})$. 因为$S_{\mathrm{阴影}} + S_{△ DBG} = S_{△ DBG} + S_{\mathrm{梯形}BEFG}$,所以$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{梯形}BEFG} = \dfrac{1}{2} × (6+12) × 3 = 27(\mathrm{cm}^2)$. 故答案为27.
【解析】因为三角形$ABC$沿$AB$方向移动3 cm至三角形$DEF$的位置,由平移的性质知,$EF=BC=12\ \mathrm{cm}$,$BE=3\ \mathrm{cm}$,所以$BG=BC-CG=12-6=6(\mathrm{cm})$. 因为$S_{\mathrm{阴影}} + S_{△ DBG} = S_{△ DBG} + S_{\mathrm{梯形}BEFG}$,所以$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{梯形}BEFG} = \dfrac{1}{2} × (6+12) × 3 = 27(\mathrm{cm}^2)$. 故答案为27.
14. 若 $ a + b = 4 $，则 $ a^2 - b^2 + 8b = $
第13题[图]
16
.第13题[图]
答案
16 【点拨】本题考查代数式求值,掌握完全平方公式是解题的关键.
【解析】$\because a + b =4$,$\therefore a=4-b$,$\therefore a^2 -b^2 +8b=(4-b)^2 -b^2 +8b=16-8b +b^2 -b^2 +8b=16$. 故答案为16.
【解析】$\because a + b =4$,$\therefore a=4-b$,$\therefore a^2 -b^2 +8b=(4-b)^2 -b^2 +8b=16-8b +b^2 -b^2 +8b=16$. 故答案为16.
15. 对于实数$a,b,c$,有下列5个说法:①若$a ＞ b$,则$ac ＜ bc$;②若$ac^2 ＞ bc^2$,则$a ＞ b$;③若$a ＜ b$,则$a^2 ＞ ab ＞ b^2$;④若$c ＞ a ＞ b ＞ 0$,则$\dfrac{a}{c - a} ＞ \dfrac{b}{c - b}$;⑤若$a ＞ b,\dfrac{1}{a} ＞ \dfrac{1}{b}$,则$a ＞ 0,b ＜ 0$.其中说法一定正确的序号是________.
答案
②④⑤ 【点拨】本题考查不等式的基本性质,掌握不等式的基本性质是解题的关键.
【解析】若$a ＞ b$,$ac$与$bc$关系不定,当$c＞0$,则$ac＞bc$,当$c=0$,则$ac=bc$,当$c＜0$,则$ac＜bc$,故①错误;若$ac^2＞bc^2$,$c^2＞0$,则$a＞b$,故②正确;若$a＜b＜0$,则$a^2＞ab＞b^2$,若$0＜a＜b$,则$a^2＜ab＜b^2$,故③错误;若$c＞a＞b＞0$,则$0＜c-a＜c-b$,则$\dfrac{1}{c-a}＞\dfrac{1}{c-b}＞0$,$\therefore \dfrac{a}{c-a}＞\dfrac{b}{c-b}$,故④正确;若$a＞b$,$\dfrac{1}{a}＞\dfrac{1}{b}$,则$a＞0$,$b＜0$,故⑤正确. 故答案为②④⑤.
【解析】若$a ＞ b$,$ac$与$bc$关系不定,当$c＞0$,则$ac＞bc$,当$c=0$,则$ac=bc$,当$c＜0$,则$ac＜bc$,故①错误;若$ac^2＞bc^2$,$c^2＞0$,则$a＞b$,故②正确;若$a＜b＜0$,则$a^2＞ab＞b^2$,若$0＜a＜b$,则$a^2＜ab＜b^2$,故③错误;若$c＞a＞b＞0$,则$0＜c-a＜c-b$,则$\dfrac{1}{c-a}＞\dfrac{1}{c-b}＞0$,$\therefore \dfrac{a}{c-a}＞\dfrac{b}{c-b}$,故④正确;若$a＞b$,$\dfrac{1}{a}＞\dfrac{1}{b}$,则$a＞0$,$b＜0$,故⑤正确. 故答案为②④⑤.
16. 若 $a+b+c=0,a＞b＞c$, 则 $\dfrac{c}{a}$ 的取值范围是
$-2 ＜ \dfrac{c}{a} ＜ -\dfrac{1}{2}$
.答案
$-2 ＜ \dfrac{c}{a} ＜ -\dfrac{1}{2}$ 【点拨】本题考查一元一次不等式的应用.
【解析】$\because a+b+c=0$,$a＞b＞c$,$\therefore a＞0$,$c＜0$,$\therefore b=-a-c$,且$a＞0$,$c＜0$.$\because a＞b＞c$,$\therefore -a-c ＜ a$,即$2a ＞ -c$,解得$\dfrac{c}{a} ＞ -2$,将$b=-a-c$代入$b＞c$,得$-a-c＞c$,即$a ＜ -2c$,解得$\dfrac{c}{a} ＜ -\dfrac{1}{2}$,$\therefore -2 ＜ \dfrac{c}{a} ＜ -\dfrac{1}{2}$. 故答案为$-2 ＜ \dfrac{c}{a} ＜ -\dfrac{1}{2}$.
【解析】$\because a+b+c=0$,$a＞b＞c$,$\therefore a＞0$,$c＜0$,$\therefore b=-a-c$,且$a＞0$,$c＜0$.$\because a＞b＞c$,$\therefore -a-c ＜ a$,即$2a ＞ -c$,解得$\dfrac{c}{a} ＞ -2$,将$b=-a-c$代入$b＞c$,得$-a-c＞c$,即$a ＜ -2c$,解得$\dfrac{c}{a} ＜ -\dfrac{1}{2}$,$\therefore -2 ＜ \dfrac{c}{a} ＜ -\dfrac{1}{2}$. 故答案为$-2 ＜ \dfrac{c}{a} ＜ -\dfrac{1}{2}$.
17. 若实数 $a,b,s$ 满足 $3a + 5b = 7$，$s = 2a - 3b$。若 $a ≥ 0$，$b ≥ 0$，则 $s$ 的取值范围是
$-\dfrac{21}{5} ≤ s ≤ \dfrac{14}{3}$
。答案
$-\dfrac{21}{5} ≤ s ≤ \dfrac{14}{3}$ 【点拨】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式组.
【解析】将$3a+5b=7$,$s=2a-3b$联立方程组,得$\begin{cases} 3a+5b=7, \\ s=2a-3b, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=\dfrac{21+5s}{19}, \\ b=\dfrac{14-3s}{19}. \end{cases}$$\because a≥0$,$b≥0$,$\therefore \begin{cases} \dfrac{21+5s}{19}≥0, \\ \dfrac{14-3s}{19}≥0, \end{cases}$解得$-\dfrac{21}{5}≤ s≤\dfrac{14}{3}$. 故答案为$-\dfrac{21}{5}≤ s≤\dfrac{14}{3}$.
【解析】将$3a+5b=7$,$s=2a-3b$联立方程组,得$\begin{cases} 3a+5b=7, \\ s=2a-3b, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=\dfrac{21+5s}{19}, \\ b=\dfrac{14-3s}{19}. \end{cases}$$\because a≥0$,$b≥0$,$\therefore \begin{cases} \dfrac{21+5s}{19}≥0, \\ \dfrac{14-3s}{19}≥0, \end{cases}$解得$-\dfrac{21}{5}≤ s≤\dfrac{14}{3}$. 故答案为$-\dfrac{21}{5}≤ s≤\dfrac{14}{3}$.
18. 若实数$x,y,z$满足$x+y+z=0,x^2+y^2+z^2=1$,则$x^4+y^4+z^4$的值为________.
答案
$\dfrac{1}{2}$ 【点拨】本题考查完全平方公式,整式的混合运算,熟练掌握整式的运算法则是解题的关键.
【解析】$(x+y+z)^2=[(x+y)+z]^2=(x+y)^2+2(x+y)z+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$.$\because x+y+z=0$,$x^2+y^2+z^2=1$,$\therefore 1+2(xy+yz+xz)=0$,$\therefore xy+yz+xz=-\dfrac{1}{2}$,$\therefore (xy+yz+xz)^2=(-\dfrac{1}{2})^2$,$\therefore x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xyz(x+y+z)=\dfrac{1}{4}$.$\because x+y+z=0$,$\therefore x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2=\dfrac{1}{4}$.$\because x^2+y^2+z^2=1$,$\therefore (x^2+y^2+z^2)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2=1$,$\therefore x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2=1$,$\therefore x^4+y^4+z^4+2×\dfrac{1}{4}=1$,$\therefore x^4+y^4+z^4=\dfrac{1}{2}$. 故答案为$\dfrac{1}{2}$.
【解析】$(x+y+z)^2=[(x+y)+z]^2=(x+y)^2+2(x+y)z+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$.$\because x+y+z=0$,$x^2+y^2+z^2=1$,$\therefore 1+2(xy+yz+xz)=0$,$\therefore xy+yz+xz=-\dfrac{1}{2}$,$\therefore (xy+yz+xz)^2=(-\dfrac{1}{2})^2$,$\therefore x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xyz(x+y+z)=\dfrac{1}{4}$.$\because x+y+z=0$,$\therefore x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2=\dfrac{1}{4}$.$\because x^2+y^2+z^2=1$,$\therefore (x^2+y^2+z^2)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2=1$,$\therefore x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2=1$,$\therefore x^4+y^4+z^4+2×\dfrac{1}{4}=1$,$\therefore x^4+y^4+z^4=\dfrac{1}{2}$. 故答案为$\dfrac{1}{2}$.
三、解答题(本大题共8小题,共64分.解答应写出过程)
19. (8分)计算:
(1)$|-2|-(2-π)^{0}+(-\dfrac{1}{3})^{-1}$;
(2)$3(2a^{2})^{3}+a^{5}· a - a^{8}÷ a^{2}$.
19. (8分)计算:
(1)$|-2|-(2-π)^{0}+(-\dfrac{1}{3})^{-1}$;
(2)$3(2a^{2})^{3}+a^{5}· a - a^{8}÷ a^{2}$.
答案
【点拨】本题考查同底数幂的乘除法,实数的运算,积的乘方.
【解析】(1) $|-2|-(2-π)^0 + (-\dfrac{1}{3})^{-1}$
$=2-1-3$
$=-2$.
(2) $3(2a^2)^3 + a^5 · a - a^8 ÷ a^2$
$=3×8a^6 +a^6 -a^6$
$=24a^6 +a^6 -a^6$
$=24a^6$.
【解析】(1) $|-2|-(2-π)^0 + (-\dfrac{1}{3})^{-1}$
$=2-1-3$
$=-2$.
(2) $3(2a^2)^3 + a^5 · a - a^8 ÷ a^2$
$=3×8a^6 +a^6 -a^6$
$=24a^6 +a^6 -a^6$
$=24a^6$.
