1 [2025 上海静安区期末，中]中国数学会的会徽是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形，将会徽抽象为图(1)，记 BF = a，AF = b，AB = c，将图(1)进行图形运动得到图(2)，下面的说法不正确的是()


A.△BMC 可以看作是△BFA 绕点 B 顺时针旋转 90°得到
B.△BMC 可以看作是△AED 沿着 HC 的方向向左平移 a，再沿 CM 的方向向上平移 b 得到
C.△DCN 可以看作是△DAE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到
D.图形运动后，原正方形 ABCD 与六边形 MNDEFB 的面积相等，可得 c² = 2ab + (b - a)²

1. B [解析]A选项，由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意；B选项，△BMC可以看作是△AED沿着HC的方向向左平移b，再沿CM的方向向上平移a得到，结论错误，故符合题意；C选项，由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意；D选项，图形运动后并没有改变图形的面积，通过题图(2)和题图(3)的面积相等可得c² = 2ab + (b - a)²，结论正确，故不符合题意. 故选B.

2 [2025 江苏无锡期中，较难]将一副三角板如图放置，点 B，D 重合，点 F 在 BC 上，AB 与 EF 交于点 G，∠C = ∠EFB = 90°，∠A = 60°，∠E = 45°. 现将图中的△ABC 绕点 G 按每秒 15°的速度沿逆时针方向旋转 180°，在旋转的过程中，△ABC 恰有一边与 DE 平行的时间为()

A.1 秒或 9 秒
B.9 秒或 11 秒
C.1 秒或 3 秒或 9 秒
D.3 秒或 9 秒或 11 秒

2. D [解析]因为∠C = ∠EFB = 90°，所以AC // FG，所以∠AGE = ∠FGB = ∠A = 60°，所以∠AGF = ∠EGB = 180°−60° = 120°. 记△ABC旋转后得到△A'B'C'，可得∠A = ∠A' = 60°，∠ABC = ∠B' = 30°.
①如图(1)，当DE // A'C'时，设A'B'交ED于点H.
因为DE // A'C'，所以∠EHG = ∠A' = 60°，所以∠A'GF = ∠EGH = 180°−∠E−∠EHG = 180°−45°−60° = 75°，所以∠AGA' = ∠AGF−∠A'GF = 120°−75° = 45°，所以旋转时间为$\frac{45}{15°}$ = 3（秒）.

②如图(2)，当DE // B'C'时，设FE的延长线交B'C'于点M.
因为DE // B'C'，所以∠C'ME = ∠DEF = 45°，所以∠A'GF = ∠B'GM = 180°−∠B'MG−∠B' = ∠C'ME−∠B' = 45°−30° = 15°，所以∠AGA' = ∠AGF + ∠A'GF = 120° + 15° = 135°，所以旋转时间为$\frac{135}{15°}$ = 9（秒）.

③当DE // A'B'时，如图(3).
因为DE // A'B'，所以∠A'GF = ∠E = 45°，所以∠AGA' = ∠AGF + ∠A'GF = 120° + 45° = 165°，所以旋转时间为$\frac{165}{15°}$ = 11（秒）.

综上所述，△ABC恰有一边与DE平行的时间为3秒或9秒或11秒，故选D.

3 [2025 重庆长寿区期末，中]如图，已知将△AEC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到△ADB，且点 C，E，D 共线，交 AB 于点 F，若$ S_{△ACF} = 10$，$S_{△ADE} = 6$，则$ S_{△BDF} =$.

3. 4 [解析]因为将△AEC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADB，所以S△AEC = S△ADB，所以S△BDF = S△ABD−S△ADF = S△AEC−S△ADF = (S△AEC + S△AEF)−(S△ADF + S△AEF) = S△AFC−S△ADE = 10−6 = 4. 故答案为4.

4 [2025 江苏苏州期中，中]如图所示的直角三角形 ABC 中，AC = 6，BC = 8，AB = 10，点 C，A 在直线 l 上，将△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转到位置①，得到直线 l 上的点 P₁，将位置①的三角形绕点 P₁ 按顺时针方向旋转到位置②，得到直线 l 上的点 P₂，…，按此规律继续旋转，直到得到点$ P_{2025} $为止，则$ AP_{2025} =$.

4. 16200 [解析]因为将△ABC绕点A按顺时针方向旋转到位置①，得到点P₁，所以AP₁ = AB = 10；因为将位置①的三角形绕点P₁按顺时针方向旋转到位置②，得到点P₂，所以P₁P₂ = BC = 8，所以AP₂ = 10 + 8 = 18；因为将位置②的三角形绕点P₂按顺时针方向旋转到位置③，得到点P₃，所以P₂P₃ = AC = 6，所以AP₃ = 10 + 8 + 6 = 24；…由题图可知每旋转3次为一个循环组依次循环，每循环一次，APₙ（n为正整数）的长度增加24. 又因为2025÷3 = 675，所以AP₂₀₂₅ = 675×24 = 16200. 故答案为16200.

5 [2025 上海松江区期末，较难]已知长方形 ABCD 中，边 AB 的长度为 a，边 AD 的长度为 b，a ＞ 2b. 将长方形 ABCD 绕着点 A 旋转，点 B，C，D 的对应点分别记为点 B'，C'，D'，旋转角记为∠α.
(1)当旋转方向为顺时针方向且∠α = 90°时(如图)，连接 CB'，B'D'，D'C，用含 a，b 的代数式表示三角形 CB'D'的面积；(结果需化简)
(2)当 0°＜∠α＜90°时，如果∠BAB'与∠BAD'的度数之比为 2 : 7，请求出旋转方向和∠α 的度数；
(3)旋转过程中，当 0°＜∠α＜90°时，当长方形 AB'C'D'与原长方形 ABCD 重叠部分的图形是轴对称图形时，请求出旋转方向和∠α 的度数.

5. [解](1)如图(1)所示，延长BC，C'B'交于点M，易得四边形BD'C'M为长方形，且长方形BD'C'M的长为a + b，宽为a，所以S△CB'D' = S长方形BD'C'M−S△BCD'−S△D'C'B'−S△CMB' = a(a + b)−$\frac{1}{2}$b(a + b)−$\frac{1}{2}$ab−$\frac{1}{2}$a(a - b) = a² + ab−$\frac{1}{2}$ab−$\frac{1}{2}$b²−$\frac{1}{2}$ab−$\frac{1}{2}$a² + $\frac{1}{2}$ab = $\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$a²−$\frac{1}{2}$b².

(2)如图(2)所示，若旋转方向为顺时针方向，则有∠BAB' = ∠DAD' = ∠α，所以∠BAD' = ∠BAD + ∠DAD' = 90° + ∠α. 因为∠BAB'与∠BAD'的度数之比为2:7，所以∠α = $\frac{2}{7}$(90° + ∠α)，解得∠α = 36°.

如图(3)所示，若旋转方向为逆时针方向，则有∠BAB' = ∠DAD' = ∠α，所以∠BAD' = ∠BAD−∠DAD' = 90°−∠α. 因为∠BAB'与∠BAD'的度数之比为2:7，所以∠α = $\frac{2}{7}$(90°−∠α)，解得∠α = 20°.
综上所述，旋转方向为顺时针方向时，∠α = 36°；旋转方向为逆时针方向时，∠α = 20°.
(3)如图(4)所示，设AB'与CD交于点E，则重叠部分是△ADE.

若△ADE是轴对称图形，且∠D = 90°，则有△ADE是等腰直角三角形，所以∠EAD = ∠AED = 45°，所以∠BAE = ∠BAD−∠EAD = 90°−45° = 45°，所以当旋转方向是顺时针方向，∠α = 45°时，长方形AB'C'D'与原长方形ABCD重叠部分的图形是轴对称图形.
如图(5)所示，设AB与C'D'交于点F，则重叠部分是△AD'F.

若△AD'F是轴对称图形，且∠D' = 90°，则有△AD'F是等腰直角三角形，所以∠FAD' = ∠AFD' = 45°，所以∠BAB' = ∠B'AD'−∠FAD' = 90°−45° = 45°，所以当旋转方向是逆时针方向，∠α = 45°时，长方形AB'C'D'与原长方形ABCD重叠部分的图形是轴对称图形.
综上所述，当旋转方向是顺时针方向，∠α = 45°或旋转方向是逆时针方向，∠α = 45°时，长方形AB'C'D'与原长方形ABCD重叠部分的图形是轴对称图形.